固體力學(xué)概論綜合基礎(chǔ)課件

1、 第一章 前言 第二章 基本假設(shè) 第三章 本構(gòu)關(guān)系（物理方程） 第四章 基本方程 第五章 能量原理（包括變分原理） 第六章 固體力學(xué)中的數(shù)值方法第一章第一章 前言前言固體力學(xué)的定義固體力學(xué)的基本假設(shè)與主要研究?jī)?nèi)容學(xué)科分支研究對(duì)象與任務(wù)發(fā)展史參考資料1. 固體力學(xué)的定義 研究可變形固體可變形固體在外界因素(載荷、溫度、濕度)作用下其內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)的的學(xué)科. 主要參書:力學(xué)詞典大百科全書 （1）固體力學(xué)與理論力學(xué)之區(qū)別：理論力學(xué)研究對(duì)象是質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系與剛體剛體。固體力學(xué)研究可形變體形變體。 （2）固體與流體的區(qū)別：流體流體是氣體和流體的總稱，具有易流性，不能承受剪應(yīng)力，在無(wú)論多小的剪力作用下都會(huì)發(fā)生變形

2、。水和空氣是常見的兩種流體。2. 固體力學(xué)的內(nèi)容:研究彈性彈性問(wèn)題、塑性、塑性問(wèn)題、彈塑性、彈塑性問(wèn)題以及流變流變問(wèn)題;又分線線性性問(wèn)題、非線性非線性問(wèn)題; 主要研究宏觀宏觀問(wèn)題、也有微觀微觀問(wèn)題和細(xì)細(xì)觀觀問(wèn)題(或稱介觀問(wèn)題mesomechanics ); 研究的對(duì)象主要是均勻介質(zhì),也研究非均勻介質(zhì)(如復(fù)合材料和裂紋體)，各向同性與各向異性介質(zhì); 此外研究各種可變形體的偶合問(wèn)題:例如熱(濕)彈性問(wèn)題、熱(濕)塑性問(wèn)題、熱(濕)彈塑性問(wèn)題、以及形體的機(jī)機(jī)磁電磁電偶合性能(壓電與壓磁性能)；現(xiàn)在電電-磁彈性力磁彈性力學(xué)學(xué)正快速發(fā)展.3. 學(xué)科分支材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)、塑性力學(xué)、流變學(xué)，材料

3、力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)、塑性力學(xué)、流變學(xué)，斷裂力學(xué)(損傷力學(xué))、復(fù)合材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性、振動(dòng)理論、粘彈(塑)性力學(xué)、沖擊力學(xué)、固體應(yīng)力波問(wèn)題、結(jié)構(gòu)(彈塑性)動(dòng)力學(xué); 以及許多交叉學(xué)科許多交叉學(xué)科: 氣動(dòng)彈性理論，生物固體力學(xué)、巖土力學(xué)、有限元(有限條、有限層、邊界元、離散元、無(wú)網(wǎng)格法等);斷裂力學(xué)(損傷力學(xué))、復(fù)合材料力學(xué)、電-磁彈性力學(xué)，微尺度力學(xué)是發(fā)展中的新興學(xué)科新興學(xué)科。4. 研究對(duì)象研究各種工程結(jié)構(gòu)：常見的如下結(jié)構(gòu)元件（構(gòu)件）: （1）桿、桿系、梁、柱，桿、桿系、梁、柱，（長(zhǎng)寬和高）（長(zhǎng)寬和高）（2）板板(中厚板中厚板)、殼，、殼，（厚長(zhǎng)與寬）（厚長(zhǎng)與寬）（3）三維體三維體(空間結(jié)

4、構(gòu)如桁架與剛架空間結(jié)構(gòu)如桁架與剛架)，（4）薄壁結(jié)構(gòu)（薄壁結(jié)構(gòu)（飛機(jī)機(jī)翼與機(jī)身等），飛機(jī)機(jī)翼與機(jī)身等），（5）以及它們的復(fù)合體復(fù)合體.5 研究方法（截面法截面法） 截面法是處理固體力學(xué)問(wèn)題的最基本的方法：截面法是處理固體力學(xué)問(wèn)題的最基本的方法： 通過(guò)外力（作用力與約束力）與內(nèi)力（應(yīng)力）平衡求構(gòu)件的響應(yīng)（內(nèi)力）， 通過(guò)本構(gòu)關(guān)系求變形（位移與應(yīng)變）， 最重要的是材料力學(xué)中的平截面法平截面法，其中尤以梁的平截面假設(shè)最為重要。 截面法截面法 截面法截面法:固體力學(xué)問(wèn)題的普適方法,步驟為： （1）取出構(gòu)件,畫出所有外力(包括約束反力); （2）用平面切開,并畫出內(nèi)力(廣義力), 若是動(dòng)平衡需用達(dá)朗貝爾原

5、理,化慣性力為作用力；外力與內(nèi)力平衡來(lái)求解內(nèi)應(yīng)力;（3）解出內(nèi)力；算應(yīng)力; （4）利用物理方程求變形; （ 5） 根據(jù)應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則或變形準(zhǔn)則進(jìn)行強(qiáng)度校核; （6）進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì). 外力外力內(nèi)力內(nèi)力內(nèi)力6. 任務(wù)固體力學(xué)的發(fā)展主要?jiǎng)恿κ巧鐣?huì)實(shí)踐固體力學(xué)的發(fā)展主要?jiǎng)恿κ巧鐣?huì)實(shí)踐： 任務(wù)是研究工程結(jié)構(gòu)在服役條件下的安全性安全性、可靠可靠性性; 就是強(qiáng)度強(qiáng)度問(wèn)題(應(yīng)力值不超過(guò)許用值) 、剛度剛度問(wèn)題(變形不太大)、穩(wěn)定性穩(wěn)定性問(wèn)題、振動(dòng)振動(dòng)問(wèn)題. 工程結(jié)構(gòu)包括: 飛機(jī)、火箭、船舶、車輛、橋梁、房屋、水壩、反應(yīng)堆、坦克等等.7. 發(fā)展史固體力學(xué)是一門古老的學(xué)科,可追溯到17世紀(jì)伽利略calileo(156

