遼寧省沈陽市2016屆高考數(shù)學一模試卷（理科）（解析版）

1、2016年遼寧省沈陽市高考數(shù)學一模試卷（理科）一選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1已知i為虛數(shù)單位，則復數(shù)所對應(yīng)的點在（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限2設(shè)全集U=R，集合A=x|y=lgx，B=1，1，則下列結(jié)論正確的是（）AAB=1B（RA）B=（，0）CAB=（0，+）D（RA）B=13下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是增函數(shù)而且又是奇函數(shù)的是（）Ay=2xBy=2|x|Cy=2x2xDy=2x+2x4已知兩個非零向量，滿足（）=0，且2|=|，則，=（）A30°B60°C120°D150

2、°5“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體它由完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線當其主視圖和側(cè)視圖完全相同時，它的俯視圖可能是（）ABCD6設(shè)等差數(shù)列an滿足a2=7，a4=3，Sn是數(shù)列an的前n項和，則使得Sn0最大的自然數(shù)n是（）A9B10C11D127某函數(shù)部分圖象如圖所示，它的函數(shù)解析式可能是（）ABCD8閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出的結(jié)果是（）AB0CD9實數(shù)x，y滿足，則z=|xy|的最大值是

3、（）A2B4C6D810已知P是雙曲線y2=1上任意一點，過點P分別作曲線的兩條漸近線的垂線，垂足分別為A、B，則的值是（）ABCD不能確定11將3本相同的小說，2本相同的詩集全部分給4名同學，每名同學至少1本，則不同的分法有（）A24種B28種C32種D36種12已知函數(shù)y=x2的圖象在點（x0，x02）處的切線為l，若l也與函數(shù)y=lnx，x（0，1）的圖象相切，則x0必滿足（）A0x0Bx01Cx0Dx0二.填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答卷紙的相應(yīng)位置上）13已知sincos=，則sin2=14已知拋物線x2=4y的集點為F，準線為l，P為拋物線上一點，過P

4、作PAl于點A，當AFO=30°（O為坐標原點）時，|PF|=15設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1=1，an+1=2Sn+3，則S4=16已知函數(shù)，若方程f（x）=ax+1恰有一個解時，則實數(shù)a的取值范圍三.解答題：（本大題共5小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17在ABC中，角A、B、C對應(yīng)的邊分別是a、b、c，C=，且sinB=2sinAcos（A+B）（1）證明：b2=2a2；（2）若ABC的面積是1，求邊c18已知長方體AC1中，AD=AB=2，AA1=1，E為D1C1的中點，如圖所示（）在所給圖中畫出平面ABD1與平面B1EC的交線（不必說明理由）；

5、（）證明：BD1平面B1EC；（）求平面ABD1與平面B1EC所成銳二面角的大小19某中學根據(jù)20022014年期間學生的興趣愛好，分別創(chuàng)建了“攝影”、“棋類”、“國學”三個社團，據(jù)資料統(tǒng)計新生通過考核遠拔進入這三個社團成功與否相互獨立，2015年某新生入學，假設(shè)他通過考核選拔進入該校的“攝影”、“棋類”、“國學”三個社團的概率依次為m，n，已知三個社團他都能進入的概率為，至少進入一個社團的概率為，且mn（1）求m與n的值；（2）該校根據(jù)三個社團活動安排情況，對進入“攝影”社的同學增加校本選修字分1分，對進入“棋類”社的同學增加校本選修學分2分，對進入“國學”社的同學增加校本選修學分3分求該新

6、同學在社團方面獲得校本選修課字分分數(shù)的分布列及期望20已知橢圓E的中心在坐標原點，左、右焦點F1、F2分別在x軸上，離心率為，在其上有一動點A，A到點F1距離的最小值是1，過A、F1作一個平行四邊形，頂點A、B、C、D都在橢圓E上，如圖所示（）求橢圓E的方程；（）判斷ABCD能否為菱形，并說明理由（）當ABCD的面積取到最大值時，判斷ABCD的形狀，并求出其最大值21已知函數(shù)（aR）在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點（）求a的取值范圍；（）記兩個極值點分別為x1，x2，且x1x2已知0，若不等式恒成立，求的范圍請考生在22，23，24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分作答時，用2B

