高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽幾何專(zhuān)題(1)從調(diào)和點(diǎn)列到Apollonius圓到極線(xiàn)

1、從交比到調(diào)和點(diǎn)列到Apollonius圓到極線(xiàn)極點(diǎn)2010年10月17日結(jié)束的2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽平面幾何題目為：如圖1，銳角三角形 ABC 的外心為 O，K 是邊 BC 上一點(diǎn)（不是邊 BC 的中點(diǎn)），D 是線(xiàn)段AK延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，直線(xiàn)BD與AC交于點(diǎn)N，直線(xiàn)CD與AB交于點(diǎn)M求證：若OKMN，則ABDC 四點(diǎn)共圓圖 1本題頗有難度，參考答案的反證法讓有些人“匪夷所思”，其實(shí)這是一系列射影幾何中常見(jiàn)而深刻結(jié)論的自然“結(jié)晶”，此類(lèi)問(wèn)題在國(guó)家隊(duì)選拔考試等大賽中屢見(jiàn)不鮮。本文擬系統(tǒng)的介紹交比、調(diào)和點(diǎn)列、完全四邊形、Apollonius圓、極線(xiàn)等射影幾何的重要概念及應(yīng)用，抽絲剝繭、溯本求源，揭示

2、此類(lèi)問(wèn)題的來(lái)龍去脈，并在文中給出上題的一種簡(jiǎn)潔明了的直接證明。知識(shí)介紹定義1 線(xiàn)束和點(diǎn)列的交比：如圖2，共點(diǎn)于O的四條直線(xiàn)被任意直線(xiàn)所截的有向線(xiàn)段比稱(chēng)為線(xiàn)束OA、OC、OB、OD或點(diǎn)列ACBD的交比。1定理1 線(xiàn)束的交比與所截直線(xiàn)無(wú)關(guān)。圖 2證明：本文用ABC表示ABC面積，則從而可知線(xiàn)束交比與所截直線(xiàn)無(wú)關(guān)。定義2 調(diào)和線(xiàn)束與調(diào)和點(diǎn)列：交比為-1，即的線(xiàn)束稱(chēng)為調(diào)和線(xiàn)束，點(diǎn)列稱(chēng)為調(diào)和點(diǎn)列。顯然調(diào)和線(xiàn)束與調(diào)和點(diǎn)列是等價(jià)的，即調(diào)和線(xiàn)束被任意直線(xiàn)截得的四點(diǎn)均為調(diào)和點(diǎn)列，反之，調(diào)和點(diǎn)列對(duì)任意一點(diǎn)的線(xiàn)束為調(diào)和線(xiàn)束。定理2 調(diào)和點(diǎn)列常見(jiàn)形式：（O為CD中點(diǎn)）（1）、（2）、(3)、 AC*AD=AB*AO(

3、4)、 AB*OD=AC*BD證明：由基本關(guān)系式變形即得，從略。定理3 一直線(xiàn)被調(diào)和線(xiàn)束中的三條平分當(dāng)且僅當(dāng)它與第四邊平行（由定義即得，證略）定義3 完全四邊形：如圖3，凸四邊形ABCD各邊延長(zhǎng)交成的圖形稱(chēng)為完全四邊形ABCDEF，AC、BD、EF稱(chēng)為其對(duì)角線(xiàn)（一般的四條直線(xiàn)即交成完全四邊形）2。定理4 完全四邊形對(duì)角線(xiàn)互相調(diào)和分割。即AGCH、BGDI、EHFI分別構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列。圖 3分析：只需證EHFI為調(diào)和點(diǎn)列，其余可類(lèi)似證得，也可由線(xiàn)束的交比不變性得到。證法一：面積法，即。證法二：由Ceva定理，由Menelaus定理得到，故 ，即EHFI為調(diào)和點(diǎn)列。定理5 完全四邊形ABCDEF中，

4、四個(gè)三角形AED、ABF、EBC、FDC的外接圓共點(diǎn)，稱(chēng)為完全四邊形的密克（Miquel）點(diǎn)。證明：設(shè)出兩圓交點(diǎn)，證它在其余圓上即可。 圖 4定義4 阿波羅尼斯（Apollonius）圓：到兩定點(diǎn)A、B距離之比為定值k（）的點(diǎn)的軌跡為圓，稱(chēng)為Apollonius圓，為古希臘數(shù)學(xué)家Apollonius最先提出并解決2（注：當(dāng)k=1時(shí)軌跡為AB中垂線(xiàn)也可看成半徑為無(wú)窮大的圓）。證明：如圖4由AP=kPB，則在AB直線(xiàn)上有兩點(diǎn)C、D滿(mǎn)足故PC、PD分別為APB的內(nèi)外角平分線(xiàn)，則CPDP，即P點(diǎn)的軌跡為以CD為直徑的圓O(O為CD中點(diǎn))。（注：解析法亦可證得）顯然圖4中ACBD為調(diào)和點(diǎn)列。定理6 在圖

