周期信號(hào)的頻譜分析——傅里葉級(jí)數(shù)

1、x主要內(nèi)容三角函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù)三角函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù) 指數(shù)函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù)指數(shù)函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù)兩種傅氏級(jí)數(shù)的關(guān)系兩種傅氏級(jí)數(shù)的關(guān)系 頻譜圖頻譜圖函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系周期信號(hào)的功率周期信號(hào)的功率x頻域分析從本章開(kāi)始由時(shí)域轉(zhuǎn)入變換域分析。從本章開(kāi)始由時(shí)域轉(zhuǎn)入變換域分析。傅里葉變換傅里葉變換傅里葉變換是在傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉變換是在傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開(kāi)正交函數(shù)展開(kāi)的基礎(chǔ)上發(fā)展的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問(wèn)題也稱為傅里葉分析（頻域分而產(chǎn)生的，這方面的問(wèn)題也稱為傅里葉分析（頻域分析）。將信號(hào)進(jìn)行正交分解（分解為三角函數(shù)或復(fù)指數(shù)析）。將信號(hào)進(jìn)行正交分解（分解為

2、三角函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)的組合）。函數(shù)的組合）。頻域分析將時(shí)間變量變換成頻率變量頻域分析將時(shí)間變量變換成頻率變量，揭示了信號(hào)，揭示了信號(hào)內(nèi)在的頻率特性以及信號(hào)時(shí)間特性與其頻率特性之間的內(nèi)在的頻率特性以及信號(hào)時(shí)間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號(hào)的密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號(hào)的頻譜頻譜、帶寬帶寬以及以及濾波濾波、調(diào)調(diào)制制和和頻分復(fù)用頻分復(fù)用等重要概念。等重要概念。 x主要內(nèi)容從傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開(kāi)問(wèn)題開(kāi)始討論，引出傅里從傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開(kāi)問(wèn)題開(kāi)始討論，引出傅里葉變換，建立信號(hào)頻譜的概念。葉變換，建立信號(hào)頻譜的概念。通過(guò)典型信號(hào)頻譜以及傅里葉變換性質(zhì)的研究，初步通過(guò)典型信號(hào)頻譜以及傅里葉

3、變換性質(zhì)的研究，初步掌握傅里葉分析方法的應(yīng)用。掌握傅里葉分析方法的應(yīng)用。對(duì)于周期信號(hào)而言，在進(jìn)行頻譜分析時(shí)，可以利用傅對(duì)于周期信號(hào)而言，在進(jìn)行頻譜分析時(shí)，可以利用傅里葉級(jí)數(shù)，也可以利用傅里葉變換，傅里葉級(jí)數(shù)相當(dāng)于里葉級(jí)數(shù)，也可以利用傅里葉變換，傅里葉級(jí)數(shù)相當(dāng)于傅里葉變換的一種特殊表達(dá)形式。傅里葉變換的一種特殊表達(dá)形式。最后研究抽樣信號(hào)的傅里葉變換，引入抽樣定理。最后研究抽樣信號(hào)的傅里葉變換，引入抽樣定理。x一三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)11cos,sinntnt是一個(gè)是一個(gè)完備完備的的正交正交函數(shù)集函數(shù)集t在一個(gè)周期內(nèi)，在一個(gè)周期內(nèi)，n=0,1,. 2112cossin0ttntmt2112,co

4、scos20,tttmnntmtmn2112,sinsin20,tttmnntmtmn由積分可知由積分可知1.三角函數(shù)集x 1112 , , f ttt周期信號(hào)周期為基波角頻率為在滿在滿足足狄氏條件狄氏條件時(shí)，可展成時(shí)，可展成 0111( )cossin 1nnnf taantbnt直流分量直流分量0001( )dtttaf ttt余弦分量的幅度余弦分量的幅度0012( )cosdttntaf tnttt正弦分量的幅度正弦分量的幅度0012( )sindttntbf tnttt稱為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，其系數(shù)稱為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，其系數(shù)2級(jí)數(shù)形式x狄利克雷（dirichlet）條件條件條件

5、3:3:在一周期內(nèi)，信號(hào)絕對(duì)可積在一周期內(nèi)，信號(hào)絕對(duì)可積; ;條件條件2 2：在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)；限個(gè)；條件條件1 1：在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。|( )|tf tdt x例1不滿足條件不滿足條件1 1的例子如下圖所示，這個(gè)信號(hào)的周期為的例子如下圖所示，這個(gè)信號(hào)的周期為2 2，它，它是這樣組成的：后一個(gè)階梯的高度和寬度是前一個(gè)階梯的是這樣組成的：后一個(gè)階梯的高度和寬度是前一個(gè)階梯的一半?？梢?jiàn)在一個(gè)周期內(nèi)它的面積不會(huì)超過(guò)一半?？梢?jiàn)在一個(gè)周期內(nèi)它的面積