6、41642)關(guān)于梁與水壩的工作,提出速度、加速度的概念.后來(lái)庫(kù)侖(c. a. coulomb), 泊松(r. poisson), 納維(c-l-m-h. navier), 圣文南(b. de saint-venant ) 哥西(a. l. couchy), 虎克(hooke)（胡克定律）等人作出很大貢獻(xiàn). 伯努利(16541705)平截面假設(shè), 歐勒(l. euler)(17071783)壓桿穩(wěn)定的歐勒載荷; 鐵木生柯(timoshenko)專著”strength of materials”, “theory of elasticity”、“theory of elastic stabilit

7、y” 、“theory of plates and shells”與符拉索夫(薄壁桿件). 中國(guó)東漢(127200)鄭玄提出線性彈性關(guān)系; 宋代李誡營(yíng)造法式；隋代李春（581618）趙州橋。8. 參考資料力學(xué)詞典力學(xué)詞典，中國(guó)大百科全書出版社，中國(guó)大百科全書出版社，1990。中國(guó)大百科全書中國(guó)大百科全書，力學(xué)卷，力學(xué)卷，1985，8。 encyclopedia of science and technology, mcgraw-hill, 1982 e. p. popov, introduction to mechanics of solids, prentice hall, inc, 196

8、8 y. c. fung, foundation of solid mechanics, prentice hall, inc, 1965 中國(guó)自然科學(xué)基金，學(xué)科分類目錄及學(xué)科代碼，1994 (從這里可看出現(xiàn)代固體力學(xué)的發(fā)展方向以及新的學(xué)科分類）。9. 專有名詞的翻譯1.材料力學(xué)材料力學(xué)：strength of materials, mechanics of materials2.彈性力學(xué)彈性力學(xué)： theory of elasticity, elasticity, (elastic mechanics 錯(cuò)誤錯(cuò)誤);3.塑性力學(xué)塑性力學(xué)：theory of plasticity, plasti

9、city, (plastic mechanics 錯(cuò)誤錯(cuò)誤);4.介觀力學(xué)：mesomechanics； 細(xì)觀力學(xué)，可是，在專著micromechanics of defects in solids , t mura，“micromechanics” 可翻譯為細(xì)觀力學(xué)細(xì)觀力學(xué),不翻成微觀力學(xué)微觀力學(xué)。5. 宏（微）觀力學(xué)；macromechanics, micromechanics 這里，英語(yǔ)書籍里“micromechanics”包含介觀尺度問(wèn)題。6. 經(jīng)典力學(xué)經(jīng)典力學(xué)：classic mechanics, （牛頓力學(xué)）7 理論力學(xué)理論力學(xué)：theoretical mechanics.第二章第

10、二章. 基本假設(shè)：基本假設(shè)：基本假設(shè)： 1.連續(xù)性假設(shè)連續(xù)性假設(shè)斷裂問(wèn)題與界面問(wèn)題；2. 均勻性假設(shè)均勻性假設(shè)復(fù)合材料。3. 小變形假設(shè)小變形假設(shè)大變形（幾何非線性問(wèn)題），4.線彈性假設(shè)線彈性假設(shè)物理與幾何非線性，5. 各向同性假設(shè)各向同性假設(shè)各向異性，6. 平截面假設(shè)平截面假設(shè)(對(duì)直桿拉伸、壓縮與梁彎曲等都適用,尤以梁彎曲的平截面假設(shè)意義最重要）。材料力學(xué)中關(guān)于平截面法的應(yīng)用材料力學(xué)中關(guān)于平截面法的應(yīng)用 以下研究對(duì)象都可用平截面法平截面法處理： 拉伸：桿或棒 （拉伸強(qiáng)度問(wèn)題） 壓： 壓桿，柱（彈性穩(wěn)定性問(wèn)題） 彎曲：梁 （彎曲撓度與應(yīng)力） 扭，扭轉(zhuǎn)：軸 （剪切變形與強(qiáng)度） 壓彎聯(lián)合作用：梁柱

11、（彎曲與穩(wěn)定性）； 1 平截面假設(shè)平截面假設(shè)(在板殼力學(xué)中又稱直法線假設(shè)在板殼力學(xué)中又稱直法線假設(shè))平截面假設(shè)：平截面假設(shè)：初始與梁的中性軸垂直的平面,在變形后仍垂直于軸線, 并且在垂直軸線方向上無(wú)變形； 下面以梁為例,此假設(shè)大大簡(jiǎn)化了問(wèn)題. 無(wú)窮自由度問(wèn)題簡(jiǎn)化為一個(gè)自由度問(wèn)題,只有一個(gè)撓度函數(shù)是要求的.這樣，用彈性力學(xué)理論,有15個(gè)基本方程,15個(gè)基本未知量.根據(jù)平截面假設(shè)平截面假設(shè)大大簡(jiǎn)化：梁的撓度為 ， 梁的基本方程（控制方程）為：22dxwdeimmax 122dxwdmax)(xwxp 梁的基本方程梁的基本方程 根據(jù)平截面平截面（直法線）假設(shè)導(dǎo)出梁的撓度方程：22dxwdeimmax

