北京大學(xué)數(shù)學(xué)物理方法(下)課件_12數(shù)學(xué)物理方程和定解條件(精)

1、i2方 w 祐祁林|G).總卜金V ITI *fe Kt ft fbM H*KJit1l|.i)f h 1*7 tttewM仏.y 3 3 - 4 們面十冊 iai0 .! fi aiTIIW4 b of c 小 n A tit - 4 4耐磚 AUMmtrUl*adQtWr*4Uta4l*. 貝 z R*vw.! *r* tA 勺 l*4ltt 川 代網(wǎng)7 【 * nw ,嶺RNUdtv*m111IMMB rAR1.8It-Klci 4“eat. a、 w Kr t AM. a ZW 口!Wi AUUI 51V) 4i12.2 ftnairitatA4r( (& MMUe f. I

2、， nr A w 0HMlKRr # f* 4 Hl tK* * !)S MlV CWHAM t4 0eRftOXCA4M(今今劉 Hi ait* 4 宀 8rII葉UVMI -亠WIMVMVMIFSfff*rPFP f呻 鼻 叩WflSKIiRJE tWv H-A *tph1taMTtn 和111 *HHto+*4*1片hte-n . h l itaii.9 ti* - nl r1* -ijl片:皿iN 4|囲曲咔.!J.X|f4|lth A t.JM叫訥I? F If - *12.4 邊界條件與初始條件 初始條件 研究質(zhì)點(diǎn)的性質(zhì)時嬬 單由微分方程嬬 并不 能求出質(zhì)點(diǎn)性質(zhì)隨時間的變化孽即任何

3、時刻質(zhì)點(diǎn)的性質(zhì)嬮 例如嬬根據(jù)孎孥孷孴孯孮定律并不能確定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動孽它在任意時刻的位置和速度嬬我們還需要知道質(zhì)點(diǎn)的初始位置和初始速度嬮對于描述介質(zhì)運(yùn)動的偏微分方程嬬同樣需要給出介質(zhì) 的初始狀態(tài)嬬才能決定介質(zhì)以后任意時刻的物理狀態(tài)嬮介質(zhì)的初始狀態(tài)即由初始 條件給出嬮對于波動方程嬬它是關(guān)于時間的二階偏微分方程嬬所以應(yīng)該給出介質(zhì) 初始時刻各點(diǎn)的位移u|t=O 嬽嬨 x, y, z 嬩和初始時刻各點(diǎn)的速度嬬 即對時間的 一階偏導(dǎo)數(shù)?u ?t 嬽書嬨 x, y, z嬩 t=0 對于熱傳導(dǎo)方程嬬由于方程中只出現(xiàn) 對 t 的一階偏導(dǎo)數(shù)嬬所以初始條件只需給出初始時刻各點(diǎn)溫度 u 嬨 x, y, z 嬩的值 u|

4、t=O 嬽嬨 x, y, z 嬩穩(wěn)定問題與時間無關(guān)嬬 則沒有初始條件嬮 邊界 條件對于介質(zhì)嬬 情況比質(zhì)點(diǎn)還要復(fù)雜嬺 除了初始條件嬬 還需要有邊界條件嬮 這 是因?yàn)榻橘|(zhì)有內(nèi)部和表面嬮在推導(dǎo) 介質(zhì)滿足的數(shù)理方程時嬬 只考慮了介質(zhì)內(nèi)部的點(diǎn)嬮介質(zhì)表面的點(diǎn)與介質(zhì)內(nèi)部的點(diǎn)不同嬺首先嬬它只在一側(cè)與介質(zhì)內(nèi)其它點(diǎn)相互 作用嬻其次嬬在另一側(cè)與外界有相互作用嬮因此介質(zhì)表面所滿足的方程與介質(zhì)內(nèi) 部所滿足的方程不同嬬應(yīng)另外推導(dǎo)嬮我們把介質(zhì)表面各點(diǎn)滿足的方程稱為邊界條 件嬮先以一維振動為例嬬 其邊界由兩端點(diǎn)組成嬮 Example 12.4 Solution 弦的橫振 動如果弦的兩端 嬨由外界嬩 固定嬬那么邊界條件就是 u

