反常積分的概念

1、第一節(jié) 反常積分的概念第二節(jié) 無窮積分的性質(zhì)與收斂判別第三節(jié) 瑕積分的性質(zhì)與收斂判別第十一章 反常積分第一節(jié) 反常積分的概念一、問題提出例1 （第二宇宙速度） 在地球表面垂直發(fā)射火箭，要使火箭克服地球引力無限遠(yuǎn)離地球，試問初速度至少要多大？例2 圓柱形桶的內(nèi)壁高為h，內(nèi)半徑為r，桶底有一半徑為r的小孔，試問從盛滿水開始打開小孔直至流完桶中的水，共需多少時(shí)間？定義定義 1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間), a上連續(xù)，取上連續(xù)，取ab ，如果極限，如果極限 babdxxf)(lim存在，則稱此極存在，則稱此極限為函數(shù)限為函數(shù))(xf在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間), a上的廣義積上的廣義積分，記作分

2、，記作 adxxf)(. . adxxf)( babdxxf)(lim當(dāng)極限存在時(shí)，稱廣義積分收斂；當(dāng)極限不存在當(dāng)極限存在時(shí)，稱廣義積分收斂；當(dāng)極限不存在時(shí)，稱廣義積分發(fā)散時(shí)，稱廣義積分發(fā)散. .二、兩類反常積分的定義類似地，設(shè)函數(shù)類似地，設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,(b上連續(xù)，取上連續(xù)，取ba ，如果極限，如果極限 baadxxf)(lim存在，則稱此極存在，則稱此極限為函數(shù)限為函數(shù))(xf在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間,(b上的廣義積上的廣義積分，記作分，記作 bdxxf)(. . bdxxf)( baadxxf)(lim當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在

3、在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),(上連續(xù)上連續(xù), ,如果如果廣義積分廣義積分 0)(dxxf和和 0)(dxxf都收斂，則都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)稱上述兩廣義積分之和為函數(shù))(xf在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間),(上的廣義積分，記作上的廣義積分，記作 dxxf)(. . dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim極限存在稱廣義積分收斂；否則稱廣義積分發(fā)散極限存在稱廣義積分收斂；否則稱廣義積分發(fā)散. .例例1 1 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021x

4、dx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 例例2 2 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 例例 3 3 證證明明廣廣義義積積分分 11dxxp當(dāng)當(dāng)1 p時(shí)時(shí)收收斂斂，當(dāng)當(dāng)1 p時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散.證證, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp因

5、此當(dāng)因此當(dāng)1 p時(shí)廣義積分收斂，其值為時(shí)廣義積分收斂，其值為11 p；當(dāng)當(dāng)1 p時(shí)廣義積分發(fā)散時(shí)廣義積分發(fā)散.定義定義 2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,(ba上連續(xù)，而在上連續(xù)，而在點(diǎn)點(diǎn)a的右鄰域內(nèi)無界取的右鄰域內(nèi)無界取0 ，如果極限，如果極限 badxxf )(lim0存在，則稱此極限為函數(shù)存在，則稱此極限為函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,(ba上的廣義積分，記作上的廣義積分，記作 badxxf)(. . badxxf)( badxxf )(lim0當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .類似地，設(shè)函數(shù)類似地

6、，設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),ba上連續(xù)，上連續(xù)，而在點(diǎn)而在點(diǎn)b的左鄰域內(nèi)無界的左鄰域內(nèi)無界. .取取0 ，如果極限，如果極限 badxxf)(lim0存在，則稱此極限為函數(shù)存在，則稱此極限為函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),ba上的廣義積分，上的廣義積分，記作記作 badxxf)( badxxf)(lim0. .當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上除除點(diǎn)點(diǎn))(bcac 外外連連續(xù)續(xù)，而而在在點(diǎn)點(diǎn)c的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)無無界界. .如如果果兩兩個(gè)個(gè)廣廣義義積積分分 cadxxf

7、)(和和 bcdxxf)(都都收收斂斂，則則定定義義 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0否否則則，就就稱稱廣廣義義積積分分 badxxf)(發(fā)發(fā)散散. .定義中定義中c為為瑕點(diǎn)瑕點(diǎn)，以上積分稱為，以上積分稱為瑕積分瑕積分.例例 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分解解).0(022 axadxa,1lim220 xaaxax 為為被被積積函函數(shù)數(shù)的的無無窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn). axadx022 axadx0220lim aax00arcsinlim 0arcsinlim0aa .2 證證, 1)1( q 101dxx 10ln x , ,

8、 1)2( q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq因此當(dāng)因此當(dāng)1 q時(shí)廣義積分收斂，其值為時(shí)廣義積分收斂，其值為q 11；當(dāng)當(dāng)1 q時(shí)廣義積分發(fā)散時(shí)廣義積分發(fā)散. 101dxxq 例例 證明廣義積分證明廣義積分 101dxxq當(dāng)當(dāng)1 q時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)1 q時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散.例例 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分解解.ln21 xxdx 21ln xxdx 210lnlim xxdx 210ln)(lnlim xxd 210)ln(lnlim x )1ln(ln()2ln(lnlim0 . 故原廣義積分發(fā)散故原廣義積分發(fā)散.例例 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分解解.)1(3032 xdx1

