高中數(shù)學(xué)人教A版必修三教學(xué)案：第二章 第3節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系含答案

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料核心必知1預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材p84p91，回答下列問題(1)兩個(gè)變量之間除了函數(shù)關(guān)系還有其他關(guān)系嗎？提示：相關(guān)關(guān)系(2)當(dāng)兩個(gè)變量呈負(fù)相關(guān)關(guān)系時(shí)，散點(diǎn)圖有什么特點(diǎn)？提示：當(dāng)兩個(gè)變量之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系時(shí)，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布的位置是從左上角到右下角的區(qū)域(3)求回歸直線方程的主要方法是什么？提示：求回歸直線方程的主要方法是最小二乘法2歸納總結(jié)，核心必記(1)變量之間的相關(guān)關(guān)系變量與變量之間的關(guān)系常見的有兩類：一類是確定性的函數(shù)關(guān)系，變量之間的關(guān)系可以用解析式表示；另一類是相關(guān)關(guān)系，變量之間有一定的聯(lián)系，但不能完全用解析式來表達(dá)(2)兩個(gè)變量的線性相關(guān)

2、散點(diǎn)圖將各數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中的對應(yīng)點(diǎn)畫出來，得到表示兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形，這樣的圖形叫做散點(diǎn)圖正相關(guān)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)負(fù)相關(guān)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，對于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為負(fù)相關(guān)線性相關(guān)關(guān)系、回歸直線如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線，這條直線的方程叫做回歸直線方程，簡稱回歸方程(3)回歸直線方程回歸直線方程假設(shè)我們已經(jīng)得到兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)

3、，則所求回歸方程是x，其中是回歸方程的斜率，是截距其中最小二乘法通過求q(y1bx1a)2(y2bx2a)2(ynbxna)2 的最小值而得出回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法問題思考(1)任意兩個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)是否均可以作出散點(diǎn)圖？提示：可以，不管這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量是否具備相關(guān)性，以一個(gè)變量值作為橫坐標(biāo)，另一個(gè)作為縱坐標(biāo)，均可畫出它的散點(diǎn)圖(2)任何一組數(shù)據(jù)都可以由最小二乘法得出回歸直線方程嗎？提示：用最小二乘法求回歸直線方程的前提是先判斷所給數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系(可利用散點(diǎn)圖來判斷)，否則求出的回歸直線方程無意義(3)根據(jù)及回歸直線方程x，判斷點(diǎn)(，)與

4、回歸直線的關(guān)系是什么？提示：由得，因此點(diǎn)(，)在回歸直線上課前反思通過以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個(gè)知識點(diǎn)：(1)相關(guān)關(guān)系： ；(2)散點(diǎn)圖： ；(3)回歸直線方程及求回歸直線方程的方法步驟： .瑞雪兆豐年，這不禁使我們想到這樣一句諺語：“冬天麥蓋三層被，來年枕著饅頭睡”，意思是冬天“棉被”蓋得越厚，春天小麥就長得越好思考1下雪與小麥豐收有關(guān)系嗎？ 提示：有關(guān)系，但這種關(guān)系具有不確定性思考2若把下雪量和小麥產(chǎn)量看作兩個(gè)變量，則這兩個(gè)變量之間的關(guān)系是確定的嗎？若不是確定的，那會是什么關(guān)系？名師指津：這兩個(gè)變量之間的關(guān)系是不確定的，這兩個(gè)變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系思考3怎樣理解兩個(gè)變量之間的關(guān)系？ 名師指

5、津：兩個(gè)變量間的關(guān)系分為三類：(1)確定性的函數(shù)關(guān)系，如正方形的邊長與面積的關(guān)系；(2)相關(guān)關(guān)系，變量間確實(shí)存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系所要求的確定性，它們的關(guān)系是帶有隨機(jī)性的，這種關(guān)系就是相關(guān)關(guān)系，例如，某位同學(xué)的“物理成績”與“數(shù)學(xué)成績”之間的關(guān)系；(3)不相關(guān)，即兩個(gè)變量間沒有任何關(guān)系講一講1下列關(guān)系中，屬于相關(guān)關(guān)系的是_人的身高與視力的關(guān)系；做自由落體運(yùn)動的物體的質(zhì)量與落地時(shí)間的關(guān)系；降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系嘗試解答題號判斷原因分析不是相關(guān)關(guān)系身高與視力無關(guān)，不具有函數(shù)關(guān)系，也不具有相關(guān)關(guān)系續(xù)表題號判斷原因分析不是相關(guān)關(guān)系自由落體的物體的質(zhì)量與落地時(shí)間無關(guān)，不具有相關(guān)關(guān)系相關(guān)

