人教版二分法求方程的近似解

1、0231 x、04522 xx、01335 xx、062ln4 xx、3223 xx 4, 101421 xxxx9世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米給出了一次方程和二次方程的一般解法；世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米給出了一次方程和二次方程的一般解法；1541年，意大利數(shù)學(xué)家塔爾塔利亞給出了三次方程的一般解法；年，意大利數(shù)學(xué)家塔爾塔利亞給出了三次方程的一般解法； 1545年意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾的名著年意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾的名著大術(shù)大術(shù)一書中，把塔爾塔一書中，把塔爾塔利亞的解法加以發(fā)展，并記載了費(fèi)拉里的四次方程的一般解法。利亞的解法加以發(fā)展，并記載了費(fèi)拉里的四次方程的一般解法。 1824年，挪威年輕數(shù)學(xué)家阿

2、貝爾成功地證明了五次以上一般方程年，挪威年輕數(shù)學(xué)家阿貝爾成功地證明了五次以上一般方程沒(méi)有根式解，也就是說(shuō)沒(méi)有求根公式。沒(méi)有根式解，也就是說(shuō)沒(méi)有求根公式。 雖然指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程等超越方程和五次以上的高次代數(shù)方程不能用雖然指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程等超越方程和五次以上的高次代數(shù)方程不能用代數(shù)運(yùn)算求解，但其數(shù)值解法卻隨著現(xiàn)代計(jì)算技術(shù)的發(fā)展得到了廣泛的應(yīng)用，代數(shù)運(yùn)算求解，但其數(shù)值解法卻隨著現(xiàn)代計(jì)算技術(shù)的發(fā)展得到了廣泛的應(yīng)用，如如 、牛頓法、弦截法等。、牛頓法、弦截法等。二分法二分法 2008 2008年初我國(guó)南方遭遇了年初我國(guó)南方遭遇了5050年不遇的雪災(zāi)，雪災(zāi)發(fā)生后停水年不遇的雪災(zāi)，雪災(zāi)發(fā)生后停水?dāng)嚯?，?/p>

3、通受阻。一日，某市斷電，交通受阻。一日，某市a a地到地到b b地的電話線路發(fā)生了故障，地的電話線路發(fā)生了故障，這是一條這是一條10km10km長(zhǎng)的線路，每隔長(zhǎng)的線路，每隔50m50m有一根電線桿，如何迅速查出故有一根電線桿，如何迅速查出故障所在？障所在？段段；段段正正常常，斷斷定定故故障障在在開(kāi)開(kāi)始始查查起起，若若發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)如如圖圖，首首先先從從中中點(diǎn)點(diǎn)bcacc段段；段段正正常常，則則故故障障在在檢檢查查，若若段段中中點(diǎn)點(diǎn)再再到到bdcddbc檢檢查查段段中中點(diǎn)點(diǎn)再再到到ebd在在。，即即可可迅迅速速找找到到故故障障所所abcde出出故故障障。之之間間，就就可可以以快快速速地地查查的的范范圍

4、圍減減小小到到過(guò)過(guò)七七次次以以后后即即可可將將檢檢查查查查的的范范圍圍逐逐漸漸縮縮小小，經(jīng)經(jīng)依依次次下下去去，就就可可以以將將檢檢m10050ab)(bf)(af0 x ,cba的的中中點(diǎn)點(diǎn)取取c)(cf的的零零點(diǎn)點(diǎn)在在區(qū)區(qū)間間所所以以函函數(shù)數(shù))( xf判斷：判斷：)()(cfaf , 0 )()(bfcf , 0 中中；bc , ,dbc的的中中點(diǎn)點(diǎn)同同理理，取取d)(df判斷：判斷：0)()(, 0)()( bfdfdfcf ;,)(中中的的零零點(diǎn)點(diǎn)在在區(qū)區(qū)間間所所以以dcxf依此進(jìn)行下去，漸漸逼近了函數(shù)的零點(diǎn)依此進(jìn)行下去，漸漸逼近了函數(shù)的零點(diǎn) 對(duì)于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷且 的函 數(shù) ，通