6、不會(huì)超過(guò)2 2，但不連續(xù)，但不連續(xù)點(diǎn)的數(shù)目是無(wú)窮多個(gè)。點(diǎn)的數(shù)目是無(wú)窮多個(gè)。( )f t202x例2不滿足條件不滿足條件2 2的一個(gè)函數(shù)是的一個(gè)函數(shù)是 2sin, 01f ttt tf011 t1對(duì)此函數(shù)，其周期為對(duì)此函數(shù)，其周期為1 1，有，有 101f t dt x例3周期信號(hào)周期信號(hào) ，周期為周期為1 1，不滿足此條件。，不滿足此條件。 1, 01f ttt tf0121 2 t1x在一周期內(nèi)，信號(hào)是在一周期內(nèi)，信號(hào)是絕對(duì)可積的絕對(duì)可積的(t1為周期為周期) 1dtf ttt 010( ) dtttf tt 1j11ddntnttff t etf tttt說(shuō)明與平方可積條件相同，這一條件保

7、證了每一系數(shù)與平方可積條件相同，這一條件保證了每一系數(shù)fn都都是有限值，因?yàn)槭怯邢拗?，因?yàn)閚f x例4求周期鋸齒波的三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。求周期鋸齒波的三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。11201121d0ttaatttt11211122cosd0ttnaatntttt11211122sindttnabtntttt1( 1) 1,2,3 nann周期鋸齒波的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為周期鋸齒波的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為 110sinsin22aaf ttt111( ) /2/2af tttttt 直流直流基波基波諧波諧波t tfa a21t21t 112t x其他形式00ca22nnncab1tgnnnba

8、cosnnnacsinnnnbc 余弦形式余弦形式正弦形式正弦形式00da1tgnnnbasinnnnadcosnnnbd 110sin)(nnntnddtf 22nnndab 2 cos)(110 nnntncctf x關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖可畫(huà)出可畫(huà)出頻譜圖頻譜圖周期信號(hào)頻譜具有周期信號(hào)頻譜具有離散性，諧波性，收斂性離散性，諧波性，收斂性 ncn幅度頻率特性和相位頻率特性11:n周期信號(hào)可分解為直流，基波（ ）和各次諧波（基波角頻率的整數(shù)倍）的線性組合x(chóng)二指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)1 1復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集1j 0

9、, 1, 2nten 2 2級(jí)數(shù)形式級(jí)數(shù)形式3 3系數(shù)系數(shù)11111j01jj0( )d()dtnttntntf tetf neet 1j1( )() 4ntnf tf ne 11j01( )d 5tntf t ett利用利用復(fù)變函數(shù)的正交特性復(fù)變函數(shù)的正交特性nf 也可寫(xiě)為也可寫(xiě)為x說(shuō)明 變換對(duì)。變換對(duì)。式是一對(duì)式是一對(duì)、唯一確定，唯一確定，則，則如給出如給出)5()4()(1tfnf 的線性組合。的線性組合。區(qū)間上的指數(shù)信號(hào)區(qū)間上的指數(shù)信號(hào)周期信號(hào)可分解為周期信號(hào)可分解為tne1j, 1j1( )() 4ntnf tf ne 11j101( )d 5tntf nf tett傅立葉級(jí)數(shù)反變換

10、傅立葉級(jí)數(shù)反變換（4）傅立葉級(jí)數(shù)正變換傅立葉級(jí)數(shù)正變換（5）x三兩種系數(shù)之間的關(guān)系及頻譜圖1j101()( )dtntf nf t ett110011( )cosdj( )sindttf tnttf tntttt12nnajb1110011()( )cosdj( )sindttfnf tnttf tntttt1j2nnab nenfnf j11)( 是是復(fù)復(fù)數(shù)數(shù))(),(11 nfnf x22111()22nnnf nabc相頻特性相頻特性1tgnnnba幅頻特性和相頻特性幅頻特性幅頻特性 的的奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于的的偶偶函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于取取正正值值）的的奇奇函函數(shù)數(shù)（實(shí)實(shí)際際關(guān)關(guān)于于取取正正

11、值值）的的偶偶函函數(shù)數(shù)（實(shí)實(shí)際際關(guān)關(guān)于于 )( 11nnfnbnannx1 13 nc0c1c3co1 13 n o 頻譜圖（單邊譜）幅度頻譜幅度頻譜相位頻譜相位頻譜離散譜，譜線離散譜，譜線ncn曲線x請(qǐng)畫(huà)出其幅度譜和相位譜。請(qǐng)畫(huà)出其幅度譜和相位譜。例501c 00152.236c 10.15 21c 20.25化為余弦形式化為余弦形式三角函數(shù)形式的頻譜圖三角函數(shù)形式的頻譜圖111( )1 sin2coscos 24f tttt 已知，11( )15cos(0.15 )cos 24f ttt 三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)的譜系數(shù)三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)的譜系數(shù) x1 1c0c2c12 024. 211nc

12、12 25. 0 15. 0 01 n x化為指數(shù)形式 4j24j2jjjj1111112122211)( tnttttteeeeeejtf1111jjjjj2j2441111( )1112 j2 j22ttttf teeeeee 12j12()ntnf ne(0)1f0.151111.122jfej0.151111.122jfej41122jfe41122jfe整理整理指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)x譜線0(0)1ff11()1.12ff11()1.12ff21(2)0.5ff21( 2)0.5ff0010.15 10.1520.2520.25 指數(shù)形式的頻譜圖指數(shù)形式

