高中數(shù)學(xué)人教A版浙江專版必修2講學(xué)案：第二章 2．3　直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)含答案

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 23.1 直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定 預(yù)習(xí)課本預(yù)習(xí)課本 p6466, 思考并完成以下問(wèn)題思考并完成以下問(wèn)題 1直線與平面垂直的定義是怎樣的？直線與平面垂直的定義是怎樣的？ 2直線與平面垂直的判定定理是什么？直線與平面垂直的判定定理是什么？ 3直線與平面所成的角是怎樣定義的？直線與平面所成的角是怎樣定義的？ 4直線與平面所成的角的范圍是什么？直線與平面所成的角的范圍是什么？ 新知初探新知初探 1直線與平面垂直的定義直線與平面垂直的定義 (1)自然語(yǔ)言：如果直線自然語(yǔ)言：如果直線 l 與平面與平面 內(nèi)的內(nèi)的任意一條任意一條

2、直線都直線都垂直垂直,就說(shuō)直線就說(shuō)直線 l 與平面與平面 互相垂互相垂直直,記作記作 l.直線直線 l叫做平面叫做平面 的的垂線垂線,平面平面 叫做直線叫做直線 l的的垂面垂面直線與平面垂直時(shí)直線與平面垂直時(shí),它們惟一它們惟一的公共點(diǎn)的公共點(diǎn) p 叫做叫做垂足垂足 (2)圖形語(yǔ)言：如圖圖形語(yǔ)言：如圖 畫(huà)直線畫(huà)直線 l 與平面與平面 垂直時(shí)垂直時(shí),通常把直線畫(huà)成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直通常把直線畫(huà)成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直 (3)符號(hào)語(yǔ)言：任意符號(hào)語(yǔ)言：任意 a,都有都有 lal. 點(diǎn)睛點(diǎn)睛 (1)直線與平面垂直是直線與平面相交的特殊情形直線與平面垂直是直線與平面相交的特殊情形

3、(2)注意定義中注意定義中“任意一條直線任意一條直線”與與“所有直線所有直線”等同但不可說(shuō)成等同但不可說(shuō)成“無(wú)數(shù)條直線無(wú)數(shù)條直線” 2直線與平面垂直的判定定理直線與平面垂直的判定定理 (1)自然語(yǔ)言：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的自然語(yǔ)言：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線兩條相交直線都垂直都垂直,則該直線與此平面垂直則該直線與此平面垂直 (2)圖形語(yǔ)言：如圖所示圖形語(yǔ)言：如圖所示 (3)符號(hào)語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：a,b,abp,la,lbl. 點(diǎn)睛點(diǎn)睛 判定定理?xiàng)l件中的判定定理?xiàng)l件中的“兩條相交直線兩條相交直線”是關(guān)鍵性詞語(yǔ)是關(guān)鍵性詞語(yǔ),此處強(qiáng)調(diào)此處強(qiáng)調(diào)“相交相交”,若兩條直若兩條直線平行線平行,則直線與

4、平面不一定垂直則直線與平面不一定垂直 3直線與平面所成的角直線與平面所成的角 (1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影射影所成的所成的銳角銳角,叫做這條叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角直線和這個(gè)平面所成的角 如圖如圖,pao 就是斜線就是斜線 ap 與平面與平面 所成的角所成的角 (2)當(dāng)直線當(dāng)直線 ap 與平面垂直時(shí)與平面垂直時(shí),它們所成的角是它們所成的角是 90. (3)當(dāng)直線與平面平行或在平面內(nèi)時(shí)當(dāng)直線與平面平行或在平面內(nèi)時(shí),它們所成的角是它們所成的角是 0. (4)線面角線面角 的范圍：的范圍：090. 點(diǎn)睛點(diǎn)睛 把握定義應(yīng)注意兩點(diǎn)：把握定義應(yīng)注意兩

5、點(diǎn)：斜線上不同于斜足的點(diǎn)斜線上不同于斜足的點(diǎn) p 的選取是任意的；的選取是任意的；斜線在斜線在平面上的射影是過(guò)斜足和垂足的一條直線而不是線段平面上的射影是過(guò)斜足和垂足的一條直線而不是線段 小試身手小試身手 1判斷下列命題是否正確判斷下列命題是否正確(正確的打正確的打“”“”,錯(cuò)誤的打錯(cuò)誤的打“”“”) (1)若直線若直線 l 垂直于平面垂直于平面 ,則則 l 與平面與平面 內(nèi)的直線可能相交內(nèi)的直線可能相交,可能異面可能異面,也可能平行也可能平行( ) (2)若若 ab,a,l,則則 lb( ) (3)若若 ab,b,則則 a( ) 答案答案：(1) (2) (3) 2直線直線 l 與平面與平面

6、 內(nèi)的兩條直線都垂直內(nèi)的兩條直線都垂直,則直線則直線 l 與平面與平面 的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是( ) a平行平行 b垂直垂直 c在平面在平面 內(nèi)內(nèi) d無(wú)法確定無(wú)法確定 解析：解析：選選 d 當(dāng)平面當(dāng)平面 內(nèi)的兩條直線相交時(shí)內(nèi)的兩條直線相交時(shí),直線直線 l平面平面 ,即即 l 與與 相交相交,當(dāng)平面當(dāng)平面 內(nèi)的內(nèi)的兩直線平行時(shí)兩直線平行時(shí),l 或或 l 或或 l 與與 垂直或垂直或 l 與與 斜交斜交 3.如圖如圖,bca90,pc平面平面 abc,則在則在abc,pac 的邊所在的直的邊所在的直線中：線中： (1)與與pc垂直的直線有垂直的直線有_； (2)與與ap垂直的直線有垂直的直線有_

7、 解析：解析：(1)pc平面平面 abc,ab,ac,bc平面平面 abc. pcab,pcac,pcbc. (2)bca90,即即 bcac,又又 bcpc,acpcc,bc平面平面 pac,bcap. 答案：答案：(1)ab,ac,bc (2)bc 對(duì)直線與平面垂直的判定定理的理解對(duì)直線與平面垂直的判定定理的理解 典例典例 下列說(shuō)法正確的有下列說(shuō)法正確的有_(填序號(hào)填序號(hào)) 垂直于同一條直線的兩條直線平行；垂直于同一條直線的兩條直線平行； 如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線不垂直如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線不垂直,那么這條直線就一定不與這個(gè)平面垂那么這條直線就一定不與這個(gè)平面垂直；直