12、 122dxwd2max6bhm)4(222ayhiqbhq23maxmax板殼力學(xué)中的直法線假設(shè)板殼力學(xué)中的直法線假設(shè) 初始與板中性面(中面)垂直的(線段）法線,在變形后仍垂直中面； 垂直于中面的正應(yīng)力遠(yuǎn)小于平行于中面的應(yīng)力分量（無(wú)法向應(yīng)變）； 在發(fā)生彎曲變形時(shí)，板的中面無(wú)拉伸變形。為基爾霍夫假定（克?；舴蚣俣ǎ?1(12),()2(234422444etdyxpywyxwxwd平截面假設(shè)的近似性平截面假設(shè)的近似性由懸臂梁?jiǎn)栴}可知,截面上最大剪應(yīng)力在中面上,可見最大剪應(yīng)變?cè)谥忻嫔?所以剪切轉(zhuǎn)角在中面上有最大值;而在梁的上下表面剪應(yīng)力(剪應(yīng)變）為零.結(jié)論很明顯,橫截面不再是平的（發(fā)生翹曲）.

13、當(dāng)梁的高長(zhǎng)比 時(shí)，平截面平截面假定不再成立，應(yīng)該考慮橫向剪切。稱為timoshenko梁理論，獨(dú)立未知變量增加一個(gè)，截面轉(zhuǎn)角。但是,當(dāng)梁長(zhǎng)/高比很大時(shí),平截面平截面所得結(jié)果符合工程要求。timoshenko梁彎曲（非純彎）時(shí)，須考慮剪切效應(yīng)，此時(shí)橫截面仍是平面，但不再垂直梁中面，與中面有一夾角 。基本未知量變?yōu)閮蓚€(gè)：7/1/ lh,w梁的橫向剪切問(wèn)題梁的橫向剪切問(wèn)題 剪切剪切問(wèn)題基本方程:應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：僅考慮剪切效應(yīng)：變形前mn和 pq是直線并且平行，變形后二條線不再是直線，產(chǎn)生彎曲，就是產(chǎn)生截面翹曲；工程上近似(平均意義)為:ggaqsnqqnmppm1111, 三點(diǎn)彎曲梁三點(diǎn)彎曲梁三點(diǎn)彎

14、曲梁三點(diǎn)彎曲梁第二項(xiàng)是剪切產(chǎn)生的撓度，第二項(xiàng)是剪切產(chǎn)生的撓度， 是截面系數(shù)，對(duì)于矩形截面，是截面系數(shù)，對(duì)于矩形截面，gapleiplw4483maxs2/3sagpleiplw4483max 梁的橫向剪切角梁的橫向剪切角梁的橫向剪切角如下圖所示： 剪切系數(shù) 對(duì)于矩形等3/2對(duì)于圓形截面等于4/3。xzmeanszxzxzg0)(,agpdxdwsxpzs 關(guān)于截面形狀系數(shù)的討論關(guān)于截面形狀系數(shù)的討論剪切截面系數(shù)（又稱截面形狀系數(shù)）有如下幾種數(shù)值：剪切截面系數(shù)（又稱截面形狀系數(shù)）有如下幾種數(shù)值： 相當(dāng)于用中性軸處的最大剪切應(yīng)變代表梁軸由于橫向剪切產(chǎn)生的傾角，是很粗燥的，它比平均剪應(yīng)變大50%。用

15、能量原理（單位載荷法）推導(dǎo)了較精確的近似值， 彈性力學(xué)的精確公式為： 當(dāng)泊松比 時(shí)，彈性力學(xué)精確解比簡(jiǎn)單平均法所得結(jié)果大18%。meanmeansmeanszxzmaxmax0)(23s2 . 156s)1(101112s3 . 018.1s2 彈性桿的拉伸彈性桿的拉伸 單向拉伸(或壓縮):假設(shè)在拉伸變形時(shí)桿的截面保持平面，并且拉伸變形均勻；這個(gè)假定被試驗(yàn)證明，非常接近真實(shí)；注意：桿受壓縮有穩(wěn)定性問(wèn)題。 基本方程: 拉伸彈性剛度系數(shù)為:apeapl,laepkpl3 等截面桿扭轉(zhuǎn)等截面桿扭轉(zhuǎn)以圓截面桿為例:圓截面桿在扭矩作用下各個(gè)截面保持平面并且變形均勻； 基本方程: 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系: 扭轉(zhuǎn)剛度

16、系數(shù)為: gjtl g llgjk t第三章第三章 本構(gòu)方程本構(gòu)方程 1 線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（線彈性） 胡克定律：?jiǎn)蜗蚶?，如彈簧?廣義胡克定律：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài) 2 非線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系：塑性材料 3 現(xiàn)代塑性本構(gòu)關(guān)系：含“內(nèi)變量”并與熱相關(guān) 4 粘彈性本構(gòu)關(guān)系（流變學(xué)）：材料機(jī)械性能與時(shí)間相關(guān)單軸拉伸試驗(yàn)曲線單軸拉伸試驗(yàn)曲線（同樣可作扭轉(zhuǎn)與剪切試驗(yàn)）應(yīng)力張量和應(yīng)變張量應(yīng)力張量和應(yīng)變張量應(yīng)力張量：應(yīng)力張量：任意質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)力有6個(gè)獨(dú)立分量，形成二階張量應(yīng)變張量：應(yīng)變張量：任意質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)變有6個(gè)獨(dú)立分量，形成二階張量jiijij,333231232221131211jiijij,3332312322211