9、x瑕點(diǎn)瑕點(diǎn) 3032)1(xdx 103132)1()(xdx 1032)1(xdx 10032)1(limxdx3 3132)1(xdx 31032)1(lim xdx, 233 3032)1(xdx).21(33 無界函數(shù)的廣義積分（瑕積分）無界函數(shù)的廣義積分（瑕積分）無窮限的廣義積分無窮限的廣義積分 dxxf)( bdxxf)( adxxf)( cabcbadxxfdxxfdxxf)()()(（注意：不能忽略內(nèi)部的瑕點(diǎn)）（注意：不能忽略內(nèi)部的瑕點(diǎn)） badxxf)(三、小結(jié)第二節(jié)無窮積分的性質(zhì)與收斂判別一、無窮積分的性質(zhì)定理11.1 （柯西準(zhǔn)則）無窮積分 adxxf)(收斂的充要條件是：

10、任給, 0ag只要,21guu便有2121)()()(uuuauadxxfdxxfdxxf性質(zhì)1 若adxxf)(1adxxf)(2與都收斂，21,kk為任意常數(shù)，則adxxfkxfk)()(2211也收斂，且adxxfkxfk)()(2211adxxfk)(11adxxfk)(22性質(zhì)2 若f在任何有限區(qū)間,ua上可積，, ba 則adxxf)(與bdxxf)(同斂態(tài)，且有adxxf)(bdxxf)(badxxf)(性質(zhì)3 若f在任何有限區(qū)間,ua上可積，且有adxxf| )(|收斂，則adxxf)(亦收斂，并有adxxf| )(|adxxf|)(|定義：當(dāng)adxxf| )(|收斂時(shí)，稱ad

11、xxf)(為絕對(duì)收斂，稱收斂而不絕對(duì)收斂為條件收斂。注：絕對(duì)收斂的無窮積分，它本身也一定收斂。但逆命題一般不成立。二、比較判別法 不通過被積函數(shù)的原函數(shù)判定廣義積分收不通過被積函數(shù)的原函數(shù)判定廣義積分收斂性的判定方法斂性的判定方法.由定理，對(duì)于非負(fù)函數(shù)的無窮限的廣義積分由定理，對(duì)于非負(fù)函數(shù)的無窮限的廣義積分有以下比較收斂原理有以下比較收斂原理收斂收斂上有界，則廣義積分上有界，則廣義積分在在若函數(shù)若函數(shù)且且上連續(xù)，上連續(xù)，在區(qū)間在區(qū)間定理定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) axadxxfadttfxfxfaxf)(),)()(0)(),)(證證.)()()()()()(0 ababaadxxgdxxgdxxfd

12、xxgxgxfba收斂，得收斂，得及及，由，由設(shè)設(shè)上有上界上有上界在在即即),)()( adxxfbfba也發(fā)散也發(fā)散發(fā)散，則發(fā)散，則且且并并也收斂；如果也收斂；如果收斂，則收斂，則并且并且上連續(xù)，如果上連續(xù)，如果區(qū)間區(qū)間在在、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ( (比較法則比較法則) )定理定理 aaaadxxfdxxgxaxfxgdxxfdxxgxaxgxfaxgxf)()(),()()(0)()(),()()(0),)()(11.2由定理知由定理知收斂收斂 adxxf)(.)(,)(),()(0必定發(fā)散必定發(fā)散則則發(fā)散發(fā)散且且如果如果 aadxxfdxxgxfxg也收，這與假設(shè)矛盾也收，這與假設(shè)矛盾收斂，由

13、第一部分知收斂，由第一部分知如果如果 aadxxgdxxf)()(例如，例如， 時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散當(dāng)當(dāng)時(shí)收斂；時(shí)收斂；當(dāng)當(dāng)廣義積分廣義積分11)0(ppaxdxap例例.1134的收斂性的收斂性判別廣義積分判別廣義積分 xdx解解,111103/43434xxx , 134 p根據(jù)比較審斂法，根據(jù)比較審斂法，.1134收斂收斂廣義積分廣義積分 xdx推論1 若f與g都在任何,ua上可積，, 0)(xg且,)(| )(|limcxgxfx則有：（1）當(dāng) c0時(shí)，adxxf| )(|與adxxg)(同斂態(tài)；（2）當(dāng)0c時(shí)，由adxxf| )(|adxxg)(收斂可推知也收斂；（3）當(dāng)c時(shí)，由adxxg)

