高考數(shù)學理二輪專復習典型例題在線：專題30 數(shù)形結合的思想方法

1、1數(shù)形結合的思想方法 2 著名數(shù)學家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休”事實上，數(shù)與形是數(shù)學中兩個最古老而又最基本的對象，是數(shù)學大廈深處的兩塊基石數(shù)形結合就是通過這兩者之間的對應和轉化來解決問題的“數(shù)”與“形”在一定的條件下可以相互轉化在一維空間，實數(shù)與數(shù)軸上的點建立了一一對應關系；在二維空間，實數(shù)對與坐標平面上的點建立了一一對應關系，進而使函數(shù)的解析式與函數(shù)的圖象，方程與曲線建立了一一對應關系；在三維空間，空間向量的引入又為用代數(shù)方法研究空間點線面關系提供了可能這種用代數(shù)方法研究圖形性質(zhì)，借助圖形性質(zhì)研究數(shù)量關系的思想方法就是數(shù)形結合思想3 數(shù)形

2、結合是一種重要的數(shù)學思想方法，它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：一是借助形的直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形為手段，數(shù)為目的，如應用函數(shù)的圖象來直觀說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)為手段，形為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì) 在運用數(shù)形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉化；三是正確確定參數(shù)的取值范圍4-1 1構造途徑構造途

3、徑(1)利用“兩點間的距離 224131237f xxxxx求函數(shù)的最小值例例1 1 5- 22222241312372036012,36,1,0(23)4 24 2.f xxxxxxxabp xpapbaxcpapbpcpbbcf x 將函數(shù)式變形，得，設，則上述問題轉化為求的最小值，如圖點 關于 軸的對稱點為，因為，所以的最小值為解析：6點評點評：本題如果直接對原式進行變形，是有一定運算量的，效率也不高，但將式子轉化為這種點與點距離公式之后，它的幾何意義就凸現(xiàn)出來了，利用數(shù)形結合的方法，把代數(shù)問題轉化為幾何問題7(2)利用“直線的斜率”例例2 2 實系數(shù)方程f(x)=x2+ax+2b=0的

4、一個根在(0,1)內(nèi)，另一個根在(1,2)內(nèi)，求 的取值范圍21ba 解析： 由根的分布，可寫出a、b所滿足的條件，并作出示意圖；另外，由 的形式，可聯(lián)想斜率公式，利用解析幾何的辦法加以求解21ba8001020fff 021020babab 解析：因方程x2+ax+2b=0的一個根在(0,1)內(nèi)，另一個根在(1,2)內(nèi)，故函數(shù)f(x)=x2+ax+2b的圖象與x軸的交點的橫坐標分別在區(qū)間(0,1)及(1,2)內(nèi)，于是.，即 點(a，b)所表示的平面區(qū)域為如圖的abc的內(nèi)部，其中，a(3,1)為直線a+2b+1=0與直線a+b+2=0的交點，b(2,0)為直線a+b+2=0與直線b=0的交點，

5、c(1,0)為直線a+2b+1=0與直線b=0的交點9 由于 表示連結點(a，b)和點d(1,2)的斜 率，由圖易知，21ba 點評：點評：對于方程根的分布問題，常利用數(shù)形結合法，從對稱軸的方程、最值、開口方向、特殊點的函數(shù)值等方面進行考慮；對于求比例形式的問題，常?？陕?lián)想直線的斜率利用數(shù)形結合的方法進行求解 112,1,1.441adcdbkka因故21cdadbkka10(3)利用“點到直線的距離”解析：將函數(shù)表達式變形得 2|21|22yxx2y的幾何意義表示半圓 x2+y2=1（0y1）上的點p到直線x y+2=0的距離 從而由圖易得 的最小值為 1從而所求函數(shù)的最小值為 2.222y

6、2 2- 1-yxx 求函數(shù)的最小值例例3 311(4)利用“函數(shù)圖象”( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( )0( )0f xg xrf xf x g xrf xf xfx g xf x g xf xxf xx因、分別是定義在 上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，故函數(shù)是 上的奇函數(shù)由奇函數(shù)的圖象特征：奇函數(shù)的圖象關于原點對稱知，在原點兩側的單調(diào)性相同又注意到，依據(jù)條件知解析：，在 時為增函數(shù)，于是在 時亦為增函數(shù) ( )( )0030.( ) ( )0_f xg xrxfx g xf x gxgf x g x 且設、分別是定義在 上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當 時，則不等式 的