17、31211 彈性本構(gòu)關(guān)系：線彈性應(yīng)力彈性本構(gòu)關(guān)系：線彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變關(guān)系胡克定律：胡克定律：線彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，比例常數(shù)為彈性常數(shù)（楊氏模量）廣義胡克定律 可改寫為 其中 36個(gè)常數(shù)中只有21個(gè)獨(dú)立。這是指最一般的各向異性材料，對(duì)于各類特殊情況，獨(dú)立材料常數(shù)不同。klijklijc 3,2,1,ji， ijklc mnc 6.1,nme 2 三維各向同性材料物理方程：三維各向同性材料物理方程： 以應(yīng)變表示應(yīng)力以應(yīng)變表示應(yīng)力： 是體積應(yīng)變。 以應(yīng)力表示應(yīng)變以應(yīng)力表示應(yīng)變： ijijij 2， ii332211ijijijee031310i 球應(yīng)力張量。0ijijs應(yīng)力偏量。

18、 拉梅常數(shù)拉梅常數(shù) 拉梅常數(shù) 分別是彈性模量，泊松比與剪切模量。)21)(1 (e)1(2e， ,e3 非各向同性非各向同性 單斜體單斜體 材料有一個(gè)對(duì)稱面， 只有13個(gè)獨(dú)立常數(shù)； 正交異性體正交異性體 有2個(gè)相互垂直的對(duì)稱面， 9個(gè)獨(dú)立常數(shù)； 橫觀各向同性體橫觀各向同性體 垂直某一方向的各個(gè)平面都是各向同性面；只有5個(gè)獨(dú)立常數(shù)； 各向同性體各向同性體 兩個(gè)常數(shù)， ；或者 ； 或者 后者又稱拉梅系數(shù)。 平面正交異性體平面正交異性體 例如單向纖維復(fù)合材料薄板， 4個(gè)獨(dú)立常數(shù) ,e k, 塑性力學(xué)塑性力學(xué)基本實(shí)驗(yàn)基本實(shí)驗(yàn) 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系非線性塑性應(yīng)變非恢復(fù)性，有殘余應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變非一一對(duì)應(yīng)，與加載歷

19、史有關(guān)塑性變形功產(chǎn)生熱；本構(gòu)關(guān)系相當(dāng)復(fù)雜。塑性應(yīng)力塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系非線性的簡(jiǎn)化應(yīng)變關(guān)系非線性的簡(jiǎn)化 理想彈塑性； 彈性線性硬化模型； 理想剛塑性；剛性線性硬化模型； 密律硬化模型nyy)(n=0n=1n=0.3y0%2 . 02 . 0y2312213322212)()()(y1.屈服準(zhǔn)則：屈服準(zhǔn)則：?jiǎn)蜗蚶靻蜗蚶欤?殘余應(yīng)變大于 的應(yīng)力為 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)特雷斯卡（tresca）條件：在 平面上是正六邊形。米賽斯（misses）條件：在 平面上是圓。應(yīng)力強(qiáng)度應(yīng)力強(qiáng)度應(yīng)力強(qiáng)度應(yīng)力強(qiáng)度（又稱等效應(yīng)力）（又稱等效應(yīng)力）：已知應(yīng)力不變量的第二步變量為： ijijssj212)()()(21

20、1332332222211612j2/20232fwj 是八面體剪應(yīng)力 0 形狀改變應(yīng)變能。 fw應(yīng)力強(qiáng)度應(yīng)力強(qiáng)度為：2132322210)()()(2123t應(yīng)變強(qiáng)度應(yīng)變強(qiáng)度 用主應(yīng)變表示用主應(yīng)變表示： 應(yīng)變強(qiáng)度又稱有效應(yīng)變。有效應(yīng)變。 羅德參數(shù)：羅德參數(shù)： 應(yīng)力的羅德參數(shù)：應(yīng)力的羅德參數(shù)： 應(yīng)變羅德參數(shù)：應(yīng)變羅德參數(shù)：213232221)()()(321)(231321)(231323. 塑性全量理論塑性全量理論塑性形變（或塑性變形）理論塑性形變（或塑性變形）理論 在簡(jiǎn)單加載（比例加載）簡(jiǎn)單加載（比例加載）條件下，對(duì)塑性變形的簡(jiǎn)化; 應(yīng)力強(qiáng)度與應(yīng)變強(qiáng)度一一對(duì)應(yīng)，若無(wú)卸載，與非線性彈性相同。

21、 hencky relation: 對(duì)于比例加載，塑性形變理論與流動(dòng)理論結(jié)果相同。ijijijsijejeegs323222ijijijsk 塑性增量理論塑性增量理論流動(dòng)理論流動(dòng)理論 流動(dòng)理論（又稱增量理論）：流動(dòng)理論（又稱增量理論）： 當(dāng)彈性應(yīng)變比塑性應(yīng)變很小時(shí)， 加載比與塑性功成比例。 ijijeijpijijsdgdsdedede2 ijpijsdde d 流變學(xué)（粘彈性力學(xué)）流變學(xué)（粘彈性力學(xué)）定義定義：研究材料在外載、溫度、濕度等環(huán)境條件下與時(shí)間有關(guān)的變形變形和流動(dòng)流動(dòng)行為的規(guī)律的力學(xué)分支；粘彈性介質(zhì)具有固體與流體的雙重性質(zhì)。研究?jī)?nèi)容：蠕變?nèi)渥儯翰牧显诤銘?yīng)力作用下變形隨時(shí)間增大的過(guò)程