6、關(guān)系降雪量越大，交通事故發(fā)生率越高，不確定性的關(guān)系答案：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系區(qū)別函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是兩個(gè)變量間一種不完全確定的關(guān)系函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系練一練1在下列兩個(gè)變量的關(guān)系中，哪些是相關(guān)關(guān)系？正方形邊長與面積之間的關(guān)系；作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系；人的身高與年齡之間的關(guān)系；解：兩變量之間的關(guān)系有三種：函數(shù)關(guān)系、相關(guān)關(guān)系和不相關(guān)正方形的邊長與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，但是具有相關(guān)性，因而是相關(guān)關(guān)系人的身高與年齡之間的關(guān)系既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系，因?yàn)槿说哪挲g達(dá)到一定時(shí)期

7、身高就不發(fā)生明顯變化了，因而他們不具備相關(guān)關(guān)系下表為某地搜集到的新房屋的銷售價(jià)格y(單位：萬元)和房屋的面積x(單位：m2)的數(shù)據(jù)：x11511080135105y44.841.638.449.242思考1能否以x為橫坐標(biāo)，以y為縱坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中作出表示以上數(shù)據(jù)的點(diǎn)？此圖稱為什么圖形？名師指津：能，如圖所示，此圖稱為散點(diǎn)圖思考2從散點(diǎn)圖看應(yīng)怎樣描述房屋的銷售價(jià)格與房屋面積之間的變化關(guān)系？ 名師指津：從大體上看，面積越大，銷售價(jià)格越高，但不是正比例函數(shù)關(guān)系思考3怎樣認(rèn)識散點(diǎn)圖？名師指津：(1)散點(diǎn)圖與相關(guān)性的關(guān)系：散點(diǎn)圖形象地反映了各對數(shù)據(jù)的密切程度根據(jù)散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布趨勢分析兩個(gè)變量之

8、間的關(guān)系，可直觀地判斷并得出結(jié)論(2)散點(diǎn)圖與正、負(fù)相關(guān)性的關(guān)系：如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，稱這兩個(gè)變量正相關(guān)，即兩個(gè)變量具有相同的變化趨勢；如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，即兩個(gè)變量具有相反的變化趨勢講一講2下表是某地的年降雨量與年平均氣溫，判斷兩者是相關(guān)關(guān)系嗎？求回歸直線方程有意義嗎？年平均氣溫()12.5112.7412.7413.6913.3312.8413.05年降雨量(mm)748542507813574701432嘗試解答以x軸為年平均氣溫，y軸為年降雨量，可得相應(yīng)的散點(diǎn)圖，如圖所示：因?yàn)閳D中各點(diǎn)并不在一條直線附近，所以兩

9、者不具有相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程也是沒有意義的用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量x與y的相關(guān)關(guān)系(1)判斷兩個(gè)變量x和y間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，常用的簡便方法就是繪制散點(diǎn)圖，如果圖上發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個(gè)變量就是線性相關(guān)的，注意不要受個(gè)別點(diǎn)的位置的影響(2)畫散點(diǎn)圖時(shí)應(yīng)注意合理選擇單位長度，避免圖形過大或偏小，或者是點(diǎn)的坐標(biāo)在坐標(biāo)系中畫不準(zhǔn)，使圖形失真，導(dǎo)致得出錯(cuò)誤結(jié)論練一練2對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1,2，10)，得散點(diǎn)圖；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i1,2，10)，得散點(diǎn)圖.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷()a變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)b變量x與y正

10、相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)c變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)d變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)解析：選c在從散點(diǎn)圖來看，圖中的點(diǎn)自左上方向右下方分布，說明變量x與y負(fù)相關(guān)；圖中的點(diǎn)自左下方向右上方分布，說明u與v正相關(guān).觀察知識點(diǎn)2中的背景實(shí)例思考根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，能否估計(jì)出房屋面積為120 m2 時(shí)的銷售價(jià)格？如何估計(jì)？名師指津：能可根據(jù)散點(diǎn)圖作出一條直線，求出直線方程，再進(jìn)行預(yù)測根據(jù)兩個(gè)變量的取值，畫出散點(diǎn)圖后作出一條直線，利用最小二乘法求出此直線方程，代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可對另一個(gè)變量取值進(jìn)行估計(jì)講一講3一般來說，一個(gè)人腳掌越長，他的身高就越高，現(xiàn)對10名成年人的腳掌長x與身高y進(jìn)行測量，得到數(shù)據(jù)(單位均

11、為 cm)作為一個(gè)樣本如下表所示：腳掌長/x20212223242526272829身高/y141146154160169176181188197203(1)在上表數(shù)據(jù)中，以“腳掌長”為橫坐標(biāo)，“身高”為縱坐標(biāo)，作出散點(diǎn)圖后，發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)在一條直線附近，試求“身高”與“腳掌長”之間的線性回歸方程x；(2)若某人的腳掌長為26.5 cm，試估計(jì)此人的身高(參考數(shù)據(jù)：(xi)(yi)577.5，(xi)282.5)嘗試解答(1)記樣本中10人的“腳掌長”為xi(i1,2，10)，“身高”為yi(i1,2，10)，則7，24.5，171.5，0.7x.(2)由(1)知7x，則當(dāng)x26.5時(shí)，7×