5、|x=0 嬽嬰 u|x=l 嬽嬰 Example 12.5 Solution 桿的縱振動 如果 x 嬽嬰端固定嬬而另一端 x 嬽 l 受嬨 x 方 向的嬩外力作用嬬 設(shè)單位面積上的力是 F 嬨 t 嬩 P 嬨 l -孤 x 嬩 S O l -孤 x u|x=0 嬽嬰 lF 嬨 t 嬩 S x 嬽嬰端邊界條件仍是 嬨嬱嬳嬩 x 嬽 l 這一端的邊界條件并不能 直接看出嬮 模仿推導(dǎo)方程的方法嬬 在端點(diǎn) x 嬽 l處截取一小段桿嬬 長度為孤 x 嬮 根據(jù)孎孥孷孴孯孮 定律？2u ?2u F 嬨 t 嬩 S - P 嬨 I -孤 x, t 嬩 S 嬽孤 m 2 嬽pS 孤 x 2 ?t ?t 因?yàn)楣?

6、x 嬰 F 嬨 t 嬩嬽 P 嬨 I, t 嬩嬶根據(jù)孈孯孯孫孥 定律 P 嬽 E 所以?u ?x 如果 x 嬽 l 端是自由的嬬 F 嬨 t 嬩嬽 嬰嬬則?u ?x 如果外力為彈簧提供的彈性力嬬 F 嬨 t 嬩嬽-k 孛 u 嬨 I, t 嬩-u0 孝 u0 為端點(diǎn)的平衡位移嬬 則？u k 嬫 u ?x E 再舉一個三維例子?jì)?其邊界為一閉合曲 面嬮 Example 12.6Solution 熱傳導(dǎo)問題 嬽 x=l ?u ?x 嬱 F 嬨 t 嬩 E 嬨嬱嬴嬩 嬽 x=l 嬽嬰 x=l 嬨嬱嬵嬩 k u0 E嬨嬱嬶嬩 第一種類型是邊界上各點(diǎn)的溫度已知嬨由外界給定嬩 u| 2 嬽側(cè)慈嬆,t 嬩嬨

7、嬱嬤嬩這里嬬我們用嬆表示邊界上的各點(diǎn)嬬 同時也 表示相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)嬮第二種類型是介質(zhì)與外界通過表面嬨邊界嬩有熱量的交換嬬 單位時間內(nèi)嬬 通過單位面積的邊界面流入的熱量已知嬬為書嬨嬆，t 嬩嬬由外界給定-qn |嬽書嬨嬆，t 嬩 n 為表面的法向嬬 負(fù)號表示方向與法向相反嬮 qn2- n -qn2翕-嬆這時嬬我們可在邊界嬆的內(nèi)側(cè)截取一小薄層的介質(zhì)嬬 它的另一個底 面在介質(zhì)內(nèi)部嬬 其上的點(diǎn)用 嬆-表示嬮當(dāng)介質(zhì)薄層的厚度 d 嬰時嬬則兩底面 的面積相等嬬而側(cè)面面積可忽略嬮所以流入介質(zhì)薄層的熱量為兩底面流入熱量 之和嬮根據(jù)能量守恒定律嬬應(yīng)該等于這一塊介質(zhì)薄層溫度升高所需 要的熱量嬮假設(shè)薄層的底面積為單位