8、； 如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線,那么這條直線與這個(gè)平面垂直；那么這條直線與這個(gè)平面垂直； 若若 l 與平面與平面 不垂直不垂直,則平面則平面 內(nèi)一定沒(méi)有直線與內(nèi)一定沒(méi)有直線與 l 垂直垂直 解析解析 因?yàn)榭臻g內(nèi)與一條直線同時(shí)垂因?yàn)榭臻g內(nèi)與一條直線同時(shí)垂直的兩條直線可能相交直的兩條直線可能相交,可能平行可能平行,也可能異面也可能異面,故故不正確不正確 由線面垂直的定義可得由線面垂直的定義可得,故故正確正確 因?yàn)檫@兩條直線可能是平行直線因?yàn)檫@兩條直線可能是平行直線,故故不正確不正確 如圖如圖,l 與與 不垂直不垂直,但但 a,la,故故不正確不正確 答案答

9、案 (1)對(duì)于線面垂直的定義要注意對(duì)于線面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內(nèi)的所有直線直線垂直于平面內(nèi)的所有直線”說(shuō)法與說(shuō)法與“直線垂直于平面直線垂直于平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線內(nèi)無(wú)數(shù)條直線”不是一回事不是一回事,后者說(shuō)法是不正確的后者說(shuō)法是不正確的,它可以使直線與平面斜交它可以使直線與平面斜交 (2)判定定理中要注意必須是平面內(nèi)兩相交直線判定定理中要注意必須是平面內(nèi)兩相交直線 活學(xué)活用活學(xué)活用 1若三條直線若三條直線 oa,ob,oc 兩兩垂直兩兩垂直,則直線則直線 oa 垂直于垂直于( ) a平面平面 oab b平面平面 oac c平面平面 obc d平面平面 abc 解析：解析：選選 c oaob

10、,oaoc,oboco,ob,oc平面平面 obc,oa平面平面 obc. 2如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的：如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的：三角形的兩邊；三角形的兩邊；梯形的兩邊；梯形的兩邊；圓的兩條圓的兩條直徑；直徑；正五邊形的兩邊能保證該直線與平面垂直的是正五邊形的兩邊能保證該直線與平面垂直的是_(填序號(hào)填序號(hào)) 解析：解析：根據(jù)直線與平面垂直的判定定理根據(jù)直線與平面垂直的判定定理,平面內(nèi)這兩條直線必須是相交的平面內(nèi)這兩條直線必須是相交的,中給定中給定的兩直線一定相交的兩直線一定相交,能保證直線與平面垂直而能保證直線與平面垂直而梯形的兩邊可能是上、下底邊梯形的兩邊可能是上、下底邊,它們互

11、相平它們互相平行行,不滿足定理?xiàng)l件故填不滿足定理?xiàng)l件故填. 答案答案： 線面垂直的判定線面垂直的判定 典例典例 如圖如圖,在三棱錐在三棱錐 s- abc 中中,abc90,d 是是 ac 的中點(diǎn)的中點(diǎn),且且 sasbsc. (1)求證：求證：sd平面平面 abc； (2)若若 abbc,求證：求證：bd平面平面 sac. 證明證明 (1)因?yàn)橐驗(yàn)?sasc,d 是是 ac 的中點(diǎn)的中點(diǎn), 所以所以 sdac.在在 rtabc 中中,adbd, 由已知由已知 sasb, 所以所以adsbds, 所以所以 sdbd.又又 acbdd, 所以所以 sd平面平面 abc. (2)因?yàn)橐驗(yàn)?abbc,d

12、 為為 ac 的中點(diǎn)的中點(diǎn), 所以所以 bdac.由由(1)知知 sdbd. 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?sdacd,所以所以 bd平面平面 sac. 利用線面垂直的判定定理證明線面垂直的步驟利用線面垂直的判定定理證明線面垂直的步驟 (1)在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線,使它和這條直線垂直；使它和這條直線垂直； (2)確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線；確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線； (3)根據(jù)判定定理得出結(jié)論根據(jù)判定定理得出結(jié)論 活學(xué)活用活學(xué)活用 如圖如圖,ab為為o的直徑的直徑,pa垂直于垂直于o所在的平面所在的平面,m為圓周上任意為圓周上任意一點(diǎn)一點(diǎn),anpm,n 為垂足為垂足

13、 (1)求證：求證：an平面平面 pbm. (2)若若 aqpb,垂足為垂足為 q,求證：求證：nqpb. 證明：證明：(1)ab 為為o 的直徑的直徑, ambm. 又又 pa平面平面 abm,pabm. 又又paama,bm平面平面 pam. 又又 an平面平面 pam,bman. 又又 anpm,且且 bmpmm, an平面平面 pbm. (2)由由(1)知知 an平面平面 pbm, pb平面平面 pbm,anpb. 又又aqpb,anaqa, pb平面平面 anq. 又又 nq平面平面 anq,pbnq. 直線與平面所成角直線與平面所成角 典例典例 三棱錐三棱錐 s- abc 的所有棱

14、長(zhǎng)都相等且為的所有棱長(zhǎng)都相等且為 a,求求 sa 與底面與底面 abc 所成角的余弦值所成角的余弦值 解解 如圖如圖,過(guò)過(guò) s 作作 so平面平面 abc 于點(diǎn)于點(diǎn) o,連接連接 ao,bo,co.則則 soao,sobo,soco. sasbsca, soasobsoc, aoboco, o 為為abc 的外心的外心 abc 為正三角形為正三角形, o 為為abc 的中心的中心 so平面平面 abc, sao 即為即為 sa 與平面與平面 abc 所成的角所成的角 在在 rtsao 中中,saa,ao2332a33a, cossaoaosa33, sa 與底面與底面 abc 所成角的余弦值為

15、所成角的余弦值為33. 求斜線與平面所成的角的步驟求斜線與平面所成的角的步驟 (1)作角：作作角：作(或找或找)出斜線在平出斜線在平面上的射影面上的射影,將空間角將空間角(斜線與平面所成的角斜線與平面所成的角)轉(zhuǎn)化為平面角轉(zhuǎn)化為平面角(兩條相交直線所成的銳角兩條相交直線所成的銳角),作射影要過(guò)斜線上一點(diǎn)作平面的垂線作射影要過(guò)斜線上一點(diǎn)作平面的垂線,再過(guò)垂足和斜足再過(guò)垂足和斜足(有時(shí)可以有時(shí)可以是兩垂足是兩垂足)作直線作直線,注意斜線上點(diǎn)的選取以及垂足的位置要與問(wèn)題中已知量有關(guān)注意斜線上點(diǎn)的選取以及垂足的位置要與問(wèn)題中已知量有關(guān),才能便于計(jì)才能便于計(jì)算算 (2)證明：證明某平面角就是斜線與平面所