12、;26.5185.5(cm)故估計(jì)此人的身高為185.5 cm.用線性回歸方程估計(jì)總體的一般步驟(1)作出散點(diǎn)圖，判斷散點(diǎn)是否在一條直線附近；(2)如果散點(diǎn)在一條直線附近，用公式求出，并寫出線性回歸方程(否則求出的回歸方程是沒有意義的)；(3)根據(jù)線性回歸方程對總體進(jìn)行估計(jì)練一練32016年元旦前夕，某市統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)了該市2015年10戶家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計(jì)資料如下表：年收入x(萬元)24466677810年飲食支出y(萬元)0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3(1)如果已知y與x是線性相關(guān)的，求回歸方程；(2)若某家庭年收入為9萬元，預(yù)測其年飲食支出(參考數(shù)據(jù)

13、：iyi117.7，406)解：(1)由題意可計(jì)算得：6，1.83，236，10.98，又iyi117.7，406，b0.17，ab0.81，0.17x0.81.所求的回歸方程為0.17x0.81.(2)當(dāng)x9時(shí)，0.17×90.812.34(萬元)，可估計(jì)該年收入為9萬元的家庭每年飲食支出約為2.34萬元課堂歸納·感悟提升1本節(jié)課的重點(diǎn)是會作兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，會利用散點(diǎn)圖認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程難點(diǎn)是了解相關(guān)關(guān)系、線性相關(guān)、回歸直線的概念，了解最小二乘法的思想2本節(jié)課要掌握以下幾類問題：(1)準(zhǔn)確區(qū)分相關(guān)關(guān)系與函數(shù)

14、關(guān)系，見講1.(2)會利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系，見講2.(3)掌握用線性回歸方程估計(jì)總體的一般步驟，見講3.3本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè)：(1)區(qū)分不清相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系，如講1；(2)求回歸直線方程中易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤，如講3.課下能力提升(十四)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練題組1變量間的相關(guān)關(guān)系1下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系，哪個(gè)不是函數(shù)關(guān)系()a正方體的棱長和體積b圓半徑和圓的面積c正n邊形的邊數(shù)和內(nèi)角度數(shù)之和d人的年齡和身高解析：選da、b、c都是函數(shù)關(guān)系，對于a，va3；對于b，sr2；對于c，g(n)(n2).而對于年齡確定的不同的人可以有不同的身高，選d.2下列語句所表示的事件中的因素不具有相關(guān)關(guān)系

15、的是()a瑞雪兆豐年b上梁不正下梁歪c吸煙有害健康d喜鵲叫喜，烏鴉叫喪解析：選d選項(xiàng)a，b，c中描述的變量間都具有相關(guān)關(guān)系，而選項(xiàng)d是迷信說法，沒有科學(xué)依據(jù)題組2散點(diǎn)圖3下列圖形中，兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系的是()解析：選b線性相關(guān)關(guān)系要求兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖大致在一條直線上，且不是函數(shù)關(guān)系4如圖是兩個(gè)變量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系？解：不具有相關(guān)關(guān)系，因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)圖散亂地分布在坐標(biāo)平面內(nèi)，不呈線形5某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)(單位：百萬元)：x24568y3040605070(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)從散點(diǎn)圖中判斷銷售金額與廣告費(fèi)支出成什么樣的關(guān)系？解：

16、(1)以x對應(yīng)的數(shù)據(jù)為橫坐標(biāo)，以y對應(yīng)的數(shù)據(jù)為縱坐標(biāo)，所作的散點(diǎn)圖如圖所示：(2)從圖中可以發(fā)現(xiàn)廣告費(fèi)支出與銷售金額之間具有相關(guān)關(guān)系，并且當(dāng)廣告費(fèi)支出由小變大時(shí)，銷售金額也大多由小變大，圖中的數(shù)據(jù)大致分布在某條直線的附近，即x與y成正相關(guān)關(guān)系題組3線性回歸方程的求法及應(yīng)用6下列有關(guān)回歸方程x的敘述正確的是()反映與x之間的函數(shù)關(guān)系；反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系；表示與x之間的不確定關(guān)系；表示最接近y與x之間真實(shí)關(guān)系的一條直線a b c d解析：選dx表示與x之間的函數(shù)關(guān)系，而不是y與x之間的函數(shù)關(guān)系且它所反映的關(guān)系最接近y與x之間的真實(shí)關(guān)系故選d.7設(shè)有一個(gè)回歸方程為1.5x2，則變量x增加一個(gè)單