7、解集是例4 12因為g(x)為偶函數(shù)且g(3)=0，故g(3)=0，從而f(3)=f(3)=0.作出滿足條件f(x)的示意圖如圖所示，由圖易知，f(x)0的解集為(，3)(0,3)點評：點評：為什么奇函數(shù)的圖象在原點兩側的單調(diào)性相同，這就是我們成竹在胸，“胸”中有圖：對奇函數(shù)的圖象特征爛熟于心；為什么在圖中標了三個特殊點：兩個非f(x)圖象中的點，一個f(x)圖象中的點即原點：這就是我們對奇函數(shù)性質(zhì)了如指掌：13 奇函數(shù)若在原點處有定義，則奇函數(shù)的圖象一定過原點當我們作出了滿足全部條件的函數(shù)f(x)的圖象后，不等式f(x)0的解集已經(jīng)躍然圖上了這就是圖形的直觀作用！借助于圖形，省卻了繁瑣的推理

8、與計算，取而代之的是一幅賞心悅目的優(yōu)美圖案與簡潔明快的解答！14(5)利用“單位圓”2222cossincossin(0)cos.2abcabc abckkabz 已知，求證：例例5 5證明：在平面直角坐標系中，點a(cos ，sin )與點b(cos ，sin )是直線l：ax+by=c與單位圓x2+y2=1的兩個交點，如圖 222(coscos )(sinsin ) 22cos()ab從而，15又因單位圓的圓心到直線l的距離 22|,cdab由平面幾何知識知， 2221()2oaabd，22222214coscdab即，22221cos22coscab所以 ，命題得證.16(6)利用“正余

9、弦定理”構圖22sin 20cos 50sin20 cos50 求的值例例6 622222sin 20sin 402sin20sin40 cos12020 40 1201sin20sin40sin1203sin 20sin 402sin20 sin40 cos120sin 120.4 將原式變形為，于是我們可聯(lián)想構造一個三角形：其三個內(nèi)角分別為、 、，并設此三角形外接圓直徑為 ，則此三角形三邊長分別為、，由余弦定理可得解析:17點評：點評：本題中，根據(jù)數(shù)形結合思想，實現(xiàn)了由三角式向三角形邊角關系式的轉換，使運算大為簡捷18222222221531334223xxyyxyzyzxxzzxyyzx

10、z 設正數(shù) ， ， 滿足方程組 ，試求的值例例7 7分析分析 原題中只須求出xy+2yz+3xz的整體值，無須求出想x,y,z的單個值，可聯(lián)想利用余弦定理構造三角形，利用三角形的面積及余弦定理直接求值.192222222222211()3311215053313321204yyxxy cosyyzxxzcosz 將視作為，依余弦定理可將原方程組變形為三個式子可分別聯(lián)想到三解析：個三角形20115031903120 .xyyzxz第一個：兩邊 ，夾角；第二個：兩邊， ，夾角 ；第三個：兩邊 ， ，夾角為54315012090190 .3abcabacbcaobaocbocaoxboycozacb

11、如圖構造，使，并設，且21111111sin150sin1203 42222332324 3.aobcoabocabcssssxyxzyzxyyzxz 因，故，化簡即得點評：點評：視x、 y、z為三條邊，進而將所求值xy+2yz+3xz轉化為三角形的面積，并聯(lián)用正弦定理、余弦定理及三角形的面積公式，實現(xiàn)快速解題1322(7)利用“平行線間的距離”22240215.abxyabxyaxbyr已知 ， ， ，且，求證：例例8 8 2312121222222()()()240()210/ / .41|-|512-5abxyablxyxylxyllccdaba xb y待證式的左邊可視為點 ，與 ，

12、間的距離的平方已知條件說明點 ，在直線 ：上，點 ，在直線 ：上，且顯然，平行直線上任意兩點間的距離不小于這兩平行線間的距離，而兩平行線間的距離，所以證明：24點評：點評：對形如等式ab+cd=k，可以視為點(a，c)在直線bx+dy=k上，或根據(jù)證題需要視為點(a，d)在直線bx+cy=k上252.應用方面列舉(1)函數(shù)的圖象與性質(zhì)例例9 方程x34x2+4xlog2x=0的實根個數(shù)為_分析：解方程求根是不切實際的，畫圖是一條重要的途徑26 3221221112112144log3840,123220223202 32 3yxxx yxyxxxxyxxxxyxxy令， 則 令得， 在處 符合