5、4中，當(dāng)且僅當(dāng)PBAB時(shí)，AP為圓O的切線(xiàn)。證明：當(dāng)PBAB時(shí)APC=BPC=CDP故AP為圓O的切線(xiàn)，反之亦然。定理7 Apollonius圓與調(diào)和點(diǎn)列的互推如下三個(gè)條件由其中兩個(gè)可推得第三個(gè)：1.PC（或PD）為APB內(nèi)（外）角平分線(xiàn)2. CPPD3.ACBD構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列（證略）定義5 反演：設(shè)A為O（r）平面上點(diǎn)，B在射線(xiàn)OA上，且滿(mǎn)足OA*OB=r*r，則稱(chēng)A、B以O(shè)為基圓互為反演點(diǎn)。定理8 圖4中，以Apollonius圓為基圓，AB互為反演點(diǎn)。（由定理2（2）即得。）定義6 極線(xiàn)與極點(diǎn)：設(shè)A、 B關(guān)于O（r）互為反演點(diǎn)，過(guò)B做OA的垂線(xiàn)l稱(chēng)為A點(diǎn)對(duì)圓O的極線(xiàn)；A點(diǎn)稱(chēng)為l的極點(diǎn)。3定

6、理9 當(dāng)A點(diǎn)在O外時(shí)，A的極線(xiàn)為A的切點(diǎn)弦。（由定理6即得。）圖 5定理10 若A的極線(xiàn)為l，過(guò)A的圓的割線(xiàn)ACD交l于B點(diǎn)，則ACBD為調(diào)和點(diǎn)列。證明：如圖5，設(shè)A的切點(diǎn)弦為 PQ，則即ACBD為調(diào)和點(diǎn)列。定理11 配極定理：如圖6，若A點(diǎn)的極線(xiàn)通過(guò)另一點(diǎn)D，則D點(diǎn)的極線(xiàn)也通過(guò)A。一般的稱(chēng)A、D互為共軛點(diǎn)。證法一：幾何法，作AFOD于F，則DFGA 共圓，得OF*OD= OG*OA =，由定義6知AF即為D的極線(xiàn)。 圖 6證法二：解析法，設(shè)圓O為單位圓，A（）, D（），A的極線(xiàn)方程為，由D在其上，得，則A在上，即A在D的極線(xiàn)上。定理12 在圖6中，若A、D共軛，則定義7 調(diào)和四邊形：對(duì)邊積

7、相等的圓內(nèi)接四邊形稱(chēng)為調(diào)和四邊形。（因圓上任意一點(diǎn)對(duì)此四點(diǎn)的線(xiàn)束為調(diào)和線(xiàn)束，故以此命名）定理13 圖5中PDQC為調(diào)和四邊形。證明：由定理9的證明過(guò)程即得。例題選講例1 如圖7，過(guò)圓O外一點(diǎn)P作其切線(xiàn)PA、PB，OP與圓和AB分別交于I、M，DE為過(guò)M的任意弦。求證：I為PDE內(nèi)心。（2001年中國(guó)西部數(shù)學(xué)奧林匹克）分析：其本質(zhì)顯然為Apollonius圓。證明：由定理6知圓O為P、M的Apollonius 圓，則DI、EI分別為PDE的內(nèi)角平分線(xiàn)，即I為PDE內(nèi)心。圖 7例2 如圖8，ABC中，ADBC，H為AD上任一點(diǎn)，則ADF=ADE（1994年加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克試題）圖 8證明：對(duì)完全