16、成的角證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角 (3)計(jì)算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計(jì)算計(jì)算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計(jì)算 活學(xué)活用活學(xué)活用 在正方體在正方體 abcd- a1b1c1d1中中, (1)直線直線 a1b 與平面與平面 abcd 所成的角的大小為所成的角的大小為_(kāi)； (2)直線直線 a1b 與平面與平面 abc1d1所成所成的角的大小為的角的大小為_(kāi)； (3)直線直線 a1b 與平面與平面 ab1c1d 所成的角的大小為所成的角的大小為_(kāi) 解析：解析：(1)由線面角定義知由線面角定義知,a1ba 為為 a1b 與平面與平面 abcd 所成的

17、角所成的角,a1ba45. (2)如圖如圖,連接連接a1d,設(shè)設(shè)a1dad1o,連接連接bo,則易證則易證a1d平面平面abc1d1,a1b 在平面在平面 abc1d1內(nèi)的射影為內(nèi)的射影為 ob,a1b 與平面與平面 abc1d1所成的角為所成的角為a1bo.a1o12a1b,a1bo30. (3)a1bab1,a1bb1c1, a1b平面平面 ab1c1d, 即即 a1b 與平面與平面 ab1c1d 所成的角的大小為所成的角的大小為 90. 答案：答案：(1)45 (2)30 (3)90 層級(jí)一層級(jí)一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1已知已知 m 和和 n是兩條不同的直線是兩條不同的直線,和和

18、是兩個(gè)不重合的平面是兩個(gè)不重合的平面,那么下面給出的條件中那么下面給出的條件中,一一定能推出定能推出 m 的是的是( ) a,且且 m bmn,且且 n cmn,且且 n dmn,且且 n 解析：解析：選選 b a 中中,由由 ,且且 m,知知 m；b 中中,由由 n,知知 n 垂直于平面垂直于平面 內(nèi)的任意內(nèi)的任意直線直線,再由再由 mn,知知 m也垂直于也垂直于 內(nèi)的任意直線內(nèi)的任意直線,所以所以 m,符合題意；符合題意；c、d 中中,m 或或 m或或 m 與與 相交相交,不符合題意不符合題意,故選故選 b. 2若兩條不同的直線與同一平面所成的角相等若兩條不同的直線與同一平面所成的角相等,

19、則這兩條直線則這兩條直線( ) a平行平行 b相交相交 c異面異面 d以上皆有可能以上皆有可能 解析：解析：選選 d 在正方體在正方體 abcd- a1b1c1d1中中,a1a,b1b 與底面與底面 abcd 所成的角相等所成的角相等,此時(shí)兩此時(shí)兩直線平行；直線平行；a1b1,b1c1與底面與底面 abcd 所成的角相等所成的角相等,此時(shí)兩直線相交；此時(shí)兩直線相交；a1b1,bc 與底面與底面 abcd所成的角相等所成的角相等,此時(shí)兩直線異面故選此時(shí)兩直線異面故選 d. 3下列四個(gè)命題中下列四個(gè)命題中,正確的是正確的是( ) 若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)

20、數(shù)條直線,則這條直線與這個(gè)平面垂直；則這條直線與這個(gè)平面垂直； 若一條直線平行于一個(gè)平面若一條直線平行于一個(gè)平面,則垂直于這條直線的直線必垂直于這個(gè)平面；則垂直于這條直線的直線必垂直于這個(gè)平面； 若一條直線平行于一個(gè)平面若一條直線平行于一個(gè)平面,另一條直線垂直于這個(gè)平面另一條直線垂直于這個(gè)平面,則這兩條直線互相垂直；則這兩條直線互相垂直； 若兩條直線垂直若兩條直線垂直,則過(guò)其中一條直線有惟一一個(gè)平面與另一條直線垂直則過(guò)其中一條直線有惟一一個(gè)平面與另一條直線垂直 a b c d 解析：解析：選選 d 不正確不正確 4.如圖如圖,l,點(diǎn)點(diǎn) a,c,點(diǎn)點(diǎn)b,且且ba,bc,那么直線那么直線l與直線與

21、直線ac的關(guān)系是的關(guān)系是( ) a異面異面 b平行平行 c垂直垂直 d不確定不確定 解析：解析：選選 c ba,l,l,bal.同理同理 bcl.又又 babcb,l平面平面 abc.ac平面平面 abc,lac. 5.如圖所示如圖所示,若斜線段若斜線段 ab是它在平面是它在平面 上的射影上的射影 bo的的 2倍倍,則則 ab與平與平面面 所成的角是所成的角是( ) a60 b45 c30 d120 解析：解析：選選 a abo 即是斜線即是斜線 ab 與平面與平面 所成的角所成的角, 在在 rtaob 中中,ab2bo,所以所以 cosabo12, 即即abo60. 6已知直線已知直線 l,

22、a,b,平面平面 ,若要得到結(jié)論若要得到結(jié)論 l,則需要在條件則需要在條件 a,b,la,lb 中另外添中另外添加的一個(gè)條件是加的一個(gè)條件是_ 答案：答案：a,b 相交相交 7.如圖所示如圖所示,三棱錐三棱錐 p- abc 中中,pa平面平面 abc,paab,則直線則直線 pb 與與平面平面 abc 所成的角等于所成的角等于_ 解析：解析：因?yàn)橐驗(yàn)?pa平面平面 abc,所以斜線所以斜線 pb在平面在平面abc上的射影為上的射影為 ab,所以所以pba 即為直線即為直線 pb 與平面與平面 abc 所成的角在所成的角在pab 中中,bap90,paab,所以所以pba45,即直線即直線 pb

23、 與平面與平面 abc 所成的角等于所成的角等于 45. 答案：答案：45 8已知已知 pa 垂直于平行四邊形垂直于平行四邊形 abcd 所在的平面所在的平面,若若 pcbd,則平行四邊形則平行四邊形 abcd 一定一定是是_ 解析：解析：如圖如圖,pa平面平面 abcd,bd平面平面 abcd,bdpa.又又 bdpc,papcp,bd平面平面 pac.又又 ac平面平面 pac,bdac.平行四邊形平行四邊形 abcd 為菱形為菱形 答案：答案：菱形菱形 9.如圖如圖,在四面體在四面體 a- bcd 中中,bdc90,acbd2,e,f 分別為分別為ad,bc 的中點(diǎn)的中點(diǎn),且且 ef 2