7、鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的標號涂黑【選修4-1：幾何證明選講】22如圖所示，兩個圓相內(nèi)切于點T，公切線為TN，外圓的弦TC，TD分別交內(nèi)圓于A、B兩點，并且外圓的弦CD恰切內(nèi)圓于點M（）證明：ABCD；（）證明：ACMD=BDCM【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】23在以直角坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸的極坐標系下，曲線C1的方程是=1，將C1向上平移1個單位得到曲線C2（）求曲線C2的極坐標方程；（）若曲線C1的切線交曲線C2于不同兩點M，N，切點為T，求|TM|TN|的取值范圍【選修4-5：不等式選講】24已知命題“abc，”是真命題，記t的最大值為m，命題“nR，”是假命題，

8、其中（）求m的值；（）求n的取值范圍2016年遼寧省沈陽市高考數(shù)學一模試卷（理科）參考答案與試題解析一選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1已知i為虛數(shù)單位，則復數(shù)所對應(yīng)的點在（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算；復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義【專題】計算題；規(guī)律型；數(shù)系的擴充和復數(shù)【分析】利用復數(shù)的除法的運算法則化簡求解，等等復數(shù)的對應(yīng)點，即可判斷選項【解答】解： =1+i，其對應(yīng)的點為（1，1），故選：A【點評】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式混合運算，考查計算能力2設(shè)全集U=R，集合A=x|y=lg

9、x，B=1，1，則下列結(jié)論正確的是（）AAB=1B（RA）B=（，0）CAB=（0，+）D（RA）B=1【考點】交、并、補集的混合運算【專題】集合思想；綜合法；集合【分析】先求出集合A，根據(jù)補集和交集以及并集的運算性質(zhì)分別判斷即可【解答】解：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，得x0，集合A=x|x0，AB=x|x01，1=1，A錯誤；（RA）B=x|x01，1=x|x0或x=1，B錯誤；AB=x|x01，1=x|x0或x=1，C錯誤；（RA）B=x|x01，1=1，D正確；故選：D【點評】本題考察了集合的運算性質(zhì)，考察對數(shù)函數(shù)的定義域，是一道基礎(chǔ)題3下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是增函數(shù)而且又是奇函數(shù)的是（）Ay

10、=2xBy=2|x|Cy=2x2xDy=2x+2x【考點】函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì)進行判斷【解答】解：A雖增卻非奇非偶，B、D是偶函數(shù)，C由奇偶函數(shù)定義可知是奇函數(shù)，由復合函數(shù)單調(diào)性可知在其定義域內(nèi)是增函數(shù)（或y'=2xln2+2xln20），故選C【點評】本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，要求熟練掌握常見函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)4已知兩個非零向量，滿足（）=0，且2|=|，則，=（）A30°B60°C120°D150°【考點】平面向量數(shù)量積

11、的運算【專題】平面向量及應(yīng)用【分析】根據(jù)題意， （）=0，則=，即|2=，結(jié)合2|=|，將其代入cos，=中可得cos，的值，進而可得，的值，即可得答案【解答】解：根據(jù)題意， （）=0，則=，即|2=，又由2|=|，則cos，=；即，=60°；故選：B【點評】本題考查向量的數(shù)量積的運算，關(guān)鍵是5“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體它由完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線當其主視圖和側(cè)視圖完全相同時，它的俯視圖可能是（）ABC

12、D【考點】簡單空間圖形的三視圖【專題】應(yīng)用題；數(shù)形結(jié)合；定義法；空間位置關(guān)系與距離【分析】相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）根據(jù)三視圖看到方向，可以確定三個識圖的形狀，判斷答案【解答】解：相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）其正視圖和側(cè)視圖是一個圓，俯視圖是從上向下看，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上俯視圖是有2條對角線且為實線的正方形，故選：B【點評】本題考查了幾何體的三視圖，屬于基礎(chǔ)題6設(shè)等差數(shù)列an滿足a2=7，a4=3，Sn是數(shù)列an的前n項和，則使得Sn0最大的自然數(shù)n是（）A9B10C11D12

