[理學(xué)]數(shù)學(xué)分析答案

1、2、無窮積分的性質(zhì)與收斂判別1、證明定理11.2及其推論1定理11.2（比較法則）設(shè)定義在上的兩個函數(shù)和都在任何區(qū)間上可積，且滿足，則當(dāng)收斂時，必收斂（或者，當(dāng)收斂，所以，當(dāng)時，有。由于，因此更有 故收斂。推論1 若和都在任何上可積，且，則有（I）當(dāng)時，與同斂態(tài)；（ii）當(dāng)時，由收斂可推知，出收斂；（iii）當(dāng)時，由發(fā)散可推知也發(fā)散。證 （I）因為，所以存在，使得當(dāng)時，有即 （*）從而，若收斂，那么收斂。于是由收斂。若發(fā)散，則發(fā)散，而故發(fā)散，即發(fā)散。綜合即知，與同斂態(tài)。（ii）在（*）中令，取右半個不等式，類似可證得結(jié)論。（iii）在（*）中取，用左半個不等式即將得證。2、設(shè)與是定義在上的函數(shù)

2、，對任何，它們在上都可積。證明：若與收斂，則與也都收斂。證由及與收斂可知收斂，故也收斂。又從而，由，及收斂知收斂。3、設(shè)，是定義在上的三個連續(xù)函數(shù)，且成立不等式證明：（1）若與都收斂，則也收斂；（2）又若，則（1）由于，是定義在上的三個連續(xù)函數(shù)，故必在有限區(qū)間上可積，又由知由已知，有收斂，據(jù)比較原則，知收斂，從而收斂，由收斂得也收斂。（2）由已知，在給，有且，由迫斂性定理：。4、討論下列無窮積分的收斂性：（1） （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；解（1）因為，所以積分收斂。（2）因為，所以積分收斂，從而積分收斂。（3）因為，故積分發(fā)散。（4）因為，這時，故積分收斂。（5）時，故積分發(fā)

3、散，時，由于。這里，故時積分收斂。（6），這時，所以當(dāng)時積分收斂，當(dāng)時積分發(fā)散。5、討論下列無窮積分為絕對收斂還是條件收斂：（1）； （2）；（3）； （4）解（1） 由課本P274例3知：是條件收斂的。（2）由于。而收斂，所以絕對收斂。（3）由于在上單調(diào)且當(dāng)時趨于零，由狄利克雷判別法可知積分（3）是收斂的。又因而發(fā)散，收斂，從而積分（4）不絕對收斂，因此（4）積分條件收斂。6、舉例說明：收斂時不一定收斂；絕對收斂時，也不一定收斂。解 令，則收斂，但發(fā)散。7、證明：若絕對收斂，且，則必定收斂。證因，所以當(dāng)時，從而在上，現(xiàn)絕對收斂，于是收斂，從而收斂，故收斂。8、證明：若是上的單調(diào)函數(shù)，且收斂，則，且。證 設(shè)單調(diào)遞減，則必有（否則，若存在，使，則當(dāng)時，從而，發(fā)散，矛盾）。由收斂知，任給，存在時故當(dāng)時，因此，所以，且。9、證明：若在上一致連續(xù)，且收斂，則。證因為在上一致連續(xù)，故任給，存在某個，使當(dāng)且時，有 （1）又因收斂，所以對，存在，使當(dāng)時，有 （2）現(xiàn)考慮積分。時，由（1）有。