8、四邊形AFHEBC，由定理4知FLEK為調(diào)和點(diǎn)列。又ADBC，由定理7得ADF=ADE。圖 9例3 如圖9，完全四邊形ABCDEF中，GJEF與J，則BJA=DJC（2002年中國(guó)國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)選拔考試題）證明：由定理4及定理7有BJG=DJG且AJG=CJG，則BJA=DJC。圖 10例4 已知：如圖10，ABC內(nèi)角平分線(xiàn)BE、CF交于I，過(guò)I做IQEF交BC于P，且IP=2IQ。求證：BAC=60°證明：做AXEF交BC于Y，由定理4知ADID為調(diào)和點(diǎn)列，故，又IP=2IQ，則AX=XY，即EF為AY中垂線(xiàn)，由正弦定理，則AFYC共圓，同理AEYB共圓，故BYF=BAC=CYE=EY

9、F，故BAC=60°。圖 9例5 如圖11，P為圓O外一點(diǎn)，PA、PB為圓O的兩條切線(xiàn)。PCD為任意一條割線(xiàn)，CF平行PA且交AB于E。求證：CE=EF（2006國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)培訓(xùn)題）證明：由定理10及定理3即得。例6 如圖12，PAB、PCD為圓O割線(xiàn)，AD交BC于E，AC交BD于F，則EF為P的極線(xiàn)。（1997年CMO試題等價(jià)表述）證法一：作AEB外接圓交PE于M，則PE*PM=PA*PB=PC*PD，故CDME共圓（其實(shí)P為三圓根心且M為PAECBD密克點(diǎn)），從而B(niǎo)MD=BAE+BCD=BOD， BOMD共圓。OMT=OMB+BMT=ODB+BAE=90°故M為ST中點(diǎn)，

10、PS*PT= PA*PB=PE*PM，由定理2（3）知E在P極線(xiàn)上，同理F亦然，故EF為P的極線(xiàn)。圖 10圖 11證法二：如圖13，設(shè)PS、PT為圓O切線(xiàn)。在ABT中，可以得到 由塞瓦定理逆定理知ST、AD、BC三線(xiàn)共點(diǎn)于E，同理F亦然，故EF為P的極線(xiàn)。至此，點(diǎn)P在圓O外時(shí)，我們得到了P點(diǎn)極線(xiàn)的四種常見(jiàn)的等價(jià)定義：1、過(guò)P反演點(diǎn)做的OP的垂線(xiàn)。2、過(guò)P任意作割線(xiàn)PAB，AB上與PAB構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列的點(diǎn)的軌跡所在的直線(xiàn)。3、P對(duì)圓O的切點(diǎn)弦。4、過(guò)P任意做兩條割線(xiàn)PAB、PCD，AD、BC交點(diǎn)與AC、BD交點(diǎn)的連線(xiàn)。(注：切線(xiàn)為割線(xiàn)特殊情形，故 3、4是統(tǒng)一的)例7 ABC內(nèi)切圓I分別切BC、A

11、B于D、F，AD、CF分別交I于G、H。求證：(2010年?yáng)|南數(shù)學(xué)奧林匹克)圖 12證明：如圖14，由定理13知GFDE為調(diào)和四邊形，據(jù)托勒密定理有GD*EF=2FG*DE，同理HF*DE=2DH*EF相乘得 GD*FH= 4DH*FG又由托勒密定理GD*FH= DH*FG+FD*GH，代入即得 圖 13例8 已知：如圖15，ABC內(nèi)切圓切BC于D，AD交圓于E，作CF=CD，CF交BE于G。求證：GF=FC（2008年國(guó)家隊(duì)選拔）證明：設(shè)另兩切點(diǎn)為H、I，HI交BD于J，連JE。由定理10知AEKD為調(diào)和點(diǎn)列，由定理11知AD的極點(diǎn)在HI上，又AD極點(diǎn)在BD上，故J為AD極點(diǎn)；則JE為切線(xiàn)，

12、BDCJ為調(diào)和點(diǎn)列，由CF=CD且JD=JE知CF/JE，由定理3知GF=FC。（注：例8中BDCJ為一組常見(jiàn)調(diào)和點(diǎn)列）例9 如圖16，圓內(nèi)接完全四邊形ABCDEF中AC交BD于G，則EFGO構(gòu)成垂心組（即任意一點(diǎn)是其余三點(diǎn)的垂心）。證明：據(jù)例6知EG，F(xiàn)G共軛，由定理12則OGEF，其余垂直同理可證。圖 14注：EFG稱(chēng)為極線(xiàn)三角形。本題結(jié)論優(yōu)美深刻，初版于1929年的4已有介紹，它涉及到調(diào)和點(diǎn)列、完全四邊形、密克點(diǎn)、極線(xiàn)、Apollonius圓、垂心組等幾何中的核心內(nèi)容。本文開(kāi)頭提到的2010年聯(lián)賽題為本題的逆命題，熟悉上述內(nèi)容的情況下，采用參考答案的反證法在情理之中：如圖1，設(shè)D不在圓O