13、【考點】等差數(shù)列的前n項和【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】利用等差數(shù)列的通項公式可得：an=2n+11，可見an是減數(shù)列，且a50a6，a5+a6=0，再利用前n項和公式即可得出【解答】解：設(shè)等差數(shù)列an公差為d，a2=7，a4=3，解得d=2，a1=9an=92（n1）=2n+11，數(shù)列an是減數(shù)列，且a50a6，a5+a6=0，于是，故選：A【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題7某函數(shù)部分圖象如圖所示，它的函數(shù)解析式可能是（）ABCD【考點】由y=Asin（x+）的部分圖象確定其解析式【專題】計算題；

14、數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)【分析】根據(jù)已知函數(shù)的圖象，可分析出函數(shù)的最值，確定A的值，分析出函數(shù)的周期，確定的值，將（，0）代入解析式，可求出值，進而求出函數(shù)的解析式【解答】解：不妨令該函數(shù)解析式為y=Asin（x+），由圖知A=1， =，于是，即，因是函數(shù)減時經(jīng)過的零點，于是，kZ，所以可以是，故選：C【點評】本題考查的知識點是正弦型函數(shù)解析式的求法，其中關(guān)鍵是要根據(jù)圖象分析出函數(shù)的最值，周期等，進而求出A，和值，屬于基本知識的考查8閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出的結(jié)果是（）AB0CD【考點】程序框圖【專題】計算題；圖表型；轉(zhuǎn)化思想；分析法；算法和程序框圖【分

15、析】根據(jù)題中的流程圖，模擬運行，依次根據(jù)條件計算s和n的值，直到n2016運行結(jié)束，輸出此時的s的值即為答案【解答】解：由框圖知輸出的結(jié)果為：，因為函數(shù)的周期是6，所以=336×0=0故選：B【點評】本題考查了程序框圖根據(jù)流程圖（或偽代碼）寫程序的運行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，要按照流程圖中的運行順序進行求解是關(guān)鍵屬于基礎(chǔ)題9實數(shù)x，y滿足，則z=|xy|的最大值是（）A2B4C6D8【考點】簡單線性規(guī)劃【專題】對應(yīng)思想；數(shù)形結(jié)合法；不等式【分析】根據(jù)題意，作出不等式組的可行域，令m=yx，分析可得m的取值范圍，而z=|xy|=|m|，分析可得z的最大值，即可得答案【解答】解

16、：依題畫出可行域如圖，可見ABC及內(nèi)部區(qū)域為可行域，令m=yx，則m為直線l：y=x+m在y軸上的截距，由圖知在點A（2，6）處m取最大值是4，在C（2，0）處最小值是2，所以m2，4，而z=|xy|=|m|，所以z的最大值是4，故選：B【點評】本題考查線性規(guī)劃求不等式的最值問題，關(guān)鍵是正確作出不等式的可行域10已知P是雙曲線y2=1上任意一點，過點P分別作曲線的兩條漸近線的垂線，垂足分別為A、B，則的值是（）ABCD不能確定【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；直線與圓錐曲線的關(guān)系【專題】計算題；函數(shù)思想；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】設(shè)P（m，n），則n2=1，即m23

17、n2=3，求出漸近線方程，求得交點A，B，再求向量PA，PB的坐標，由向量的數(shù)量積的坐標表示，計算即可得到【解答】解：設(shè)P（m，n），則n2=1，即m23n2=3，由雙曲線y2=1的漸近線方程為y=±x，則由解得交點A（，）；由解得交點B（，）=（，），=（，），則=+=故選：A【點評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的運用，考查聯(lián)立方程組求交點的方法，考查向量的數(shù)量積的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題11將3本相同的小說，2本相同的詩集全部分給4名同學，每名同學至少1本，則不同的分法有（）A24種B28種C32種D36種【考點】排列、組合的實際應(yīng)用【專題】計算題；分類討

