高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修4

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料2.2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解向量數(shù)乘的概念,并理解這種運(yùn)算的幾何意義.2.理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律,會運(yùn)用向量數(shù)乘運(yùn)算律進(jìn)行向量運(yùn)算.3.理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)及其判定方法,并能熟練地運(yùn)用這些知識處理有關(guān)共線向量問題.知識點(diǎn)一向量數(shù)乘的定義思考1實(shí)數(shù)與向量相乘結(jié)果是實(shí)數(shù)還是向量？答案向量.思考2向量3a,3a與a從長度和方向上分析具有怎樣的關(guān)系？答案 3a的長度是a的長度的3倍,它的方向與向量a的方向相同.3a的長度是a的長度的3倍,它的方向與向量a的方向相反.思考3a的幾何意義是什么？答案a的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓

2、縮.當(dāng)|1時(shí),表示a的有向線段在原方向(0)或反方向(0)上伸長為原來的|倍.梳理向量數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)與向量a的積是一個向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作a,其長度與方向規(guī)定如下：(1)|a|a|.(2)a (a0)的方向特別地,當(dāng)0或a0時(shí),0a0或00.知識點(diǎn)二向量數(shù)乘的運(yùn)算律思考類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算律,向量數(shù)乘有怎樣的運(yùn)算律？答案 結(jié)合律,分配律.梳理向量數(shù)乘運(yùn)算律(1)(a)()a；(2)()aaa；(3)(ab)ab.知識點(diǎn)三向量共線定理思考1若b2a,b與a共線嗎？答案根據(jù)共線向量及向量數(shù)乘的意義可知,b與a共線.如果有一個實(shí)數(shù),使ba(a0),那么b與a是共線向量；反之,如果b與a(a0)

3、是共線向量,那么有且只有一個實(shí)數(shù),使得ba.思考2若b與非零向量a共線,是否存在滿足ba？若b與向量a共線呢？答案若b與非零向量a共線,存在滿足ba；若b與向量a共線,當(dāng)a0,b0時(shí),不存在滿足ba.梳理(1)向量共線定理向量a (a0)與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實(shí)數(shù),使ba.(2)向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算,對于任意向量a、b,以及任意實(shí)數(shù)、1、2,恒有(1a±2b)1a±2b.類型一向量數(shù)乘的基本運(yùn)算例1(1)化簡：2(2a4b)4(5a2b).解2(2a4b)4(5a2b)(4a8b20a8b)(16a16b)4a4b.(2)已知向量為

4、a,b,未知向量為x,y,向量a,b,x,y滿足關(guān)系式3x2ya,4x3yb,求向量x,y.解由×3×2,得x3a2b,代入得3×(3a2b)2ya,所以x3a2b,y4a3b.反思與感悟(1)向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算,例如實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用,但是這里的“同類項(xiàng)”、“公因式”是指向量,實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù).(2)向量也可以通過列方程和方程組求解,同時(shí)在運(yùn)算過程中多注意觀察,恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用運(yùn)算律,簡化運(yùn)算.跟蹤訓(xùn)練1(1)計(jì)算：(ab)3(ab)8a.解(ab)3(ab)8a(a3a)(b3b

5、)8a2a4b8a10a4b.(2)若2(cb3y)b0,其中a,b,c為已知向量,則未知向量y_.答案abc解析因?yàn)?(cb3y)b0,3yabc0,所以yabc.類型二向量共線的判定及應(yīng)用命題角度1判定向量共線或三點(diǎn)共線例2已知非零向量e1,e2不共線.(1)若ae1e2,b3e12e2,判斷向量a,b是否共線.解b6a,a與b共線.(2)若e1e2,2e18e2,3(e1e2),求證：a、b、d三點(diǎn)共線.證明e1e2,2e18e23e13e25(e1e2)5.,共線,且有公共點(diǎn)b,a、b、d三點(diǎn)共線.反思與感悟(1)向量共線的判斷(證明)是把兩向量用共同的已知向量來表示,進(jìn)而互相表示,從

6、而判斷共線.(2)利用向量共線定理證明三點(diǎn)共線,一般先任取兩點(diǎn)構(gòu)造向量,從而將問題轉(zhuǎn)化為證明兩向量共線,需注意的是,在證明三點(diǎn)共線時(shí),不但要利用ba(a0),還要說明向量a,b有公共點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練2已知非零向量e1,e2不共線,如果e12e2,5e16e2,7e12e2,則共線的三個點(diǎn)是_.答案a,b,d解析e12e2,5e16e27e12e22(e12e2)2.,共線,且有公共點(diǎn)b,a,b,d三點(diǎn)共線.命題角度2利用向量共線求參數(shù)值例3已知非零向量e1,e2不共線,欲使ke1e2和e1ke2共線,試確定k的值.解ke1e2與e1ke2共線,存在實(shí)數(shù),使ke1e2(e1ke2),則(k)e1(k

7、1)e2,由于e1與e2不共線,只能有k±1.反思與感悟利用向量共線定理,即b與a(a0)共線ba,既可以證明點(diǎn)共線或線共線問題,也可以根據(jù)共線求參數(shù)的值.跟蹤訓(xùn)練3已知a,b,p三點(diǎn)共線,o為直線外任意一點(diǎn),若xy,則xy_.答案1解析由于a,b,p三點(diǎn)共線,則,在同一直線上,由向量共線定理可知,一定存在實(shí)數(shù)使得,即(),(1).x1,y,則xy1.類型三用已知向量表示其他向量例4在abc中,若點(diǎn)d滿足2,則等于()a. b.c. d.答案d解析示意圖如圖所示,由題意可得().反思與感悟用已知向量表示未知向量的求解思路(1)先結(jié)合圖形的特征,把待求向量放在三角形或平行四邊形中.(2