22、稱為蠕變，是由分子或原子重新排列引起的。蠕變過(guò)程中材料的柔度（模量的倒數(shù)）逐漸增大。以應(yīng)力為輸入量而求應(yīng)變響應(yīng)者為蠕變。蠕變。松弛松弛：材料在固定變形下應(yīng)力隨時(shí)間減小的過(guò)程稱為松弛。材料的模量（松弛模量）逐漸減小。 以應(yīng)變?yōu)檩斎肓慷髴?yīng)力響應(yīng)者為松弛。松弛。1 流變體的幾種理想介質(zhì)：流變體的幾種理想介質(zhì)：（1）虎克固體：（2）粘性元件（粘壺）, 又稱牛頓流體或阻尼器： 或 是粘性系數(shù)，單位是應(yīng)力乘時(shí)間。（3）理想塑性體（圣文南體）：當(dāng) pf 時(shí) 當(dāng)pf時(shí)，u 位移取決于其它條件。 /2xyxyxydtdxyxyxy 0u2 馬克斯威爾體馬克斯威爾體彈簧與粘壺串聯(lián)，控制方程： 特性：若應(yīng)力是階躍

23、函數(shù)應(yīng)變?cè)?t=0 時(shí)，應(yīng)變發(fā)生突變；當(dāng) 時(shí)， 表現(xiàn)為流動(dòng)性質(zhì)。若應(yīng)變保持常數(shù)，應(yīng)力趨于零， 為松弛時(shí)間。 e)(0th， tep/1 3 開爾文體開爾文體（kelvin）或voigt solid: 將粘壺與彈簧并聯(lián)；控制方程： 性能：施加 應(yīng)變輸出： 當(dāng) 時(shí)， 其中， 是漸近彈性模量。突出缺點(diǎn)： 當(dāng) 時(shí)， e )(0th)1()(/0teett e0 0e0t0e。e 4 標(biāo)準(zhǔn)固體（標(biāo)準(zhǔn)固體（standard solid）:將彈簧與開爾文體串聯(lián)，構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)線性固體， 由于當(dāng) 時(shí)， 所以，它最終具有固體性質(zhì)。（7）四元件模型四元件模型（四參量模型）：將開爾文體與馬克斯威爾體串聯(lián)，構(gòu)成四參量模型。

24、最終具有流體特性。（8）廣義馬克斯威爾體廣義馬克斯威爾體, 將多個(gè)馬克斯威爾體并聯(lián)構(gòu)成，最終具有流體特性。（9）廣義固體模型廣義固體模型：將開爾文體串聯(lián)構(gòu)成，最終具有固體特性。 t ee5 微分型本構(gòu)關(guān)系微分型本構(gòu)關(guān)系 更普遍的線性粘彈性模型： 以標(biāo)準(zhǔn)固體以標(biāo)準(zhǔn)固體（standard solid）模型為例:將彈簧與開爾文體串聯(lián)，構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)線性固體，本構(gòu)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：101qqpqp， mnkkkkkkdtdqqdtdpp00mkdtdpp0nkkdtdqq0 6 三維本構(gòu)關(guān)系三維本構(gòu)關(guān)系三維本構(gòu)關(guān)系： 分體量與偏量： 是微分算子，例如，有時(shí)，可假設(shè)體積應(yīng)變的蠕變分量可忽略可假設(shè)體積應(yīng)變的蠕變分

25、量可忽略。00qpqspijij qqpp , nkkkkkdtdpdpp07 遺傳積分（蠕變型）遺傳積分（蠕變型）又稱記憶積分或卷積積分：疊加原理，boltzmann superposition principle： 在 作用下，應(yīng)變服從疊加原理：當(dāng)一系列應(yīng)力增量 連續(xù)作用時(shí)，產(chǎn)生的應(yīng)變 等于： 是蠕變?nèi)崃俊?)()(0thth)()(0tjtj)(ttdddtjtjt00)()()()(tj 8 松弛型遺傳積分松弛型遺傳積分 當(dāng)一系列應(yīng)變?cè)隽?連續(xù)作用時(shí)，產(chǎn)生的應(yīng)力 等于 ： 是松弛模量。 修正的疊加原理： 其中 是應(yīng)變的非線性函數(shù)。)(ttdddtgtgt00)()()()(tgtddd

26、ftgtgt00)()()()()(f 9 拉普拉斯變換拉普拉斯變換：laplace transformation拉普拉斯變換拉普拉斯變換對(duì)求解線性粘彈性問(wèn)題至關(guān)重要，通過(guò)下式將時(shí)域問(wèn)題變換為s 域內(nèi)問(wèn)題： 很多教科書上有變換表。 其逆變換式為： 0)()(sfdttfest, ipipstdssfeitf)(21)( 10 對(duì)應(yīng)原理對(duì)應(yīng)原理 對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得： 于是得到拉氏變換域內(nèi)的“線彈性”問(wèn)題。還可以在拉氏變換域內(nèi)進(jìn)行有限元計(jì)算。 但是，逆變換相當(dāng)復(fù)雜，這里學(xué)問(wèn)很深。)()()()()()()(00ssqspssqssspijij 11 復(fù)模量復(fù)模量 當(dāng)材料或結(jié)構(gòu)受簡(jiǎn)諧變化應(yīng)力作用時(shí)