18、論；轉(zhuǎn)化法；排列組合【分析】分三類，有一個人分到一本小說和一本詩集，有一個人分到兩本詩集，有一個人分到兩本小說，根據(jù)分類計數(shù)原理可得【解答】解：第一類：有一個人分到一本小說和一本詩集，這中情況下的分法有：先將一本小說和一本詩集分到一個人手上，有4種分法，將剩余的2本小說，1本詩集分給剩余3個同學，有3種分法，那共有3×4=12種第二類，有一個人分到兩本詩集，這種情況下的分法有：先將兩本詩集分到一個人手上，有4種情況，將剩余的3本小說分給剩余3個人，只有一種分法那共有：4×1=4種，第三類，有一個人分到兩本小說，這種情況的分法有：先將兩本小說分到一個人手上，有4種情況，再將剩

19、余的兩本詩集和一本小說分給剩余的3個人，有3種分法那共有：4×3=12種，綜上所述：總共有：12+4+12=28種分法，故選：B【點評】本題考查了分類和分步計數(shù)原理，關(guān)鍵是分類，屬于中檔題12已知函數(shù)y=x2的圖象在點（x0，x02）處的切線為l，若l也與函數(shù)y=lnx，x（0，1）的圖象相切，則x0必滿足（）A0x0Bx01Cx0Dx0【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程【專題】方程思想；分析法；導數(shù)的概念及應(yīng)用【分析】求出函數(shù)y=x2的導數(shù)，y=lnx的導數(shù)，求出切線的斜率，切線的方程，可得2x0=，lnm1=x02，再由零點存在定理，即可得到所求范圍【解答】解：函數(shù)y=x2的

20、導數(shù)為y=2x，在點（x0，x02）處的切線的斜率為k=2x0，切線方程為yx02=2x0（xx0），設(shè)切線與y=lnx相切的切點為（m，lnm），0m1，即有y=lnx的導數(shù)為y=，可得2x0=，切線方程為ylnm=（xm），令x=0，可得y=lnm1=x02，由0m1，可得x0，且x021，解得x01，由m=，可得x02ln（2x0）1=0，令f（x）=x2ln（2x）1，x1，f（x）=2x0，f（x）在x1遞增，且f（）=2ln210，f（）=3ln210，則有x02ln（2x0）1=0的根x0（，）故選：D【點評】本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，以

21、及函數(shù)零點存在定理的運用，屬于中檔題二.填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答卷紙的相應(yīng)位置上）13已知sincos=，則sin2=【考點】二倍角的正弦【專題】三角函數(shù)的求值【分析】由sincos=，兩邊平方，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍角公式即可得出【解答】解：由sincos=，兩邊平方可得：sin2+cos22sincos=，化為1sin2=，則sin2=故答案為：【點評】本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍角公式，屬于基礎(chǔ)題14已知拋物線x2=4y的集點為F，準線為l，P為拋物線上一點，過P作PAl于點A，當AFO=30°（O為坐標原點）時，|PF|=

22、【考點】拋物線的簡單性質(zhì)【專題】綜合題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】由拋物線x2=4y，可得焦點F（0，1），準線l的方程為：y=1由AFO=30°，可得xA=由于PAl，可得xP=，yP=，再利用|PF|=|PA|=yP+1即可得出【解答】解：由拋物線x2=4y，可得焦點F（0，1），準線l的方程為：y=1AFO=30°，xA=PAl，xP=，yP=，|PF|=|PA|=yP+1=故答案為：【點評】本題考查了拋物線的定義標準方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立，屬于中檔題15設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1=1，an+1=2Sn+3，

23、則S4=66【考點】數(shù)列遞推式【專題】轉(zhuǎn)化思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出【解答】解：an+1=2Sn+3，an=2Sn1+3（n2），可得an+1an=2an，即an+1=3an，n2，數(shù)列an從第二項起是公比為3的等比數(shù)列，a2=5，=66故答案為：66【點評】本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題16已知函數(shù)，若方程f（x）=ax+1恰有一個解時，則實數(shù)a的取值范圍【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷【專題】計算題；作圖題；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導數(shù)的概念及應(yīng)用【分析】由題意作