8、)然后結(jié)合向量的三角形法則或平行四邊形法則及向量共線定理用已知向量表示未知向量.(3)當(dāng)直接表示比較困難時(shí),可以利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系,然后解關(guān)于所求向量的方程.跟蹤訓(xùn)練4如圖,在abc中,d,e為邊ab的兩個三等分點(diǎn),3a,2b,求,.解3a,2b,2b3a,又d,e為邊ab的兩個三等分點(diǎn),ba,3aba2ab,3a3a(2b3a)ab.1.已知a5e,b3e,c4e,則2a3bc等于()a.5e b.5ec.23e d.23e答案c解析2a3bc2×5e3×(3e)4e23e.2.在abc中,m是bc的中點(diǎn),則等于()a. b

9、. c.2 d.答案c解析如圖,作出平行四邊形abec,m是對角線的交點(diǎn),故m是bc的中點(diǎn),且是ae的中點(diǎn),由題意知,2,故選c.3.設(shè)e1,e2是兩個不共線的向量,若向量me1ke2 (kr)與向量ne22e1共線,則()a.k0 b.k1c.k2 d.k答案d解析當(dāng)k時(shí),me1e2,n2e1e2.所以n2m,此時(shí),m,n共線.4.已知abc的三個頂點(diǎn)a,b,c及平面內(nèi)一點(diǎn)p,且,則()a.p在abc內(nèi)部b.p在abc外部c.p在ab邊上或其延長線上d.p在ac邊上答案d解析,2,p在ac邊上.5.如圖所示,已知,用,表示.解().1.實(shí)數(shù)與向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算,但不能進(jìn)行加減運(yùn)算,例如a,

10、a是沒有意義的.2.a的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴(kuò)大或縮小為原來的|倍.向量表示與向量a同向的單位向量.3.向量共線定理是證明三點(diǎn)共線的重要工具.即三點(diǎn)共線問題通常轉(zhuǎn)化為向量共線問題.4.已知o,a,b是不共線的三點(diǎn),且mn(m,nr),a,p,b三點(diǎn)共線mn1.課時(shí)作業(yè)一、選擇題1.下列說法中正確的是()a.a與a的方向不是相同就是相反b.若a,b共線,則bac.若|b|2|a|,則b±2ad.若b±2a,則|b|2|a|答案d解析顯然當(dāng)b±2a時(shí),必有|b|2|a|.2.在abc中,如果ad,be分別為bc,ac上的中線,且a,b,那么等于()

11、a.ab b.abc.ab d.ab答案a解析由題意,得bb()ba,即ba,解得ab.3.如圖,ab是o的直徑,點(diǎn)c,d是半圓弧ab上的兩個三等分點(diǎn),a,b,則等于() a.abb.abc.abd.ab答案d解析連接cd,od,如圖所示. 點(diǎn)c,d是半圓弧ab上的兩個三等分點(diǎn),accd,caddab×90°30°.oaod,adodao30°.由此可得cadado30°,acdo.由accd,得cdacad30°,cdadao,cdao,四邊形acdo為平行四邊形,ab.4.在abc中,已知d是ab邊上的一點(diǎn),若,則等于()a. b

12、.c. d.答案b解析a,b,d三點(diǎn)共線,1,.5.設(shè)d為abc所在平面內(nèi)一點(diǎn),3,則()a.b.c.d.答案a解析3,3(),即43,.6.已知m,n是實(shí)數(shù),a,b是向量,則下列命題中正確的是()m(ab)mamb；(mn)amana；若mamb,則ab；若mana,則mn.a. b.c. d.答案b解析和屬于數(shù)乘對向量與實(shí)數(shù)的分配律,正確；中,若m0,則不能推出ab,錯誤；中,若a0,則m,n沒有關(guān)系,錯誤.二、填空題7.已知a5b,2a8b,3(ab),則_三點(diǎn)共線.答案a,b,d8.設(shè)向量a,b不平行,向量ab與a2b平行,則實(shí)數(shù)_.答案解析向量a,b不平行,a2b0,又向量ab與a2

13、b平行,則存在唯一的實(shí)數(shù),使ab(a2b)成立,即aba2b,則解得.9.(a9b2c)(b2c)_.答案a10b10.在abcd中,a,b,3,m為bc的中點(diǎn),則_.(用a,b表示)答案ba解析如圖,baba(ab)(ba).三、解答題11.如圖所示,設(shè)m,n為abc內(nèi)的兩點(diǎn),且,求abm的面積與abn的面積之比. 解如圖所示,設(shè),則.由平行四邊形法則知,mqab,.同理.12.若非零向量a與b不共線,ka2b與3akb共線,試求實(shí)數(shù)k的值.解ka2b與3akb共線,存在實(shí)數(shù),使得ka2b(3akb),(k3)a(2k)b0,(k3)a(k2)b.a與b不共線,k±.13.在平行四邊形abcd中,m,n分別是dc,bc的中點(diǎn),已知c,d,試用c,d表示和.解如圖,設(shè)a,b.m,n分別是dc,bc的中點(diǎn),b,a.在adm和abn中,即×2,得b(2cd),×2,