27、 ,即 輸入 ，代入本構(gòu)方程： tiet0)( kkkkkkdttdqdttdp)()(ntikktimkkeiqeip0000)()()(00j)(j)(1)(jg是復(fù)數(shù)柔量。是松弛模量。第四章第四章 基本方程基本方程 彈性力學(xué)有彈性力學(xué)有15個(gè)基本方程個(gè)基本方程： 3個(gè)平衡方程； 6個(gè)協(xié)調(diào)方程； 6個(gè)本構(gòu)方程； 15個(gè)基本未知量個(gè)基本未知量： 3個(gè)位移分量； 6個(gè)應(yīng)力分量； 6個(gè)應(yīng)變分量；* 加適當(dāng)邊界條件。1.平衡或運(yùn)動(dòng)方程平衡或運(yùn)動(dòng)方程 平衡方程展開一個(gè)方程: 運(yùn)動(dòng)方程: 指標(biāo)重復(fù)服從加法約定3 , 2 , 1,ji0,ijijf, 22,tufijij, xxzxyxfzyx02 幾

28、何方程幾何方程(應(yīng)力應(yīng)力位移關(guān)系位移關(guān)系)對(duì)于小應(yīng)變情況對(duì)于小應(yīng)變情況， 這是哥西應(yīng)變式，共有六個(gè)應(yīng)變，六個(gè)方程。 對(duì)于大變形對(duì)于大變形（計(jì)入非線性項(xiàng)）：分拉格朗日與歐拉表示：拉格朗日應(yīng)變：歐拉應(yīng)變：)(,21ijjiijuu)3,2,1,(ji, ， )(21jkikjiijxuxuxuxue)(21jkikjiijxuxuxuxue 3 變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程： （i, j 交換）共有六個(gè)方程: 以下只寫出兩個(gè)有代表性的式子：ikjljlikijklklij,)(312231123132112xxxxxx2222221112211222xxxx4 彈性本構(gòu)關(guān)系彈性本構(gòu)關(guān)系（1）. 彈性應(yīng)

29、力彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變關(guān)系：廣義胡克定律 可改寫為 其中 36個(gè)常數(shù)中只有21個(gè)獨(dú)立。這是指最一般的各向異性材料，對(duì)于各類特殊情況，獨(dú)立材料常數(shù)不同。 klijklijc 3,2,1,ji， ijklc mnc 6.1,nm5 邊界條件：邊界條件： （1）位移邊界條件）位移邊界條件：在給定位移的邊界 上， (a) 又稱第一類邊界條件，代號(hào) 。 is),(321xxxgui3,2,1i， 1b（2） 應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件：在給定外力的邊界在給定外力的邊界（ ）上：上： （b) 是外法線方向余弦。第二類邊界條件 ， 代號(hào) 。 sijjit3 , 2 , 1,jijs2b（3） 混合邊界條件混合

30、邊界條件混合邊界條件混合邊界條件: 在（在（ ），為（），為（a）；在（）；在（ ）（）（b）. 此外，還有彈性邊界條件和移動(dòng)（滑動(dòng)）邊界條件； 動(dòng)邊界條件（例如彈性支持條件，接觸，摩擦邊界條件），問(wèn)題比較復(fù)雜。uss 彈性力學(xué)問(wèn)題的解法（位移法和應(yīng)力法）彈性力學(xué)問(wèn)題的解法（位移法和應(yīng)力法）.位移方法：拉梅（位移方法：拉梅（lame, g.）方程，）方程，即用位移表示平衡方程,以下是三種不同表示方法：需將應(yīng)力邊界條件改寫為位移.0)(2,iiifu0)(2fuugraddiv 0)(2112fuu 應(yīng)力解法應(yīng)力解法用應(yīng)力表示的協(xié)調(diào)方程，用應(yīng)力表示的協(xié)調(diào)方程，即 拜爾脫拉密（beltrami,

31、e.）密乞爾(michell, j. h.)方程：用應(yīng)力表示協(xié)調(diào)方程。當(dāng)然，位移邊界條件也需要用應(yīng)力表示。 02)(111113322112112112xfxfxfxfxi 3211i 0)(1123323212232xfxfxxi彈性力學(xué)一般定理彈性力學(xué)一般定理（1）. 應(yīng)變能定理應(yīng)變能定理克拉貝龍定理克拉貝龍定理,即功能互等定理: 又俗稱為 “功能互等定理” 注意與 ”功的互易（reciprocal）定理” 相區(qū)別。 彈性體內(nèi)的應(yīng)變能等于變形過(guò)程中外力所做之功應(yīng)變能等于變形過(guò)程中外力所做之功；(證明從略)注意：與虛功原理相對(duì)照（外力虛功等于內(nèi)里虛功）。（2） 唯一性定理唯一性定理克?；舴蚨?/p>

32、理或紐曼定理克?；舴蚨ɡ砘蚣~曼定理 證明證明： 兩組解 它們滿足平衡方程: 邊界條件: ,ijijiu , , , ,ijijiu0,ijijf0, ,ijijfjijit.,jijit., , )(,iiixgu )(, ,iiixgu 證明證明(2)： 構(gòu)造新的解 （1）-（2），）， （3）-（4），（），（5）-（6）得到）得到, ,iiiuuu, ,ijijij, ,ijijij， 證明證明(3) 上式的解肯定為0。 所以證明，兩組解相等。 *注釋：若全邊界均為應(yīng)力條件，則位移解可能差一剛體位移。結(jié)論：對(duì)于線彈性材料（結(jié)構(gòu)），只要給出一組滿足平衡方程，協(xié)調(diào)方程，與邊界條件的解，那么它