24、函數(shù)與y=ax+1的圖象，利用斜率公式求求直線n，l的斜率，利用導數(shù)求直線m的斜率，從而解得【解答】解：作函數(shù)與y=ax+1的圖象如下，y=ax+1恒過點（0，1），當直線y=ax+1過點（2，2）時，則，滿足方程有兩個解；當直線y=ax+1與相切時，則，滿足方程有兩個解；直線l的斜率為a=1，故所求范圍為，故答案為：【點評】本題考查了導數(shù)的幾何意義的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時考查了方程的根與函數(shù)的圖象的關(guān)系應(yīng)用三.解答題：（本大題共5小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17在ABC中，角A、B、C對應(yīng)的邊分別是a、b、c，C=，且sinB=2sinAcos（A+B）（

25、1）證明：b2=2a2；（2）若ABC的面積是1，求邊c【考點】正弦定理；余弦定理【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；解三角形【分析】（1）利用正弦定理、誘導公式即可得出（2）利用三角形面積計算公式可得：ab=2與b2=2a2聯(lián)立，解得a，b再利用余弦定理即可得出【解答】（1）證明：sinB=2sinAcos（A+B），b=2a（cosC），b=2a×，b2=2a2（2）解：S=ab=1，化為ab=2聯(lián)立，解得a=，b=2=10，解得c=【點評】本題考查了正弦定理余弦定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題18已知長方體AC1中，AD=AB=2，AA1=1，E為D1C1的

26、中點，如圖所示（）在所給圖中畫出平面ABD1與平面B1EC的交線（不必說明理由）；（）證明：BD1平面B1EC；（）求平面ABD1與平面B1EC所成銳二面角的大小【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定【專題】數(shù)形結(jié)合；向量法；空間位置關(guān)系與距離【分析】（）連接BC1交B1C于M即可得到平面ABD1與平面B1EC的交線；（）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明：BD1平面B1EC；（）方法1，根據(jù)幾何法作出二面角的平面角即可求平面ABD1與平面B1EC所成銳二面角的大小方法2，建立坐標系，求出平面的法向量，利用向量法進行求解【解答】解：（）連接BC1交B1C于M，則直線ME即為平面ABD1

27、與平面B1EC的交線，如圖所示；（）由（）因為在長方體AC1中，所以M為BC1的中點，又E為D1C1的中點所以在D1C1B中EM是中位線，所以EMBD1，又EM平面B1EC，BD1平面B1EC，所以BD1平面B1EC；（）因為在長方體AC1中，所以AD1BC1，平面ABD1即是平面ABC1D1，過平面B1EC上點B1作BC1的垂線于F，如平面圖，因為在長方體AC1中，AB平面B1BCC1，B1F平面B1BCC1，所以B1FAB，BC1AB=B，所以B1F平面ABD1于F過點F作直線EM的垂線于N，如平面圖，連接B1N，由三垂線定理可知，B1NEM由二面角的平面角定義可知，在RtB1FN中，B1

28、NF即是平面ABD1與平面B1EC所成銳二面角的平面角因長方體AC1中，AD=AB=2，AA1=1，在平面圖中，C1E=1，在平面圖中，由EMC1相似FMN1可知=，所以tanB1NF=，所以平面ABD1與平面B1EC所成銳二面角的大小為arctan2空間向量解法：（）見上述（）因為在長方體AC1中，所以DA，DC，DD1兩兩垂直，于是以DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，因為AD=AB=2，AA1=1，所以D（0，0，0），D1（0，0，1），B（2，2，0），B1（2，2，1），C（0，2，0），E（0，1，1）所以，令平面B1EC的

