25平面向量應用舉例15657

1、12.5平面向量應用舉例2.5.12.5.1平面幾何的向量方法平面幾何的向量方法2平面幾何中的向量方法平面幾何中的向量方法 向量概念和運算，都有明確的物理背景和向量概念和運算，都有明確的物理背景和幾何背景。當向量與平面坐標系結合以后，向幾何背景。當向量與平面坐標系結合以后，向量的運算就可以完全轉化為量的運算就可以完全轉化為“代數(shù)代數(shù)”的計算，的計算，這就為我們解決物理問題和幾何研究帶來極大這就為我們解決物理問題和幾何研究帶來極大的方便。的方便。 由于向量的線性運算和數(shù)量積運算具有鮮由于向量的線性運算和數(shù)量積運算具有鮮明的幾何背景，平面幾何的許多性質，如平移、明的幾何背景，平面幾何的許多性質，如

2、平移、全等、相似、長度、夾角都可以由向量的線性全等、相似、長度、夾角都可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示出來，因此，利用向量方法運算及數(shù)量積表示出來，因此，利用向量方法可以解決平面幾何中的一些問題。可以解決平面幾何中的一些問題。3問題：問題：平行四邊形是表示向量加法與減法的平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。如圖幾何模型。如圖，你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對角你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關系嗎？線的長度與兩條鄰邊長度之間的關系嗎？,acabad ,dbabad abcd猜想：猜想：2.類比猜想，平行四邊形有相似關系嗎？類比猜想，平行四邊形有相似關系嗎？4例例1、證明平行四邊形四

3、邊平方和等于兩對角線平方和、證明平行四邊形四邊平方和等于兩對角線平方和abdc已知：平行四邊形abcd。求證：222222bdacdacdbcabbadaab ,解：解：設 ，則 badbbaacadabbc;,分析：分析：因為平行四邊形對邊平行且相等，故設 其它線段對應向量用它們表示。badaab ,)( 2222222badacdbcab2222bababdac222222222222bababbaabbaa222222bdacdacdbcab5你能總結一下利用向量法解決平面幾何問題你能總結一下利用向量法解決平面幾何問題的基本思路嗎？的基本思路嗎？（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表）

4、建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；轉化為向量問題；（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關）通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；系，如距離、夾角等問題；（3）把運算結果）把運算結果“翻譯翻譯”成幾何元素。成幾何元素。用向量方法解決平面幾何問題的用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲三步曲”：簡述：簡述：形到向量形到向量 向量的運算向量的運算 向量和數(shù)到形向量和數(shù)到形6例例2 如圖，如圖， abcd中，點中，點e、f分別分別是是ad 、 dc邊的中點，邊的中點，be 、 bf分別分別與

5、與ac交于交于r 、 t兩點，你能發(fā)現(xiàn)兩點，你能發(fā)現(xiàn)ar 、 rt 、tc之間的關系嗎？之間的關系嗎？abcdefrt猜想：猜想：ar=rt=tc7解：設解：設 則則,aba adb arr a cab 由于由于 與與 共線，故設共線，故設arac(),rn ab nr又因為又因為 共線，共線，所以設所以設e re b與與12()ermebm ab 因為因為 所以所以a ra ee r 1122()rbm ab 1122()()n abbm ab 因因此此abcdefrt8102()()mnm anb 即即,a b由由于于向向量量不不共共0102nmmn 線線，1 1解解 得得 ： n n=

6、= m m = =3 3111333,aractcacrtac 所所以以同同理理于于是是故故at=rt=tcabcdefrt9練習、證明直徑所對的圓周角練習、證明直徑所對的圓周角是直角是直角abco如圖所示，已知 o，ab為直徑，c為 o上任意一點。求證acb=90分析分析：要證acb=90，只須證向量 ，即 。cbac 0cbac解：解：設 則 ，由此可得：bocaao ,bacbbaac,babacbac2222baba022rr即 ，acb=900cbac思考：能否用向量思考：能否用向量坐標形式證明？坐標形式證明？ab10（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；轉化為向量問題；（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關）通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；系，如距離