概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)二維連續(xù)性隨機(jī)變量及其分布

1、解解(1)x 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)故故x,y不獨(dú)立。不獨(dú)立。設(shè)(x,y)的密度函數(shù)為(2),01,0,( , )0,.cy- xxyxf x y其他求(1) c的值; (2) 邊緣密度函數(shù).(1)1( , )d df x yx y 解解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)xyo2d100(2)xcyx dy dx 100(2)xcx dxydy12015(2)().224ccxxdx24/5.c024(2)( )( , )(2)5xxfxf x y dyyx dy概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)212(2)(01)5xxx124( )( , )(2)5y

2、yfyf x y dxyx dx2243(2)(01)522yyyy(2),01,0,( , )0,.cy- xxyxf x y其他（一）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（一）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)x的分布律為, 2 , 1,)(ipxxpii則2.連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量x的密度函數(shù)為f(x),則dxxxfxe)()(概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1()iiie xx preview概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)3.隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望（1）x為隨機(jī)變量，y=g(x),離散型離散型：1( ) ()( )iiie ye g xg x p連續(xù)型：連續(xù)型：( )

3、()( ) ( )e ye g xg x f x dx(2)(x,y)為二維隨機(jī)變量, z=g(x,y),離散型：離散型：連續(xù)型：連續(xù)型：11( ) (, )( ,)ijijjie ze g x yg x yp( ) (, )( ,) ( , )ije ze g x yg x yf x y dxdy 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)xyod解解:0,01;xdyxx型區(qū)域概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì):0,01;xdyxx型區(qū)域概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.e (c ) = c2. e (ax ) = a e (x ) 3.e (x + y ) = e (x ) + e (y ) 11

4、()nniiiiexe x4.當(dāng)x ,y 獨(dú)立時(shí)，e (x y ) = e (x )e (y ) .11()nniiiiexe x 線性性質(zhì)線性性質(zhì)（二）方差（二）方差1.定義 d(x)=e x-e(x)2標(biāo)準(zhǔn)差：()d x2.計(jì)算(2) 離散型：21()().iiid xxe xp2()()( ).d xxe xf x dx(3)連續(xù)型：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(1) 計(jì)算公式計(jì)算公式：d(x)=e(x2)-e2(x).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(1) d(c)=0;(2) d(cx)= c2d(x);(3)若x, y,則d(x+y)=d(x) +d(y).d(x-y)=d(x

5、) +d(y).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)解解已知隨機(jī)變量 x 的分布律為xp01pp 1d(x).1 ()10(1),iiie xx pppp 22221 ()10(1),iiie xx pppp222()()()(1)d xe xe xpppp概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì):1,01;1xgxyx型區(qū)域解解2,( , )( , )0,.x ygf x y其他概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)設(shè)xb(n,p),求e(x),d(x).解解 x表示重伯努利試驗(yàn)中“成功的次數(shù)”，令1,0,iixi第 次試驗(yàn)成功第 次試驗(yàn)失敗 (),()(1).e xp d xpp且xi服從0-1分布，則11

6、 ()()()(1),nniiiid xdxd xn pp11 ()()(),nniiiie xexe xn p又xi之間相互獨(dú)立，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)已知標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布n(0,1)的期望是0，方差是1。設(shè)xn(,2),求e(x),d(x).解解(0,1)xn由由，得得()0()xe xe()e x2().d x()()e xxd x隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化：隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化：2()1()0xd xd 分布數(shù)學(xué)期望 方差0-1分布b(1,p) p p(1-p)二項(xiàng)分布b(1,p) np np(1-p)泊松分布均勻分布正態(tài)分布指數(shù)分布)(p( )e),(2n),(bau2/ )(ba12/)(

7、2ab2/121/概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題問題 對(duì)于二維隨機(jī)變量(x ,y ):聯(lián)合分布邊緣分布 對(duì)二維隨機(jī)變量,除每個(gè)隨機(jī)變量各自的概率特性外, 相互之間可能還有某種聯(lián)系該用一個(gè)怎樣的數(shù)去反映這種聯(lián)系呢？ ( )( )exe xye y數(shù)數(shù)能反映隨機(jī)變量能反映隨機(jī)變量 x , y 之間的之間的關(guān)系關(guān)系概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)為 x ,y 的協(xié)方差協(xié)方差. 記為 cov( , )( )( )x ye xe xye y稱()cov( , )cov( ,)( )d xx yy xd y為（x , y ）的協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣 稱( )( )e xe xy e y定義定義概率論與

8、數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)計(jì)算公式計(jì)算公式： cov(x,y) =e(xy)-e(x)e(y).分布律如下，求cov(x,y)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1()0 0.3 1 0.452 0.250.95,iiie xx p 解解 x,y的分布律分別如下： 1020.550.250.2yp0120.30.450.25xp1( )( 1) 0.550 0.252 0.20.15,jjje yy p 分布律如下，求cov(x,y)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)11()ijijjie xyx y pcov(, )()() ( )0.1425.x ye xye x e y0 ( 1)0.1 1 (

9、 1) 0.32 ( 1)0.150 0 0.2 1 0 0.052 0 00 2 0 1 2 0.122 0.10, 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)gyo解解0;:1,1xg xyx型區(qū)域4cov()()() ( ).225xye xye x e y1108()( , )8,15xde xxf x y dxdydxxxydy1104( )( , )8,5xde yyf x y dxdydxyxydy1104()( , )8,9xde xyxy f x y dxdydxxyxydy概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.cov(x,x)=d(x)5.當(dāng)x ,y 獨(dú)立時(shí)，cov(x ,y ) =