29、一個法向量為所以，從而有，即，不妨令x=1，得到平面B1EC的一個法向量為，而，所以，又因為BD1平面B1EC，所以BD1平面B1EC（）由（）知，令平面ABD1的一個法向量為，所以，從而有，即，不妨令x=1，得到平面ABD1的一個法向量為，因為=所以平面ABD1與平面B1EC所成銳二面角的大小為【點評】本題主要考查線面平行的判定以及二面角的求解，利用幾何法以及建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法是解決空間二面角的常用方法，綜合性較強，運算量較大19某中學根據(jù)20022014年期間學生的興趣愛好，分別創(chuàng)建了“攝影”、“棋類”、“國學”三個社團，據(jù)資料統(tǒng)計新生通過考核遠拔進入這三個社團成

30、功與否相互獨立，2015年某新生入學，假設(shè)他通過考核選拔進入該校的“攝影”、“棋類”、“國學”三個社團的概率依次為m，n，已知三個社團他都能進入的概率為，至少進入一個社團的概率為，且mn（1）求m與n的值；（2）該校根據(jù)三個社團活動安排情況，對進入“攝影”社的同學增加校本選修字分1分，對進入“棋類”社的同學增加校本選修學分2分，對進入“國學”社的同學增加校本選修學分3分求該新同學在社團方面獲得校本選修課字分分數(shù)的分布列及期望【考點】離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列【專題】應(yīng)用題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計【分析】（1）根據(jù)假設(shè)他通過考核選拔進入該校的“攝影”、“棋類”、“

31、國學”三個社團的概率依次為m，n，已知三個社團他都能進入的概率為，至少進入一個社團的概率為，且mn，建立方程組，即可求m與n的值；（2）確定學分X的可能取值，求出相應(yīng)的概率，可得X的分布列與數(shù)學期望【解答】解：（1）由題意，mnm=，n=；（2）學分X的取值分別為0，1，2，3，4，5，6，則P（X=0）=，P（X=1）=×=，P（X=2）=×=，P（X=3）=+×=，P（X=4）=×=，P（X=5）=，P（X=6）=X的分布列 X 0 1 2 3 4 56 P期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+5&

32、#215;+6×=【點評】本題考查概率的求解，考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望，確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率是關(guān)鍵20已知橢圓E的中心在坐標原點，左、右焦點F1、F2分別在x軸上，離心率為，在其上有一動點A，A到點F1距離的最小值是1，過A、F1作一個平行四邊形，頂點A、B、C、D都在橢圓E上，如圖所示（）求橢圓E的方程；（）判斷ABCD能否為菱形，并說明理由（）當ABCD的面積取到最大值時，判斷ABCD的形狀，并求出其最大值【考點】橢圓的簡單性質(zhì)【專題】數(shù)形結(jié)合；分類討論；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】（I）由題意可得：，解得c，a，b2，即可得出（II）假設(shè)A

33、BCD能為菱形，則OAOB，kOAkOB=1分類討論：當ABx軸時，把x=1代入橢圓方程，解出即可判斷出；當AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）把直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（3+4k2）x2+8k2x+4k212=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其斜率計算公式kOAkOB=1，看此方程是否有解即可判斷出（III）當ABx軸時，由（II）可得：|AD|=2，|AB|=3，此時ABCD為矩形，S矩形ABCD=6當AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）直線BA的方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（3+

34、4k2）x2+8k2x+4k212=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|AB|=，點O到直線AB的距離d=S平行四邊形ABCD=4×SOAB=，即可得出【解答】解：（I）由題意可得：，解得c=1，a=2，b2=3橢圓E的方程為=1（II）假設(shè)ABCD能為菱形，則OAOB，kOAkOB=1當ABx軸時，把x=1代入橢圓方程可得： =1，解得y=，取A，則|AD|=2，|AB|=3，此時ABCD不能為菱形當AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）聯(lián)立，化為：（3+4k2）x2+8k2x+4k212=0，x1+x2=，x1x2=kOAkOB=，假

35、設(shè)=1，化為k2=，因此平行四邊形ABCD不可能是菱形綜上可得：平行四邊形ABCD不可能是菱形（III）當ABx軸時，由（II）可得：|AD|=2，|AB|=3，此時ABCD為矩形，S矩形ABCD=6當AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）聯(lián)立，化為：（3+4k2）x2+8k2x+4k212=0，x1+x2=，x1x2=|AB|=點O到直線AB的距離d=S平行四邊形ABCD=4×SOAB=2××=則S2=36，S6因此當平行四邊形ABCD為矩形面積取得最大值6【點評】本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓

36、相交弦長問題、點到直線的距離公式、平行四邊形菱形矩形的性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題21已知函數(shù)（aR）在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點（）求a的取值范圍；（）記兩個極值點分別為x1，x2，且x1x2已知0，若不等式恒成立，求的范圍【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【專題】計算題；作圖題；數(shù)形結(jié)合；分類討論；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；導數(shù)的概念及應(yīng)用【分析】（）由導數(shù)與極值的關(guān)系知可轉(zhuǎn)化為方程f（x）=lnxax=0在（0，+）有兩個不同根；再轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=ax的圖象在（0，+）上有兩個不同交點，或轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)y=a的圖象在（0，+）

37、上有兩個不同交點；或轉(zhuǎn)化為g（x）=lnxax有兩個不同零點，從而討論求解；（）可化為1+lnx1+lnx2，結(jié)合方程的根知1+ax1+ax2=a（x1+x2），從而可得；而，從而化簡可得，從而可得恒成立；再令，t（0，1），從而可得不等式在t（0，1）上恒成立，再令，從而利用導數(shù)化恒成立問題為最值問題即可【解答】解：（）由題意知，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+），方程f（x）=0在（0，+）有兩個不同根；即方程lnxax=0在（0，+）有兩個不同根；（解法一）轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=ax的圖象在（0，+）上有兩個不同交點，如右圖可見，若令過原點且切于函數(shù)y=lnx圖象的直線斜率為k，只

38、須0ak令切點A（x0，lnx0），故，又，故，解得，x0=e，故，故（解法二）轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)y=a的圖象在（0，+）上有兩個不同交點又，即0xe時，g（x）0，xe時，g（x）0，故g（x）在（0，e）上單調(diào)增，在（e，+）上單調(diào)減故g（x）極大=g（e）=；又g（x）有且只有一個零點是1，且在x0時，g（x），在在x+時，g（x）0，故g（x）的草圖如右圖，可見，要想函數(shù)與函數(shù)y=a的圖象在（0，+）上有兩個不同交點，只須（解法三）令g（x）=lnxax，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）有兩個不同零點，而（x0），若a0，可見g（x）0在（0，+）上恒成立，所以g（x）在（0，+）單調(diào)增，此時g（

39、x）不可能有兩個不同零點若a0，在時，g（x）0，在時，g（x）0，所以g（x）在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，從而=，又因為在x0時，g（x），在在x+時，g（x），于是只須：g（x）極大0，即，所以綜上所述，（）因為等價于1+lnx1+lnx2由（）可知x1，x2分別是方程lnxax=0的兩個根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2所以原式等價于1+ax1+ax2=a（x1+x2），因為0，0x1x2，所以原式等價于又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，即所以原式等價于，因為0x1x2，原式恒成立，即恒成立令，t（0，1），則不等式在t（0，1）上恒成立令，又=，當21時，可見t（0，1）

40、時，h（t）0，所以h（t）在t（0，1）上單調(diào)增，又h（1）=0，h（t）0在t（0，1）恒成立，符合題意當21時，可見t（0，2）時，h（t）0，t（2，1）時h（t）0，所以h（t）在t（0，2）時單調(diào)增，在t（2，1）時單調(diào)減，又h（1）=0，所以h（t）在t（0，1）上不能恒小于0，不符合題意，舍去綜上所述，若不等式恒成立，只須21，又0，所以1【點評】本題考查了導數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論，轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合的思想方法的應(yīng)用，屬于中檔題請考生在22，23，24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分作答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的標號涂黑【選修4-1：幾何證明選講】22如圖所示，兩個圓相內(nèi)切于點T，公切線為TN，外圓的弦TC，TD分別交內(nèi)圓于A、B兩點，并且外圓的弦CD恰切內(nèi)圓于點M（）證明：ABCD；（）證明：ACMD=BDCM【考