13、的頻譜圖12 5 . 001 1 12. 112 12. 15 . 01 1 nf12 25. 0 15. 0 01 1 15. 012 25. 0 n x三角形式與指數(shù)形式的頻譜圖對(duì)比1 1c0c2c12 024. 211nc12 5 . 001 1 12. 112 12. 15 . 01 1 nf12 25. 0 15. 0 01 1 15. 012 25. 0 n 三角函數(shù)形式的頻譜圖三角函數(shù)形式的頻譜圖指數(shù)形式的頻譜圖指數(shù)形式的頻譜圖12 25. 0 15. 0 01 n x四總結(jié)（1）周期信號(hào)周期信號(hào)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)有兩種形式的傅里葉級(jí)數(shù)有兩種形式（3）周期信號(hào)的頻譜是離散譜，三

14、個(gè)性質(zhì)周期信號(hào)的頻譜是離散譜，三個(gè)性質(zhì)（2）兩種頻譜圖的關(guān)系兩種頻譜圖的關(guān)系（4）引入負(fù)頻率引入負(fù)頻率x(1)周期信號(hào)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)有 兩種形式0111( )cossinnnnf taantbnt011cos()nnnccnt三角形式三角形式指數(shù)形式指數(shù)形式1j1( )()ntnf tf nex10001()02nf ncnfca(2)兩種頻譜圖的關(guān)系11 ()()nn 相位頻譜為奇函數(shù)nnc三角函數(shù)形式：，單邊頻譜單邊頻譜nnf指數(shù)函數(shù)形式：，雙邊頻譜雙邊頻譜關(guān)系關(guān)系11 ()()f nfn指數(shù)形式的幅度譜為偶函數(shù)x(3)三個(gè)性質(zhì)11,( )( ( )f n)nf nnf tf t收斂

15、性：諧波性： （離散性），頻率只出現(xiàn)在處唯一性：的譜線唯一與 ()一一對(duì)應(yīng)(4)引入負(fù)頻率 的的實(shí)實(shí)函函數(shù)數(shù)的的性性質(zhì)質(zhì)不不變變。，才才能能保保證證和和數(shù)數(shù)，必必須須有有共共軛軛對(duì)對(duì)是是實(shí)實(shí)函函數(shù)數(shù)，分分解解成成虛虛指指)(11jjtfeetfnn 注意：注意：沖激函數(shù)序列的頻譜不滿足收斂性沖激函數(shù)序列的頻譜不滿足收斂性x五函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇諧函數(shù)奇諧函數(shù)偶諧函數(shù)偶諧函數(shù)注：指交流分量注：指交流分量x1偶函數(shù)為為實(shí)實(shí)函函數(shù)數(shù)。項(xiàng)項(xiàng)。項(xiàng)項(xiàng)，只只含含直直流流項(xiàng)項(xiàng)和和余余弦弦傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)中中不不含含正正弦弦)(1 nf信號(hào)波形相對(duì)于縱軸是對(duì)稱的信號(hào)波形相

16、對(duì)于縱軸是對(duì)稱的)()(tftf )(tfottet 0nb 2104( )cosd0tnaf tnttt111()22nnnnff najba0nx2奇函數(shù))()(tftf 對(duì)對(duì)稱稱的的：波波形形相相對(duì)對(duì)于于縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)是是反反)(tfottt 11 為為虛虛函函數(shù)數(shù)。量量，傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)中中無(wú)無(wú)余余弦弦分分)(1 nf2021 ( )d =0 ttaf ttt2122( )cosd0tntaf tnttt102( )sindtnbf tnttt111()22nnnnff najbjb 2104( )sind0tf tntttx0nnab3奇諧函數(shù)2104( )cosdtnaf tnt

17、tt2104( )sindtnbf tntttf(t)的傅氏級(jí)數(shù)偶次諧波為零，即的傅氏級(jí)數(shù)偶次諧波為零，即n=2,4,6,時(shí)時(shí), n=1,3,5,時(shí)時(shí), )(tfottt 2t( )2tf tft 若波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周若波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期并相對(duì)于該軸上下反轉(zhuǎn)，期并相對(duì)于該軸上下反轉(zhuǎn)，此時(shí)波形并不發(fā)生變化：此時(shí)波形并不發(fā)生變化：00a x 12tf tft112t4偶諧函數(shù)121014( )sindtnbf tnttt0nnab121014( )cosdtnaf tntttn=2,4,6,時(shí)時(shí), n=1,3,5,時(shí)時(shí), f(t)的傅氏級(jí)數(shù)奇次諧波為零，只有偶次諧波分量的傅氏級(jí)數(shù)奇次諧波為零，只有偶次諧波分量)(tfot1t1t 21t21t 稱為偶諧函數(shù)。稱為偶諧函數(shù)。與原波形重合，與原波形重合，波形移動(dòng)波形移動(dòng)21t x六周期信號(hào)的功率