8、面積 qn |2- - qn |嬽熱容量池度 升高但介質(zhì)薄層的厚度嬰時嬬顯然其熱容量嬰嬬所以 qn |2- - qn |嬽嬰嬤即通過介質(zhì)表面流入的熱量嬬 應(yīng)當(dāng)全部通過薄層的另一底面流向介質(zhì)內(nèi)部嬮 由孆孯孵孲孩孥孲 定律嬬 熱流密度矢量 q 嬽-k ? u 而 qn 嬽 q n 嬽-k n 嬨？u 嬩嬽-k 其中法向?qū)?shù)定義為？= r?-?n 所以-k -k 嬆-嬆嬬故?u ?n 如果邊界絕熱嬬書嬽嬰嬬則?u ?n 嬽嬰工?u ?n ?u ?n - qn |嬽甥工-?u ?門嬫書嬨嬆,t 嬩 嬽嬰工-嬽工嬱書嬨嬆,t 嬩 k 嬨嬱嬸嬩 嬨嬱嬹嬩 第三種類型則是介質(zhì)通過邊界散 熱嬮散熱按孎孥孷孴孯

9、孮冷卻定律嬺單位時間通過單位面積的表面和外界交換 的熱量嬬和介質(zhì)表面溫度 u|2與外界溫度 uO 之差成正比 椒慈嬆，t 嬩嬽-H 嬨 u|工 -uO 嬩 H 為比例系數(shù)嬮 邊界條件就是?u 嬫 hu ?n h 嬽 H k 嬽 huO2慈嬲嬰嬩 總結(jié) 在上面的討論中出現(xiàn)的邊界條件有一個共同特點(diǎn)嬺就未知函數(shù)而言嬬它們都是線性的嬮 再進(jìn)一步細(xì)分嬬 可以分成三類嬺 1 第一類邊界條件 給出邊界上各點(diǎn)的函數(shù) 值 u|2嬽側(cè)慈嬆,t 嬩第二類邊界條件 給出邊界上各點(diǎn)函數(shù)的法向?qū)?shù)值 ?u ?n 嬽書 嬨嬆,t 嬩2嬨嬲嬱嬩嬨嬲嬲嬩 第三類邊界條件 給出邊界上各點(diǎn)函數(shù)值與法向?qū)?shù) 值之間的線性關(guān)系？u 嬫

10、 hu ?n 1 另外還有周期性邊界條件，嬽書嬨嬆,t 嬩2嬨嬲嬳 嬩它是做數(shù)學(xué)處理時人為引進(jìn)的.嬸邊界條件和初始條件統(tǒng)稱為定解條件嬮在處理實(shí)際的數(shù)學(xué)物理方程時嬬歸結(jié) 為在一定的定解條件下求解一定的偏微分方程嬮定解條件必須是適當(dāng)?shù)膵鐟?yīng)使問 題求解滿足嬺解的存在性孽問題一定有解嬻 解的唯一性孽問題的解是唯一 的嬻 以 及解的穩(wěn)定性嬮 如果在求解數(shù)理方程的過程中 嬨假設(shè)方程是合理的嬩嬬 解不存在 嬬則可能是定解條件過多嬮若解出幾個解嬬則可能是定解條件太少嬮 Problems 嬱嬮一長為 I、橫截面積為 S 的均勻彈性桿，已知一端嬨 x 嬽嬰嬩固定，另一端 嬨 x 嬽 I 嬩在桿軸方向上受拉力 F 作用而得到平衡嬨見圖嬱嬩在 t 嬽嬰時，撤 去外力 F 試列出桿的縱振動所滿足的方程、邊界條件和初始條件.Fx 嬽嬰 x嬽 I 孆孩孧孵孲孥 嬱嬺嬲嬮在鈾塊中，除了中子的擴(kuò)散運(yùn)動外，還存在中子的吸 收和增殖過程.設(shè)在單位時間內(nèi)、單位體積中吸收和增殖的中子數(shù)均正比于該時刻、該處的中子濃度 u 嬨 r , t 嬩，因而凈增中子數(shù)可表為aU慈 r , t 嬩，a為比例 常數(shù).試導(dǎo)出 u 嬨 r , t 嬩所滿足的偏微分方程.嬳嬮有