24、. 求證：求證：bd平面平面 acd. 證明：證明：取取 cd 的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為 g,連接連接 eg,fg. 又又e,f 分別為分別為 ad,bc 的中點(diǎn)的中點(diǎn),fgbd,egac. acbd2,則則 egfg1. ef 2,ef2eg2fg2,egfg, bdeg. bdc90,bdcd. 又又 egcdg,bd平面平面 acd. 10.在棱長(zhǎng)為在棱長(zhǎng)為 1 的正方體的正方體 abcd- a1b1c1d1中中,e 是是 a1b1的中點(diǎn)的中點(diǎn),求直求直線線 ae 與平面與平面 abc1d1所成的角的正弦值所成的角的正弦值 解：解：如圖如圖,取取 cd 的中點(diǎn)的中點(diǎn) f,連接連接 ef 交平面交

25、平面 abc1d1于于 o,連接連接ao,b1c. 由由abcd- a1b1c1d1為 正 方 體為 正 方 體 , 易 得易 得b1c bc1,b1c d1c1,bc1d1c1c1,bc1平面平面 abc1d1,d1c1平面平面 abc1d1,b1c平面平面 abc1d1. e,f分別為分別為 a1b1,cd的中點(diǎn)的中點(diǎn),efb1c,ef平面平面 ac1,即即eao 為直線為直線 ae 與平面與平面 abc1d1所成的角所成的角 在在 rteoa 中中,eo12ef12b1c22, aea1e2aa21 1221252, sineaoeoae105. 直線直線 ae 與平面與平面 abc1d

26、1所成的角的正弦值為所成的角的正弦值為105. 層級(jí)二層級(jí)二 應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1在正方體在正方體 abcd- a1b1c1d1中中,與與 ad1垂直的平面是垂直的平面是 ( ) a平面平面 dd1c1c b平面平面 a1db1 c平面平面 a1b1c1d1 d平面平面 a1db 答案答案：b 2下面四個(gè)命題：下面四個(gè)命題： 過(guò)一點(diǎn)和一條直線垂直的直線有且只有一條；過(guò)一點(diǎn)和一條直線垂直的直線有且只有一條； 過(guò)一點(diǎn)和一個(gè)平面垂直的直線有且只有一條；過(guò)一點(diǎn)和一個(gè)平面垂直的直線有且只有一條； 過(guò)一點(diǎn)和一條直線垂直的平面有且只有一個(gè)；過(guò)一點(diǎn)和一條直線垂直的平面有且只有一個(gè)； 過(guò)一點(diǎn)和一個(gè)平面垂

27、直的平面有且只有一個(gè)過(guò)一點(diǎn)和一個(gè)平面垂直的平面有且只有一個(gè) 其中正確的是其中正確的是( ) a b c d 解析：解析：選選 b 過(guò)一點(diǎn)和一條直線垂直的直線有無(wú)數(shù)條過(guò)一點(diǎn)和一條直線垂直的直線有無(wú)數(shù)條,故故不正確；過(guò)一點(diǎn)和一個(gè)平面垂不正確；過(guò)一點(diǎn)和一個(gè)平面垂直的平面有無(wú)數(shù)個(gè)直的平面有無(wú)數(shù)個(gè),故故不正確；易知不正確；易知均正確故選均正確故選 b. 3設(shè)設(shè) l,m 是兩條不同的直線是兩條不同的直線,是一個(gè)平面是一個(gè)平面,則下列命題正確的是則下列命題正確的是( ) a若若 lm,m,則則 l b若若 l,lm,則則 m c若若 l,m,則則 lm d若若 l,m,則則 lm 解析：解析：選選 b 根據(jù)

28、兩條平行線中的一條直線垂直于一個(gè)平面根據(jù)兩條平行線中的一條直線垂直于一個(gè)平面,則另一條直線也垂直于這個(gè)則另一條直線也垂直于這個(gè)平面平面,知選項(xiàng)知選項(xiàng) b 正確正確 4.如圖如圖,四棱錐四棱錐 s- abcd的底面為正方形的底面為正方形,sd底面底面 abcd,則下列結(jié)論中不正確的是則下列結(jié)論中不正確的是( ) aacsb bab平面平面 scd csa 與平面與平面 sbd 所成的角等于所成的角等于 sc 與平面與平面 sbd 所成的角所成的角 dab 與與 sc 所成的角等于所成的角等于 dc 與與 sa 所成的角所成的角 解析：解析：選選 d 選項(xiàng)選項(xiàng) a 正確正確,因?yàn)橐驗(yàn)?sd 垂直于

29、平面垂直于平面 abcd,而而 ac 在平面在平面abcd 內(nèi)內(nèi),所以所以 ac 垂直于垂直于 sd；再由；再由 abcd 為正方形為正方形,所以所以 ac 垂直于垂直于 bd,而而 bd 與與 sd 相交相交,所以所以 ac 垂直于平面垂直于平面 sbd,進(jìn)而垂直于進(jìn)而垂直于 sb. 選項(xiàng)選項(xiàng) b 正確正確,因?yàn)橐驗(yàn)?ab平行于平行于 cd,而而 cd 在平面在平面 scd 內(nèi)內(nèi),ab不在平面不在平面 scd內(nèi)內(nèi),所以所以 ab平行平行于平面于平面 scd. 選項(xiàng)選項(xiàng) c 正確正確,設(shè)設(shè) ac 與與 bd 的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為 o,連接連接 so,則則 sa與平面與平面 sbd所成的角就是所成的

30、角就是aso,sc與平面與平面 sbd 所成的角就是所成的角就是cso,易知這兩個(gè)角相等易知這兩個(gè)角相等 選項(xiàng)選項(xiàng) d錯(cuò)誤錯(cuò)誤,ab與與 sc所成的角等于所成的角等于scd,而而 dc與與 sa 所成的角是所成的角是sab,這兩個(gè)角不相這兩個(gè)角不相等等 5.如圖如圖,在棱長(zhǎng)為在棱長(zhǎng)為 2的正方體的正方體 abcd- a1b1c1d1中中,e 是是 ad 的中點(diǎn)的中點(diǎn),f是是bb1的中點(diǎn)的中點(diǎn),則直線則直線 ef與平面與平面 abcd 所成角的正切值為所成角的正切值為_(kāi) 解析：解析：連接連接 eb,由由 bb1平面平面 abcd,知知feb 即即 直線直線 ef 與平面與平面 abcd 所成的角