17、位時(shí)()ay平均增加1.5個(gè)單位by平均增加2個(gè)單位cy平均減少1.5個(gè)單位dy平均減少2個(gè)單位解析：選c兩個(gè)變量線性負(fù)相關(guān)，變量x增加一個(gè)單位，y平均減少1.5個(gè)單位8某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據(jù)上表可得回歸方程x中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為()a63.6萬元 b65.5萬元c67.7萬元 d72.0萬元解析：選b樣本中心點(diǎn)是(3.5,42)，則429.4×3.59.1，所以回歸直線方程是9.4x9.1，把x6代入得65.5，故選b.9已知工廠加工零件的個(gè)數(shù)x與花費(fèi)時(shí)間y(h)之

18、間的線性回歸方程為0.01x0.5，則加工200個(gè)零件大約需要_小時(shí)解析：將200代入線性回歸方程0.01x0.5，得y2.5.答案：2.510有人統(tǒng)計(jì)了同一個(gè)省的6個(gè)城市某一年的人均國民生產(chǎn)總值(即人均gdp)和這一年各城市患白血病的兒童數(shù)量，如下表：人均gdp/萬元1086431患白血病的兒童數(shù)/人351312207175132180(1)畫出散點(diǎn)圖，并判定這兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系；(2)通過計(jì)算可知這兩個(gè)變量的回歸直線方程為23.25x102.15，假如一個(gè)城市的人均gdp為12萬元，那么可以斷言，這個(gè)城市患白血病的兒童一定超過380人，請問這個(gè)斷言是否正確？解：(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)

19、畫散點(diǎn)圖，如圖所示從圖中可以看出，在6個(gè)點(diǎn)中，雖然第一個(gè)點(diǎn)離這條直線較遠(yuǎn)，但其余5個(gè)點(diǎn)大致分布在這條直線的附近，所以這兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系(2)上述斷言是錯(cuò)誤的，將x12代入23.25x102.15得23.25×12102.15381.15380，但381.15是對該城市人均gdp為12萬元的情況下所作的一個(gè)估計(jì)，該城市患白血病的兒童可能超過380人，也可能低于380人能力提升綜合練1(2014·湖北高考)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y4.02.50.50.52.03.0得到的回歸方程為bxa，則()aa>0，b>0 ba>0，b<0ca<

20、;0，b>0 da<0，b<0解析：選b由表中數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，如圖，由散點(diǎn)圖可知b<0，a>0，選b.2已知變量x，y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，其散點(diǎn)圖如圖所示，則其回歸方程可能為()a.1.5x2 b.1.5x2c.1.5x2 d.1.5x2解析：選b設(shè)回歸方程為bxa，由散點(diǎn)圖可知變量x、y之間負(fù)相關(guān)，回歸直線在y軸上的截距為正數(shù)，所以b0，a0，因此方程可能為1.5x2.3在2015年5月1日，某市物價(jià)部門對本市的5家商場某商品的一天銷售量及其價(jià)格進(jìn)行了調(diào)查，5家商場的售價(jià)x元和銷售量y件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：價(jià)格x(元)99.51010.511銷售量y(件

21、)1110865由散點(diǎn)圖可知，銷售量y與價(jià)格x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是：3.2xa(參考公式：回歸方程bxa，ab)，則a()a24 b35.6 c40.5 d40解析：選d價(jià)格的平均數(shù)是10，銷售量的平均數(shù)是8，由3.2xa知b3.2，所以ab83.2×1040，故選d.4設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位： cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為0.85x85.71，則下列結(jié)論中不正確的是()ay與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系b回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(，)c若該大學(xué)某女生身高增加1 cm，

22、則其體重約增加0.85 kgd若該大學(xué)某女生身高為170 cm，則可斷定其體重必為58.79 kg解析：選d由于回歸直線的斜率為正值，故y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，選項(xiàng)a中的結(jié)論正確；回歸直線過樣本點(diǎn)的中心，選項(xiàng)b中的結(jié)論正確；根據(jù)回歸直線斜率的意義易知選項(xiàng)c中的結(jié)論正確；由于回歸分析得出的是估計(jì)值，故選項(xiàng)d中的結(jié)論不正確5假設(shè)學(xué)生在初中的英語成績和高一英語成績是線性相關(guān)的現(xiàn)有10名學(xué)生的初中英語成績(x)和高一英語成績(y)如下：x74717268767367706574y76757170767965776272由此得到的回歸直線的斜率約為1.22，則回歸方程為_解析：將71，72.3，1.22，代入，得72.31.22×7114.32.答案：1.22x14.326對某臺機(jī)器購置后的運(yùn)行年限x(x1,2,3，)與當(dāng)年利潤y的統(tǒng)計(jì)分析知x，y具有線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為10.471.3x，估計(jì)該臺機(jī)器最為劃