13、上，令A(yù)D交圓O于E，CE交AB于P，BE交AC于Q。由例9得PQ/MN；由定理4得MN、AD調(diào)和分割BC，同理PQ亦然，則PQ/MN/BC，從而K為BC中點(diǎn)，矛盾！故ABCD共圓。其實(shí)本題也可直接證明，如下：如圖17，由例3得1=2；又K不是BC中點(diǎn)，類(lèi)似例4證明可得OBJC共圓；MJB=NJC=BAC，由定理5得J為ABDCMN密克點(diǎn)，則BDM=BJM=BAN故ABDC共圓。圖 15以例9為背景的賽題層出不窮，再舉幾例，以饗讀者。例10 ADE中，過(guò)AD的圓O與AE、DE分別交于B、C，BD交AC于G，直線(xiàn)OG與ADE外接圓交于P。求證：PBD、PAC共內(nèi)心（2004年泰國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克）分

14、析：本題顯然為密克點(diǎn)、Apollonius圓、極線(xiàn)及例9等深刻結(jié)論的簡(jiǎn)單組合。證明：如圖16，由定理5及例9知PG互為反演點(diǎn)，據(jù)定理8知圓O為PG的Apollonius圓，由例1知PBD與PAC共內(nèi)心。例11 ABC中，D在邊BC上且使得DAC=ABC，圓O通過(guò)BD且分別交AB、AD于E、F，DE交BF于G， M為AG中點(diǎn)，求證：CMAO（2009年國(guó)家隊(duì)選拔）圖 16證明：如圖18，設(shè)EF交BC于J。由定理3得AKGL為調(diào)和點(diǎn)列，由定理2（4）有LK*GM=LG*KA，又CAD=ABD=JFD故EJ/CA，則即JG/CM而由例9有JGOA，故CMAO。例9中OGEF對(duì)圓外切四邊形亦然。例12

15、 如圖19，設(shè)圓O的外切四邊形AB CD對(duì)邊交于 EF，AC交BD交于G，則OGEF。（2009年土耳其國(guó)家隊(duì)選拔）圖 17證明：設(shè)四邊切點(diǎn)為ABCD，AC交BD于G，AB交CD于E，AD交BC于F，由例6知BD、AC極點(diǎn)E、F在EF上，則G與G重合，由例9，即得OGEF。圖 18例13 如圖20，ABCD為圓O的外切四邊形，OEAC于E，則BEC=DEC(2006年協(xié)作題夏令營(yíng)測(cè)試題)分析：由定理7知垂直證等角必為調(diào)和點(diǎn)列。證明：如圖20，做出輔助線(xiàn)，由例12知FI、GH、BD共點(diǎn)于M，且為AC的極點(diǎn)，從而OE也過(guò)M，且BLDM構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列，由定理7得BEC=DEC。最后我們看一道伊朗題及其

16、推廣例14 ABC內(nèi)切圓I切BC于D，AD交I于K。BK、CK交I于E、F，求證：BF、AD、CE三線(xiàn)共點(diǎn)。（2002年伊朗國(guó)家隊(duì)選拔考試題）分析：本題一般思路為Ceva定理計(jì)算，計(jì)算量較大。而且有人將其推廣為對(duì)AD上任意一點(diǎn)K，都有本結(jié)論成立（如圖21）。推廣題難度極大，網(wǎng)絡(luò)上有人用軟件大量計(jì)算獲證，也有高手通過(guò)復(fù)雜的計(jì)算得證5。其實(shí)從調(diào)和點(diǎn)列、極線(xiàn)角度看本題結(jié)論顯然，對(duì)推廣題證明如下： 圖 19證明：如圖21，設(shè)另兩個(gè)切點(diǎn)MN交BC于J，由例8得BDCJ為調(diào)和點(diǎn)列，故對(duì)AD上K點(diǎn)，由定理1知EF必過(guò)J點(diǎn)；由定理4 對(duì)完全四邊形BEFCJK必有 CE、BF、AK共點(diǎn)。練習(xí)：1 H是銳角ABC的垂心，以BC為直徑作圓，自A作切線(xiàn)AS、AT。求證：S、H、T三點(diǎn)共線(xiàn)。（1996CMO試題）提示：本題為例6特例2 求證在完全四邊