31、在所成的角在 rtfbe 中中,bf1,be 5,則則 tanfeb55. 答案：答案：55 6.如圖所示如圖所示,將平面四邊形將平面四邊形 abcd 沿對(duì)角線沿對(duì)角線 ac 折成空間四邊形折成空間四邊形,當(dāng)平面四當(dāng)平面四邊形邊形 abcd滿足滿足_時(shí)時(shí),空間四邊形中的兩條對(duì)角線互相垂直空間四邊形中的兩條對(duì)角線互相垂直(填上你認(rèn)填上你認(rèn)為正確的一種條件即可為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能情況不必考慮所有可能情況) 解析：解析：在平面四邊形中在平面四邊形中,設(shè)設(shè) ac 與與 bd 交于交于 e,假設(shè)假設(shè) acbd,則則 acde,acbe. 折疊后折疊后,ac 與與 de,ac 與與 be

32、 依然垂直依然垂直,所以所以 ac平面平面 bde,所以所以 acbd.若四邊形若四邊形 abcd 為菱形或正方形為菱形或正方形,因?yàn)樗鼈兊膶?duì)角線互相垂直因?yàn)樗鼈兊膶?duì)角線互相垂直,同上同上可證可證 acbd. 答案：答案：acbd(或四邊形或四邊形 abcd 為菱形、正方形等為菱形、正方形等) 7如圖如圖,在直三棱柱在直三棱柱 abc- a1b1c1中中,bac90,abacaa1. (1)求證：求證：ab1平面平面 a1bc1. (2)若若 d 為為 b1c1的中點(diǎn)的中點(diǎn),求求 ad 與平面與平面 a1b1c1所成角的正弦值所成角的正弦值 解：解：(1)證明：由題意知四邊形證明：由題意知四邊

33、形 aa1b1b 是正方形是正方形, ab1ba1. 由由 aa1平面平面 a1b1c1得得 aa1a1c1. 又又a1c1a1b1,aa1a1b1a1, a1c1平面平面 aa1b1b, 又又ab1平面平面 aa1b1b, a1c1ab1. 又又ba1a1c1a1,ab1平面平面 a1bc1. (2)連接連接 a1d.設(shè)設(shè) abacaa11, aa1平面平面 a1b1c1, a1da 是是 ad 與平面與平面 a1b1c1所成的角所成的角 在等腰直角三角形在等腰直角三角形 a1b1c1中中,d 為斜邊的中點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn), a1d12b1c122. 在在 rta1da 中中,ad a1d2a1

34、a262. sina1daa1aad63, 即即 ad 與平面與平面 a1b1c1所成角的正弦值為所成角的正弦值為63. 8.如圖如圖,直三棱柱直三棱柱abc- a1b1c1中中,acbc1,acb90,aa1 2,d是是 a1b1的中點(diǎn)的中點(diǎn) (1)求證求證 c1d平面平面 aa1b1b； (2)當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn) f 在在 bb1上的什么位置時(shí)上的什么位置時(shí),會(huì)使得會(huì)使得 ab1平面平面 c1df？并證明你？并證明你的結(jié)論的結(jié)論 證明：證明：(1)abc- a1b1c1是直三棱柱是直三棱柱, a1c1b1c11,且且a1c1b190. 又又 d 是是 a1b1的中點(diǎn)的中點(diǎn), c1da1b1. aa1

35、平面平面 a1b1c1,c1d平面平面 a1b1c1, aa1c1d,又又 a1b1c1dd, c1d平面平面 aa1b1b. (2)作作 deab1交交 ab1于于 e,延長(zhǎng)延長(zhǎng) de 交交 bb1于于 f,連接連接 c1f,則則 ab1平面平面 c1df,點(diǎn)點(diǎn) f 為所為所求求 c1d平面平面 aa1b1b,ab1平面平面 aa1b1b,c1dab1. 又又 ab1df,dfc1dd,ab1平面平面 c1df. aa1a1b1 2,四邊形四邊形 aa1b1b 為正方形為正方形 又又 d 為為 a1b1的中點(diǎn)的中點(diǎn),dfab1,f 為為 bb1的中點(diǎn)的中點(diǎn), 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn) f 為為 bb1的中點(diǎn)

36、時(shí)的中點(diǎn)時(shí),ab1平面平面 c1df. 23.2 平面與平面垂直的判定平面與平面垂直的判定 預(yù)習(xí)課本預(yù)習(xí)課本 p6769,思考并完成以下問(wèn)題思考并完成以下問(wèn)題 1二面角的定義、表示分別是怎樣的？二面角的定義、表示分別是怎樣的？ 2二面角的平面角的定義、范圍分別是怎樣的？二面角的平面角的定義、范圍分別是怎樣的？ 3面面垂直是怎樣定義的？面面垂直是怎樣定義的？ 4面面垂直的判定定理的內(nèi)容是什么？面面垂直的判定定理的內(nèi)容是什么？ 新知初探新知初探 1二面角二面角 (1)定義：從一條直線出發(fā)的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面所組成的圖形叫做二面角角(如圖如圖)直線直線 a

37、b 叫做二面角的棱叫做二面角的棱,半平面半平面 和和 叫做二面角的面叫做二面角的面 記法：記法：- ab- ,在在 , 內(nèi)內(nèi),分別取點(diǎn)分別取點(diǎn) p,q 時(shí)時(shí),可記作可記作 p- ab- q；當(dāng)棱記為；當(dāng)棱記為 l 時(shí)時(shí),可記作可記作 - l- 或或p- l- q. (2)二面角的平面角：二面角的平面角： 定義：在二面角定義：在二面角 - l- 的棱的棱 l 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn) o,如圖所示如圖所示,以點(diǎn)以點(diǎn) o 為垂足為垂足,在在半平面半平面 和和 內(nèi)內(nèi)分別作垂直于棱分別作垂直于棱 l 的射線的射線 oa 和和 ob,則射線則射線 oa 和和 ob 構(gòu)成的構(gòu)成的aob 叫做叫做二面角的平面角