10、0 .對(duì)稱性對(duì)稱性2.cov(x,y)=cov(y,x)3.cov(ax,by)=abcov(x,y)6.cov(c,x)=04.cov(x1 +x2,y)=cov(x1,y)+ cov(x2,y)而當(dāng)cov(x ,y ) = 0， x ,y并不一定獨(dú)立.x,y線性線性不相關(guān)不相關(guān)7.d(x+y)=d(x)+d(y)+2cov(x,y)d(x-y)=d(x)+d(y)-2cov(x,y) 為了消除量綱對(duì)協(xié)方差值的影響,我們把x,y標(biāo)準(zhǔn)化后再求協(xié)方差*,xe xxd x *ye yyd y*(,)cov xy xe x ye yed xd y*()e x y*()()exe xye y ( )e

11、xe xye yd xd y(, )( )cov x yd xd y概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)若d (x ) 0, d (y ) 0 ,稱)()(),cov()()()()(ydxdyxydxdyeyxexe為x ,y 的 ，記為)()(),cov(ydxdyxxy若, 0xy 稱 x ,y 不相關(guān)不相關(guān).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.|xy|12.當(dāng)x ,y 獨(dú)立時(shí)， xy = 0 .3. |xy|越大，則x ,y 線性相關(guān)程度越好當(dāng) |xy|=0時(shí)，x ,y 并不是一定沒有關(guān)系，而是線性不相關(guān)。逆命題不成立逆命題不成立4. (x,y) n(1,2

12、,12,22,)就是x ,y 的相關(guān)系數(shù)，xy = .概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)oxyoxyoxyoxy 000 ( 0 )yab xb 000 ( 0 )yab xb 000 ( 0 )yab xb 1xy 1xy0 1xy 000 ( 0 )yab xb1 0xy oxy0xy設(shè) ( x ,y ) n ( 1,4, 1,4, 0.5 ), z = x + y , 求 xz解解, 4)()(, 1)()(ydxdyexe1/2, cov( , )2xyx y6),cov(),cov(),cov(yxxxzx( )()( )( )2cov( , ) 12d zd x yd xdyx y.

13、 .xzcov(x,z)=3/2d(x) d(z)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) u-,x=sin , y=cos ,x,y是否相關(guān)，是否獨(dú)立？概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)解解()(sin )sin( )e xefd1sin0,2d( )(cos )cos( )e yefd1cos0,2d1sincos0,2d()(sincos )sincos( )e xyefdcov(, )0x y其它, 01,1),(22yxyxf(, )()() ( )0cov x ye xye x e y22111110 xxdxxydy()( , )e xxf x y dxdy 證明證明 (1)于是于是xy=

14、 0，所以 x與y線性不相關(guān)。22111110 xxdxxdy()( , )e xyxyf x y dxdy 已知（x,y）的概率密度如下，試證x與y既不相關(guān)，也不相互獨(dú)立。( )( , )e yyf x y dxdy 22111110 xxdxydy概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)顯然，fx(x)fy(y)f(x,y)，因此，x與y不相互獨(dú)立。2221121,111(2)( )( , )0,xxxxxfxf x y dydy 其它其它, 01,1),(22yxyxf已知（x,y）的概率密度如下，試證x與y既不相關(guān)，也不相互獨(dú)立。2221121,111( )( , )0,xyxyyfyf x

15、y dxdx 其它概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)vn維隨機(jī)變量x1,x2,xn服從正態(tài)分布，則xi都是一維正態(tài)；若xi是一維正態(tài)，且相互獨(dú)立，則x1,x2,xn服從n維正態(tài)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)vn維隨機(jī)變量x1,x2,xn服從正態(tài)分布的充要條件是x1,x2,xn 的任意線性組合都服從一維正態(tài)。v對(duì)n維正態(tài)分布來說，獨(dú)立與線性相關(guān)是等價(jià)的。 設(shè)隨機(jī)變量x和y相互獨(dú)立，且xn(1, 2), yn(0, 1)。求 z = 2x-y+3 的概率密度。 知知 z=2x-y+3 服從正態(tài)分布，且服從正態(tài)分布，且解解 由由xn(1,2), yn(0,1)，且，且x與與y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,d(

16、z) = 4d(x)+d(y) = 8+1 = 9, e(z) = 2e(x)- -e(y)+3 = 2- -0+3=5 ， 故，故，zn(5, 32) .概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)z 的概率密度為的概率密度為2(5)181( ), .3 2zzfzez 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì))(., 2 , 1),(,kkkxekkxkxex 記為記為簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱的的稱它為稱它為存在存在若若是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量設(shè)設(shè)階矩階矩階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩kkkxexekxkxexe)(.,)( 記為記為的的稱它為稱它為存在存在若若階中心矩階中心矩32定義定義1定義定義2.)(1,1的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望就是就是時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)顯然顯然xxek ).(xd 2顯然顯然概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)說明說明 ;,)()(方方差差為為二二階階中中心心矩矩點(diǎn)點(diǎn)矩矩的的一一階階原原是是的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望隨隨機(jī)機(jī)變變量量xxex