33、就是真解（與彈性常數(shù)無(wú)關(guān)）。所以，彈性力學(xué)就有試湊法試湊法。, 0,jij,0.jij.0iu（3 ） 圣文南原理圣文南原理 物體在上受一平衡力系作用時(shí)，在離較遠(yuǎn)的區(qū)域應(yīng)力可以忽略。 時(shí), 是外力作用區(qū)的最大線尺寸與我們關(guān)注的質(zhì)點(diǎn)和力作用點(diǎn)的距離。31lls 0ijlls,（4） 功的互易功的互易(等等)定理定理又稱位移互等定理位移互等定理（reciprocal theory of displacement）：設(shè)兩組力（體力與面力）作用在同一物體上，第一組力對(duì)第二組力產(chǎn)生的位移所做之功，等于第二組力對(duì)第一組力產(chǎn)生的位移所做之功； =dsutdvufiiii, , ,dsutdvufiiii,

34、, ,第五章第五章 能量原理能量原理 能量原理是宇宙間普適的,從熱力學(xué)第一定律,理論力學(xué)的能量(機(jī)械能)守恒定律,與虛位移(虛功)原理,材料力學(xué)的卡氏定理,彈性力學(xué)的變分原理，以及各種近似數(shù)值方法. 例如,求第二宇宙速度時(shí)，飛船離開火箭時(shí)的速度（動(dòng)能）應(yīng)能克服地球?qū)λ囊?shì)。動(dòng)能 引力勢(shì)由此得到：rgv2221mvt rmmgae)(2mgrgmme（1）虛位移原理）虛位移原理（理論力學(xué)） 物體(或質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系)在 n個(gè)外力(包括約束力 )作用下而平衡, 則外力所作之虛功之和為零. 對(duì)于理想約束 則外加作用力所作功為零.iriirfw0iirr彈性力學(xué)的能量原理彈性力學(xué)的能量原理1 . 虛功

35、原理虛功原理（包括虛位移原理與虛力原理）（包括虛位移原理與虛力原理） 虛位移虛位移：所有幾何約束允許的位移(滿足協(xié)調(diào)條件和位移邊界條件）即為虛位移，寫為 。 虛位移又稱為“可能位移”。 彈性體在平衡狀態(tài)下，外力、內(nèi)力在微小虛位移下做的功（稱為虛功）之和等于零。321,uuu2. 虛位移原理虛位移原理 彈性體在平衡狀態(tài)下，外力對(duì)虛位移所做的功（稱為虛功）等于虛位移所引起的彈性體應(yīng)變能的增量。dsutdvufaiiii jijit dvuxdvufajiijiijij)()(, 虛位移原理（續(xù)虛位移原理（續(xù)1） 上式第一項(xiàng)為零，第二項(xiàng)等于 這是內(nèi)力虛功，即內(nèi)力（應(yīng)力）對(duì)虛位移產(chǎn)生的虛應(yīng)變所做的功（

36、或?yàn)閼?yīng)力對(duì)虛應(yīng)變所作的虛功）。 結(jié)論：內(nèi)力虛功等于外力虛功udvijij虛功原理虛功原理(續(xù)續(xù)2) 根據(jù)專著（胡): 虛功原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：虛功原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： 此式中，此式中， 和和 是變形可能位移與應(yīng)變，是變形可能位移與應(yīng)變， 是靜力可能應(yīng)力。是靜力可能應(yīng)力。* 是可能面力。是可能面力。 這個(gè)原理包括這個(gè)原理包括虛功原理虛功原理與與虛余功原理虛余功原理兩個(gè)原理兩個(gè)原理dudbpudftttup虛功原理虛功原理(續(xù)續(xù)3) 包括虛位移原理與虛內(nèi)力（應(yīng)力）原理：包括虛位移原理與虛內(nèi)力（應(yīng)力）原理：按大百科全書的詞條：按大百科全書的詞條：ddbupdufkijsijkisiii. iiuf

37、,kisiup ,kijsij,式中 是體力和位移；是面上可能面力和可能位移， 分別是可能應(yīng)力分量和可能應(yīng)變分量。此原理可包括分別是可能應(yīng)力分量和可能應(yīng)變分量。此原理可包括（1）虛位移原理和（）虛位移原理和（2）虛內(nèi)力（應(yīng)力）原理。）虛內(nèi)力（應(yīng)力）原理。 3. 最小勢(shì)能原理最小勢(shì)能原理以位移為基本未知量的變分原理?？倓?shì)能等于 : 分別為真實(shí)位移與虛位移。au 2)()(biiiiijidbupdufduu)()(kiiuukiiuu ,最小勢(shì)能原理（續(xù)）最小勢(shì)能原理（續(xù)）定義：定義：平衡時(shí)，所有可允許位移（可能位移）中，真實(shí)位移使總勢(shì)能取極小值：可能位移是滿足協(xié)調(diào)方程與位移邊界條件的位移?？赡?/p>

38、位移是滿足協(xié)調(diào)方程與位移邊界條件的位移。意義意義：因?yàn)槲灰茲M足了連續(xù)性條件和位移邊界條件，由最小勢(shì)能原理可導(dǎo)出平衡方程和應(yīng)力邊界條件平衡方程和應(yīng)力邊界條件。 由此導(dǎo)出有限元有限元基本方程04 最小最小余能原理 以應(yīng)力為未知量的變分原理應(yīng)力為未知量的變分原理。真實(shí)應(yīng)力所具有的余能恒小于其他可能應(yīng)力相應(yīng)的余能。 所有可能應(yīng)力（滿足平衡方程與靜力邊界條件的應(yīng)力）函數(shù)中，真實(shí)應(yīng)力場(chǎng)取總余能為最小。1)()(biiijijdbupduu)()(sijijuu， 最小余能原理（續(xù)）最小余能原理（續(xù)） 它代表應(yīng)變協(xié)調(diào)方程和位移邊界條件。虛余功： 虛余能： 總余能：最小余能原理： wdvdvdstuaijij