38、二面角的平面角 直二面角：平面角是直二面角：平面角是直角直角的二面角的二面角 點(diǎn)睛點(diǎn)睛 二面角的平面角的定義是兩條二面角的平面角的定義是兩條“射線射線”的夾角的夾角,不是兩條直線的夾角不是兩條直線的夾角,因此因此,二面二面角角 的取值范圍是的取值范圍是 0180. 2平面與平面垂直平面與平面垂直 (1)面面垂直的定義面面垂直的定義 定義：如果兩個(gè)平面相交定義：如果兩個(gè)平面相交,且它們所成的二面角是且它們所成的二面角是直二面角直二面角,就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直直 畫(huà)法：畫(huà)法： 記作：記作：. (2)兩平面垂直的判定定理：兩平面垂直的判定定理： 文字語(yǔ)言：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的文

39、字語(yǔ)言：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線垂線,則這兩個(gè)平面垂直則這兩個(gè)平面垂直 圖形語(yǔ)言：如圖圖形語(yǔ)言：如圖 符號(hào)語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：ab,abb,ab. 點(diǎn)睛點(diǎn)睛 定理的關(guān)鍵詞是定理的關(guān)鍵詞是“過(guò)另一面的垂線過(guò)另一面的垂線”,所以應(yīng)用的關(guān)鍵是在平面內(nèi)尋找另一個(gè)面所以應(yīng)用的關(guān)鍵是在平面內(nèi)尋找另一個(gè)面的垂線的垂線 小試身手小試身手 1判斷下列命題是否正確判斷下列命題是否正確(正確的打正確的打“”“”,錯(cuò)誤的打錯(cuò)誤的打“”“”) (1)若若 l,則過(guò)則過(guò) l 有無(wú)數(shù)個(gè)平面與有無(wú)數(shù)個(gè)平面與 垂直垂直( ) (2)兩垂直的平面的二面角的平面角大小為兩垂直的平面的二面角的平面角大小為 90( ) 答案：答案：(1

40、) (2) 2在二面角在二面角 - l- 的棱的棱 l 上任選一點(diǎn)上任選一點(diǎn) o,若若aob 是二面角是二面角 - l- 的平面角的平面角,則必須具有的則必須具有的條件是條件是( ) aaobo,ao,bo baol,bol cabl,ao,bo daol,bol,且且 ao,bo 答案：答案：d 3對(duì)于直線對(duì)于直線 m,n 和平面和平面 ,能得出能得出 的一組條件是的一組條件是( ) amn,m,n bmn,m,n cmn,n,m dmn,m,n 解析：解析：選選 c a 與與 d 中中 也可與也可與 平行平行,b 中不一定中不一定 ,故選故選 c. 面面垂直的判定面面垂直的判定 典例典例

41、如圖如圖,四邊形四邊形 abcd 為菱形為菱形,abc120,e,f 是平面是平面abcd 同一側(cè)的兩點(diǎn)同一側(cè)的兩點(diǎn),be平面平面 abcd,df平面平面 abcd,be2df,aeec. 證明：平面證明：平面 aec平面平面 afc. 證明證明 如圖如圖,連接連接 bd,設(shè)設(shè) bdac 于點(diǎn)于點(diǎn) g,連接連接 eg,fg,ef.在菱形在菱形 abcd 中中,不妨設(shè)不妨設(shè) gb1.由由abc120,可得可得 aggc 3. 由由 be平面平面 abcd,abbc,可知可知 aeec. 又又 aeec,所以所以 eg 3,且且 egac. 在在 rtebg 中中,可得可得 be 2,故故 df2

42、2. 在在 rtfdg 中中,可得可得 fg62. 在直角梯形在直角梯形 bdfe 中中,由由 bd2,be 2,df22, 可得可得 ef3 22. 從而從而 eg2fg2ef2,所以所以 egfg. 又又 acfgg,所以所以 eg平面平面 afc. 因?yàn)橐驗(yàn)?eg平面平面 aec,所以平面所以平面 aec平面平面 afc. (1)證明平面與平面垂直的方法：證明平面與平面垂直的方法： 利用定義：證明二面角的平面角為直角；利用定義：證明二面角的平面角為直角； 利用面面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線利用面面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線,則這兩個(gè)平面

43、互則這兩個(gè)平面互相垂直相垂直 (2)根據(jù)面面垂直的定義判定兩平面垂直根據(jù)面面垂直的定義判定兩平面垂直,實(shí)質(zhì)上是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了求二面角的平面角實(shí)質(zhì)上是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了求二面角的平面角,通通常情常情況下利用判定定理要比定義簡(jiǎn)單些況下利用判定定理要比定義簡(jiǎn)單些,這也是證明面面垂直的常用方法這也是證明面面垂直的常用方法,即要證面面垂直即要證面面垂直,只只要轉(zhuǎn)證線面垂直要轉(zhuǎn)證線面垂直,其關(guān)鍵與難點(diǎn)是在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一直線與另一平面垂直其關(guān)鍵與難點(diǎn)是在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一直線與另一平面垂直 活學(xué)活用活學(xué)活用 1.如圖如圖,已知已知 pa矩形矩形 abcd 所在的平面所在的平面,則圖中互相垂直的平面則圖中

44、互相垂直的平面有有( ) a1 對(duì)對(duì) b2 對(duì)對(duì) c3 對(duì)對(duì) d5 對(duì)對(duì) 解析：解析：選選 d daab,dapa,da平面平面 pab.同理同理 bc平面平面 pab,又又 ab平面平面pad,dc平面平面 pad,平面平面 pad平面平面 ac,平面平面 pab平面平面ac,平面平面 pbc平面平面pab,平面平面pab平面平面 pad,平面平面 pdc平面平面 pad,共共 5 對(duì)對(duì) 2.如圖如圖,四邊形四邊形 abcd 是邊長(zhǎng)為是邊長(zhǎng)為 a 的菱形的菱形,pc平面平面 abcd,e 是是 pa的中點(diǎn)的中點(diǎn),求證：平面求證：平面 bde平面平面 abcd. 證明：證明：連接連接 ac,設(shè)

45、設(shè) acbdo,連接連接 oe. 因?yàn)橐驗(yàn)?o 為為 ac 中點(diǎn)中點(diǎn),e 為為 pa 的中點(diǎn)的中點(diǎn), 所以所以 eo 是是pac 的中位線的中位線, 所以所以 eopc. 因?yàn)橐驗(yàn)?pc平面平面 abcd, 所以所以 eo平面平面 abcd. 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?eo平面平面 bde, 所以平面所以平面 bde平面平面 abcd. 二面角的求法二面角的求法 典例典例 (1)如圖如圖,在正方體在正方體 abcd- abcd中：中： 二面角二面角 d- ab- d 的大小為的大小為_(kāi) 二面角二面角 a- ab- d 的大小為的大小為_(kāi) (2)如圖如圖,已知已知 rtabc,斜邊斜邊 bc, 點(diǎn)點(diǎn) a ,