13、 其 導 函 數(shù) 的 值 左 負 右 正 ， 故時 ， 取 得 極 小 值，（ 2,0） 是 函 數(shù) 圖 象 的 極 小 值 點 ； 在處 符 合 其 導 函 數(shù)的 值 左 正 右 負 ， 故時 ， 取 得解 析 ：極 大 值 27 是函數(shù)圖象的極大值點，其函數(shù)圖象如圖所示又在圖中作出函數(shù)y2=log2x的圖象，顯然兩圖象有2個不同交點，故原方程有2個不同的實根2 323 27，28 點評：點評：這是一道典型的應用數(shù)形結合來解決問題的綜合型小題，將三次函數(shù)圖象模型與對數(shù)函數(shù)圖象糅合在一起，要求學生掌握三次函數(shù)的極值，極值點，最值，單調(diào)區(qū)間的求法及函數(shù)圖象的畫法，更要注意在同一坐標系中兩圖象的位

14、置關系29(2)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(0,2 )sincos_10 xxx 在內(nèi)使成立的 取值范圍為例例分析：有些學生不加分析地盲目利用同角三角函數(shù)間的關系與公式，進行運算與推理，往往造成較高的錯誤率，而如果借助三角函數(shù)圖象，以形助數(shù)，則不僅會正確得出答案，而且過程簡潔直觀sincos(0,2 )5()44yxyx在同一坐標系中作出，在上的圖象如圖所示.由圖可知，答案為解析：，30(3)與解方程、解不等式有關的問題 2122122()1,12112.11,1xaf xxxaaxf xxxxmmtmxxaatm r 已知在區(qū)間上是增函數(shù) 求實數(shù) 的值組成的集合 ；設關于 的方程的兩個非零實根為

15、、試問：是否存在實數(shù) ，使得不等式對任意及恒成立？若存在，求 的取值范圍；若不存在，試說明理由例例1 131分析： (1)函數(shù)f(x)是區(qū)間-1,1上的增函數(shù)，這個條件怎樣使用？有兩條思路可走：一是利用函數(shù)單調(diào)性的定義，二是利用導數(shù)的性質(zhì)這里我們不妨用第二種方法 2222222222222.2201,1201,1xxaxxaxfxxxfxxxaxx 條件等價于對恒成立，即對解析：恒成立32 221,1()100121101010.2110gxxaxxxoyxyggxaagaxyggxaaga 令， 并 作 出 它 在直 角 坐 標 系內(nèi) 的 示 意 草 圖 圖 略 ， 因 其 形 狀 已 經(jīng)深

16、 深 地 烙 在 了 自 己 的 腦 海 中 ，由 圖 易 知 ， 若 對 稱 軸 方 程所 在 直 線 在 軸 的 右 側 ，則為 函 數(shù)的 最 大 值 ，從 而；若 對 稱 軸 方 程所 在 直 線 不 在 軸 的 右 側 ，則為 函 數(shù)的 最 大 值 ，從 而33 22222212121221220.22021248.xaxaxxxxaxxaxxxxxxx xa 由，得依題意方程的兩實根與方程的根等價，從而利用根與系數(shù)的關系，可求得|01 | 1| 110aaaaaaaa綜合上面兩種情形的討論可知，即342122212maxmax211,11|(8)3(11)2 01,1mtmxxaa

17、tmtmxxaamtmt 注意到不等式對任意及恒成立，從而其中，即不等式對任意恒成立35 222221,1201,112022.12022.h tmtmtyh th tmtmtthmmmmhmmmmmm 令，則函數(shù)的圖象為一條線段于是，當對任意恒成立時，其線段應在 軸的上方，故或從而存在滿足條件的實數(shù) ，且 的取值范圍為或36點評：點評： 本題是一道較難的解不等式問題，但兩問的求解都借助了圖形的直觀，進而很簡捷地得到了問題的解答與結論其中，第(1)問，用的是二次函數(shù)的圖象的對稱軸的位置與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的關系而得到的；第(2)問，先是利用了主元思想，視m2+tm-2中t為變量，m為常量，進而得出函數(shù)h(t)=mt+(m2-2)，t-1,1的圖象為一條線段的直觀結論，后利用它寫出了m所滿足的條件組，并最終求得了m的取值范圍 37(4)解析幾何中的有關問題2222242202 2()xyxxyyx yzxyxy 例12 實數(shù)