39、iicdvuijijc cccau)()(sijijuu5 廣義變分原理廣義變分原理是以上兩個(gè)原理的推廣；彈性力學(xué)的解必須滿足廣義勢(shì)能變分為零的條件，（又稱駐值條件），即： 為邊界指定面力和位移 。此變分原理具有三類變量：位移，應(yīng)力與應(yīng)變?nèi)愖兞浚何灰?，?yīng)力與應(yīng)變。 03 dxuxudufuijijjiijiiij)()(21312)(bbiiiiidbupdbpuuiiup ,6 瑞斯納變分原理瑞斯納變分原理 瑞斯納變分原理（reissner） 其中 是應(yīng)變余能，兩類獨(dú)立變函數(shù)兩類獨(dú)立變函數(shù) 共共9個(gè)個(gè) 。有限元法的雜交元雜交元由此導(dǎo)出.02)()(212ijijijjiuxuxuiiju,

40、u12)()(bbiiidbupdbuua 材料力學(xué)中的能量法（一）材料力學(xué)中的能量法（一） 卡氏第一定理卡氏第一定理：若彈性體受數(shù)個(gè)已知廣義力 作用，在他們的作用點(diǎn)產(chǎn)生沿各廣義力方向上的位移： 則由廣義位移表示的應(yīng)變能 u 對(duì)某個(gè)廣義位移 的偏導(dǎo)數(shù)等于與 相應(yīng)的廣義力 ， 數(shù)學(xué)表達(dá)式為：此定理英文名稱：castiglianos first theorem.nppp,.,21n,.,21,iipu),.,2 , 1 (ni iiip材料力學(xué)中的能量法（二）材料力學(xué)中的能量法（二） 克羅蒂克羅蒂恩蓋塞定理恩蓋塞定理（crottiengessers theorem):若彈性體作用有n個(gè)廣義力 ，

41、產(chǎn)生n個(gè)廣義位移 ，它們方向與相應(yīng)的廣義力相同；則由廣義力表示的應(yīng)變能對(duì)廣義力的偏導(dǎo)數(shù)，等于相應(yīng)的廣義位移，表達(dá)式為：此定理又稱卡氏第二定理卡氏第二定理。nppp,.,21n,.,21iipu),.2 , 1(ni b 彈性穩(wěn)定理論中的能量法彈性穩(wěn)定理論中的能量法)2cos1 (lxy)(ypmeilpdxeimul422202lpdxdxdyppwl16)(220221224leipcrc 振動(dòng)問(wèn)題的能量法振動(dòng)問(wèn)題的能量法瑞利商瑞利商：根據(jù)瑞利原理，保守系統(tǒng)的機(jī)械振動(dòng)的自振頻率的近似值，由下式泛函的駐值決定。 是動(dòng)能 ； 是勢(shì)能例如，弦振動(dòng)，設(shè)振形函數(shù)為當(dāng) n=2時(shí)， 相對(duì)誤差為 0.007

42、 精確解為精確解為： maxmaxtvr maxtmaxv)()(,0)2(1)(,0 xyxyxlxxyxnmtlf210mtlf21d 結(jié)構(gòu)力學(xué)的能量法結(jié)構(gòu)力學(xué)的能量法1 力法力法（force method）：以廣義力為未知量求解靜不定結(jié)構(gòu)的方法稱為力法?；靖拍罨靖拍钍?，將多余約束去掉，代之以廣義力(多余廣義力），為保證解除多余約束的結(jié)構(gòu)變形與內(nèi)力（應(yīng)力）與原結(jié)構(gòu)相同，必須滿足連續(xù)性條件，即變形協(xié)調(diào)條件。n 度靜不定系統(tǒng)就有度靜不定系統(tǒng)就有n 個(gè)連續(xù)性條件個(gè)連續(xù)性條件,正好彌補(bǔ)了平衡方程數(shù)的不足。將n 個(gè)連續(xù)性條件與平衡方程聯(lián)立，就能解出所有未知廣義力。2 單位載荷法單位載荷法：根據(jù)虛

43、功原理導(dǎo)出的求結(jié)構(gòu)位移的方法。求給定結(jié)構(gòu)某點(diǎn)的位移時(shí)，在該點(diǎn)施加單位載荷：?jiǎn)挝粡V義力。單位載荷方向與所求位移方向相同。于是， 是單位載荷引起的軸力，剪力與彎矩； 是真實(shí)載荷引起的軸力，剪力與彎矩, 為所求位移。 1jpdseimmdsgaqkqdseannji1， mqn,mqn, ji 3 位移法位移法：（displacement method）:以廣義位移為基本未知量求解結(jié)構(gòu)力學(xué)問(wèn)題的方法，又稱剛度法與矩陣位移法。包括轉(zhuǎn)角位移法；又稱“力矩分配法力矩分配法”；“變形分配法變形分配法”。首先列出所有廣義位移（其數(shù)目等于自由度數(shù)），并將這些廣義位移施加約束，構(gòu)成基本體系。再解除對(duì)某廣義位移 s 的約束，