46、ao,o 為垂足為垂足,abo30,aco45,求二面角求二面角a- bc- o 的大小的大小 解析解析 (1)在正方體在正方體 abcd- abcd中中,ab平面平面 ad,所以所以 abad,abad,因此因此dad 為二面角為二面角 dab- d 的平面的平面角在角在 rt dda 中中,dad45,所以二面角所以二面角 dab- d的大小為的大小為 45. 因?yàn)橐驗(yàn)?ab平面平面 ad,所以所以 abad,abaa,因此因此aad 為二面角為二面角 aab- d 的平面角的平面角,又又aad90,所以二面角所以二面角 aab- d 的大小為的大小為 90. 答案答案 45 90 (2)

47、解：解：如圖如圖,在平面在平面 內(nèi)內(nèi),過(guò)過(guò) o 作作 odbc,垂足為點(diǎn)垂足為點(diǎn) d,連接連接 ad,設(shè)設(shè) coa. ao,bc,aobc. 又又 aoodo,bc平面平面 aod. 而而 ad平面平面 aod, adbc,ado 是二面角是二面角 a- bc- o 的平的平面角面角 由由 ao,ob,oc,知知 aoob,aooc. abo30,aco45,coa, aoa,ac 2a,ab2a. 在在 rtabc 中中,bac90,bc ac2ab2 6a, adab acbc2a 2a6a2 33a. 在在 rtaod 中中,sinadoaoada2 33a32. ado60,即二面角即

48、二面角 a- bc- o 的大小是的大小是 60. (1)定義法：在二面角的棱上找一點(diǎn)定義法：在二面角的棱上找一點(diǎn),在兩個(gè)半平面內(nèi)過(guò)該點(diǎn)分別作垂直于棱的射線在兩個(gè)半平面內(nèi)過(guò)該點(diǎn)分別作垂直于棱的射線 (2)垂面法：過(guò)棱上一點(diǎn)作與棱垂直的平面垂面法：過(guò)棱上一點(diǎn)作與棱垂直的平面,該平面與二面角的兩個(gè)半平面形成交線該平面與二面角的兩個(gè)半平面形成交線,這兩這兩條射線條射線(交線交線)所成的角所成的角,即為二面角的平面角即為二面角的平面角 (3)垂線法：利用線面垂直的性質(zhì)來(lái)尋找二面角的平面角垂線法：利用線面垂直的性質(zhì)來(lái)尋找二面角的平面角,這是最常用也是最有效的一種這是最常用也是最有效的一種方方法法 活學(xué)活

49、用活學(xué)活用 如圖如圖,把等腰直角三角形把等腰直角三角形 abc 沿斜邊沿斜邊 ab 旋轉(zhuǎn)至旋轉(zhuǎn)至abd 的位置的位置,使使cdac. (1)求證：平面求證：平面 abd平面平面 abc. (2)求二面角求二面角 c- bd- a 的余弦值的余弦值 解：解：(1)證明：證明：取取 ab 的中點(diǎn)的中點(diǎn) o,連接連接 od, abd 是等腰直角三角形是等腰直角三角形, doab,且且 do22ad. 連接連接 oc,同理得同理得 coab, 且且 co22ac, adac,doco22ac. cdac,do2co2cd2, cdo 為等腰直角三角形為等腰直角三角形,doco, 又又 abcoo,do

50、平面平面 abc. 又又do平面平面 abd,平面平面 abd平面平面 abc. (2)取取 bd 的中點(diǎn)的中點(diǎn) e,連接連接 ce,oe. bcd 為等邊三角形為等邊三角形,cebd. 又又bod 為等腰直角三角形為等腰直角三角形,oebd. oec 為二面角為二面角 c- bd- a 的平面角的平面角 由由(1)可證得可證得 oc平面平面 abd,ocoe. coe 為直角三角形為直角三角形 設(shè)設(shè) bc1,則則 ce32,oe12, cosoecoece33, 即二面角即二面角 c- bd- a 的余弦值為的余弦值為33. 折疊問(wèn)題折疊問(wèn)題 典例典例 如圖如圖,在矩形在矩形 abcd 中中

51、,ab 2,bc2,e 為為 bc 的中點(diǎn)的中點(diǎn),把把a(bǔ)be 和和cde 分別分別沿沿 ae,de 折起折起,使點(diǎn)使點(diǎn) b 與點(diǎn)與點(diǎn) c 重合于點(diǎn)重合于點(diǎn) p. (1)求證：平面求證：平面 pde平面平面 pad； (2)求二面角求二面角 p- ad- e 的大小的大小 解解 (1)證明：由證明：由 abbe, 得得 appe, 同理同理,dppe. 又又apdpp,pe平面平面 pad. 又又 pe平面平面 pde, 平面平面 pde平面平面 pad. (2)如圖所示如圖所示,取取 ad 的中點(diǎn)的中點(diǎn) f,連接連接 pf,ef,則則 pfad,efad, pfe 就是二面角就是二面角 p-

52、ad- e 的平面角的平面角 又又 pe平面平面 pad,pepf. efab 2,pf 2 211, cospfepfef22. 二面角二面角 p- ad- e 的大小為的大小為 45. 折疊問(wèn)題折疊問(wèn)題, ,即由平面圖形經(jīng)過(guò)折疊成為立體圖形即由平面圖形經(jīng)過(guò)折疊成為立體圖形, ,在立體圖形中解決有關(guān)問(wèn)題解題過(guò)程在立體圖形中解決有關(guān)問(wèn)題解題過(guò)程中中, ,一定要抓住折疊前后的變量與不變量一定要抓住折疊前后的變量與不變量 活學(xué)活用活學(xué)活用 如圖所示如圖所示,在矩形在矩形 abcd 中中,已知已知 ab12ad,e 是是 ad 的中點(diǎn)的中點(diǎn),沿沿 be 將將abe 折起至折起至abe 的位置的位置,