14、(發(fā)散可推知adxxf| )(|也發(fā)散。推論2 設(shè)f定義于),a且在任何有限區(qū)間,ua上可積，則有：（1）當(dāng)),1| )(|axxxfp且1p時(shí)adxxf| )(|收斂；（2）當(dāng)1p),1| )(|axxxfp且時(shí)adxxf| )(|發(fā)散。推論3 設(shè)f定義于),a且在任何有限區(qū)間,ua上可積，且| )(|limxfxpx則有：（1）當(dāng)0 , 1p時(shí)，adxxf| )(|收斂；（2）當(dāng)0 , 1p時(shí)，adxxf| )(|發(fā)散。例例.112的收斂性的收斂性判別廣義積分判別廣義積分 xxdx解解, 111lim22 xxxx所給廣義積分收斂所給廣義積分收斂例例.1122/3的收斂性的收斂性判別廣義積

15、分判別廣義積分dxxx 解解2222/31lim1limxxxxxxxx , 故所給廣義積分發(fā)散故所給廣義積分發(fā)散例例.arctan1的收斂性的收斂性判別廣義積分判別廣義積分dxxx 解解xxxxxxarctanlimarctanlim ,2 故所給廣義積分發(fā)散故所給廣義積分發(fā)散三、狄利克雷判別法與阿貝爾判別法定理11.3 （狄利克雷判別法）若uadxxfuf)()(在),a上有界，)(xg在), a上當(dāng)x時(shí)單調(diào)趨于0，則adxxgxf)()(收斂。定理11.4（阿貝爾判別法）若adxxf)(收斂，)(xg在),a上單調(diào)有界，則adxxgxf)()(收斂。例5 討論) 0(sin1pdxxxp

16、的收斂性。解：（1）當(dāng)1p時(shí)1sindxxxp絕對(duì)收斂。這是因?yàn)椋?, 1 ,1|sin|xxxxpp而11dxxp當(dāng)1p時(shí)收斂，故有比較法則推知1|sin|dxxxp收斂。（2）當(dāng)10 p時(shí)1sindxxxp條件收斂。這是因?yàn)閷?duì)任意1u，有uuxdx12|cos1cos|sin|而px1當(dāng)0p時(shí)單調(diào)趨于0，故由狄利克雷判別法推知1sindxxxp當(dāng)0p時(shí)總是收斂的。另一方面，由于), 1 ,22cos21sin|sin|2xxxxxxxxp其中12cos2122cosdtttdxxx滿足狄利克雷判別法故122cosdxxx收斂，而12xdx是發(fā)散的，因此當(dāng)10 p時(shí)該無窮積分不是絕對(duì)收斂的，

17、所以它是條件收斂的。例6 證明下列無窮積分都是條件收斂的：12sindxx12cos,dxx14sin,dxxx證明：分別換元2xt 結(jié)合例5即證。第三節(jié)瑕積分的性質(zhì)與收斂判別一、無窮積分的性質(zhì)定理11.5 （柯西準(zhǔn)則）無窮積分 badxxf)(收斂的充要條件是：任給, 0, 0只要),(,21aauu便有2112)()()(uububudxxfdxxfdxxfadxxfkxfk)()(2211adxxfk)(11adxxfk)(22性質(zhì)2 若f的瑕點(diǎn)為),(,bacax為任一常數(shù)。則badxxf)(與cadxxf)(同斂態(tài)，且有badxxf)(bcdxxf)(cadxxf)(性質(zhì)1 設(shè)函數(shù)b

18、adxxf)(1badxxf)(2與都收斂21,kk為常數(shù)，則當(dāng)瑕積分badxxfkxfk)()(2211也收斂，并有：1f2f的瑕點(diǎn)同為, ax 與時(shí),瑕積分性質(zhì)3 若f,(ba上可積，則當(dāng)badxxf| )(|收斂時(shí)，badxxf)(亦收斂，并有badxxf| )(|badxxf|)(|定義：當(dāng)收斂時(shí)，稱為絕對(duì)收斂，稱收斂而不絕對(duì)收斂為條件收斂。注：絕對(duì)收斂的無窮積分，它本身也一定收斂。但逆命題一般不成立。的瑕點(diǎn)為fax,在的任一內(nèi)閉區(qū)間,buadxxf| )(|badxxf)(二、比較判別法定理11.6 （比較法則）設(shè)定義在,(ba上的兩個(gè)函數(shù)f與g，瑕點(diǎn)同為, ax 在任何,bu,(ba上都可積，且滿足：,(),(| )(|baxxgxf則當(dāng)badxxg)(收斂時(shí)，badxxf| )(|必定收斂。當(dāng)badxxg)(發(fā)散時(shí)，badxxf| )(|必定發(fā)散。推論1 若, 0)(xg且,)(| )(|limcxgxfax則有：（1）當(dāng) c0時(shí)，與同斂態(tài)；（2）當(dāng)0c時(shí)，由收斂可推知也收斂；（3）當(dāng)c時(shí)，由發(fā)散可推知也發(fā)散。badxxf| )(|badxxg)(badxxg)(badxxf| )(|badxxf| )