53、使使 acad,求證：平面求證：平面 abe平面平面 bcde. 證明：證明：如圖所示如圖所示,取取 cd 的中點(diǎn)的中點(diǎn) m,be 的中點(diǎn)的中點(diǎn) n, 連接連接 am,an,mn, 則則 mnbc. ab12ad,e 是是 ad 的中點(diǎn)的中點(diǎn), abae,即即 abae. anbe.acad,amcd. 在四邊形在四邊形 bcde 中中,cdmn, 又又mnamm, cd平面平面 amn,cdan. debc 且且 de12bc,be 必與必與 cd 相交相交 又又anbe,ancd,an平面平面 bcde. 又又an平面平面 abe,平面平面 abe平面平面 bcde. 層級(jí)一層級(jí)一 學(xué)業(yè)水

54、平達(dá)標(biāo)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1從空間一點(diǎn)從空間一點(diǎn) p 向二面角向二面角 - l- 的兩個(gè)面的兩個(gè)面 , 分別作垂線分別作垂線 pe,pf,e,f 為垂足為垂足,若若epf60,則二面角則二面角 - l- 的平面角的大小是的平面角的大小是( ) a60 b120 c60或或 120 d不確定不確定 解析：解析：選選 c 若點(diǎn)若點(diǎn) p 在二面角內(nèi)在二面角內(nèi),則二面角的平面角為則二面角的平面角為 120；若點(diǎn)；若點(diǎn) p 在二面角外在二面角外,則二面則二面角的平面角為角的平面角為 60. 2如果直線如果直線 l,m 與平面與平面 , 滿足：滿足：l,l,m 和和 m,那么必有那么必有( ) a 且且 lm

55、b 且且 m cm 且且 lm d 且且 解析：解析：選選 a b 錯(cuò)錯(cuò),有可能有可能 m 與與 相交；相交；c 錯(cuò)錯(cuò),有可能有可能 m 與與 相交；相交；d 錯(cuò)錯(cuò),有可能有可能 與與 相相交交 3已知直線已知直線 a,b 與平面與平面 ,下列能使下列能使 成立的條件是成立的條件是( ) a, ba,ba,b ca,a da,a 解析：解析：選選 d 由由 a,知知 內(nèi)必有直線內(nèi)必有直線 l 與與 a 平行而平行而 a,l,. 4如圖如圖,四邊形四邊形abcd中中,adbc,adab,bcd45,bad90,將將abd沿沿 bd折起折起,使平面使平面 abd平面平面 bcd,構(gòu)成幾何體構(gòu)成幾何

56、體 a- bcd,則在幾何體則在幾何體 a- bcd 中中,下列結(jié)論正確的是下列結(jié)論正確的是( ) a平面平面 abd平面平面 abc b平面平面 adc平面平面 bdc c平面平面 abc平面平面 bdc d平面平面 adc平面平面 abc 解析：解析：選選 d 由已知得由已知得 baad,cdbd, 又平面又平面 abd平面平面 bcd,cd平面平面 abd, 從而從而 cdab,故故 ab平面平面 adc. 又又 ab平面平面 abc,平面平面 abc平面平面 adc. 5在正方體在正方體 abcd- a1b1c1d1中中,截面截面 a1bd與底面與底面 abcd 所成二面角所成二面角

57、a1- bd- a 的正切值的正切值為為( ) a.32 b.22 c. 2 d. 3 解析：解析：選選 c 如圖所示如圖所示,連接連接 ac 交交 bd 于點(diǎn)于點(diǎn) o,連接連接 a1o,o 為為 bd 中點(diǎn)中點(diǎn), a1da1b, 在在a1bd 中中,a1obd. 又又在正方形在正方形 abcd 中中,acbd, a1oa 為二面角為二面角 a1- bd- a 的平面角的平面角 設(shè)設(shè) aa11,則則 ao22. tana1oa122 2. 6如果規(guī)定：如果規(guī)定：xy,yz,則則 xz,叫作叫作 x,y,z 關(guān)于相等關(guān)系具有傳遞性關(guān)于相等關(guān)系具有傳遞性,那么空間三個(gè)平面那么空間三個(gè)平面, 關(guān)于相

58、交、垂直、平行這三種關(guān)系中具有傳遞性的是關(guān)于相交、垂直、平行這三種關(guān)系中具有傳遞性的是_ 解析：解析：由平面與平面的位置關(guān)系及兩個(gè)平面平行、垂直的定義、判定定理由平面與平面的位置關(guān)系及兩個(gè)平面平行、垂直的定義、判定定理,知平面平行具知平面平行具有傳遞性有傳遞性,相交、垂直都不具有傳遞性相交、垂直都不具有傳遞性 答案：答案：平行平行 7在正方體在正方體 abcd- a1b1c1d1中中,e 是是 cc1的中點(diǎn)的中點(diǎn),則平面則平面 ebd 與平面與平面 aa1c1c 的位置關(guān)的位置關(guān)系是系是_(填填“垂直垂直”“”“不垂直不垂直”其中的一個(gè)其中的一個(gè)) 解：解：如圖如圖,在正方體中在正方體中,cc

59、1平面平面 abcd,cc1bd. 又又 acbd,cc1acc, bd平面平面 aa1c1c. 又又 bd平面平面 ebd, 平面平面 ebd平面平面 aa1c1c. 答案：答案：垂直垂直 8若若 p是是abc 所在平面外一點(diǎn)所在平面外一點(diǎn),而而pbc和和abc都是邊長(zhǎng)為都是邊長(zhǎng)為 2 的正三角形的正三角形,pa 6,那么二面角那么二面角 p- bc- a 的大小為的大小為_(kāi) 解析：解析：如圖如圖,取取 bc 的中點(diǎn)的中點(diǎn) o,連接連接 oa,op,則則poa 為二面角為二面角 p- bc- a的平面角的平面角,opoa3,pa6,所以所以poa 為直角三角形為直角三角形,poa90. 答案

60、：答案：90 9如圖如圖,在圓錐在圓錐 po 中中,ab 是是o 的直徑的直徑,c 是是 a b 上的點(diǎn)上的點(diǎn),d 為為 ac 的中點(diǎn)證明：平面的中點(diǎn)證明：平面pod平面平面 pac. 證明：證明：如圖如圖,連接連接 oc,因?yàn)橐驗(yàn)?oaoc, d 是是 ac 的中點(diǎn)的中點(diǎn),所以所以 acod. 又又 po底面底面 abc,ac底面底面 abc,所以所以 acpo.因?yàn)橐驗(yàn)?od,po 是平是平面面pod 內(nèi)的兩條相交直線內(nèi)的兩條相交直線,所以所以 ac平面平面 pod.又又 ac平面平面 pac,所以平面所以平面pod平面平面 pac. 10.如圖所示如圖所示,在在abc 中中,abbc,s