5、過(guò)不斷地把函數(shù) 的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做0)()(bfaf)(xfy )(xf1.下列函數(shù)圖像與x軸均有交點(diǎn),判斷哪些能用二分法求零點(diǎn)，哪些不能？y0 x（2）（1）0 xy0 xy（3）0 xy（4） 對(duì)于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷且 的函 數(shù) ，通過(guò)不斷地把函數(shù) 的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做0)()(bfaf)(xfy )(xf 二分法僅對(duì)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)（即零點(diǎn)兩側(cè)某區(qū)二分法僅對(duì)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)（即零點(diǎn)兩側(cè)某區(qū)域內(nèi)函數(shù)值異號(hào)）適用，并且要求函數(shù)在零點(diǎn)附近域內(nèi)函數(shù)值異號(hào)）適用，并且要

6、求函數(shù)在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷的。是連續(xù)不斷的。二分法的適用條件：二分法的適用條件：.1.00(62)ln()(1）精精確確度度的的零零點(diǎn)點(diǎn)、求求函函數(shù)數(shù)例例 xxxf ，計(jì)算得，計(jì)算得的中點(diǎn)的中點(diǎn)取取084. 0)5 . 2(.52, fba解：由函數(shù)的圖像可知，函數(shù)在區(qū)間由函數(shù)的圖像可知，函數(shù)在區(qū)間 有零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為有零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為 ，精確度為，精確度為0.01 3,20 x0)3()5 . 2( ff ;3,5.20 x零零點(diǎn)點(diǎn) ,512.0)75.2(5.72.5,32 f，計(jì)計(jì)算算得得的的中中點(diǎn)點(diǎn)取取0)75.2()5.2( ff ;75.2,5.20 x零零點(diǎn)點(diǎn) ,215.0)625.

7、2(25.6275.5,2.2 f，計(jì)計(jì)算算得得的的中中點(diǎn)點(diǎn)取取0)625.2()5.2( ff ;625.2,5.20 x零零點(diǎn)點(diǎn) 5 . 035 . 2 25. 075. 25 . 2 125. 0625. 25 . 2 ,066.0)5625.2(,5625.2625.2 ,5 .2 f計(jì)計(jì)算算得得的的中中點(diǎn)點(diǎn)取取 ;5625.2,5.2,0)5.2()5625.2(0 xff零零點(diǎn)點(diǎn) ,009. 0)53125. 2(3125.525625. 2 , 5 . 2 f，計(jì)計(jì)算算得得的的中中點(diǎn)點(diǎn)取取 ;5625.2,53125.2,0)5625.2()53125.2(0 xff零零點(diǎn)點(diǎn) ,

8、029. 0)546875. 2(46875.525625. 2 ,53125. 2 f，計(jì)計(jì)算算得得的的中中點(diǎn)點(diǎn)取取 ;546875.2,53125.2,0)53125.2()546875.2(0 xff零零點(diǎn)點(diǎn) 10. 0)5390625. 2(390625.5246875,2.53125.52 f，計(jì)計(jì)算算得得中中點(diǎn)點(diǎn)取取 ;5390625.2,53125.20)5390625.2()53125.2(0 xff零零點(diǎn)點(diǎn) 01.00078125.053125.25390625.2又又.53125. 2)( xxf零零點(diǎn)點(diǎn)的的近近似似值值為為函函數(shù)數(shù) 0625. 05625. 25 . 2

9、03125. 05625. 253125. 2 015625. 0546875. 253125. 2.1.00(62)ln()(1）精精確確度度的的零零點(diǎn)點(diǎn)、求求函函數(shù)數(shù)例例 xxxf ，計(jì)算得計(jì)算得，的中點(diǎn)的中點(diǎn)取取084. 0)5 . 2(.52, fba解：由函數(shù)的圖像可知，函數(shù)在區(qū)間由函數(shù)的圖像可知，函數(shù)在區(qū)間 有零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為有零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為 ，精確度為，精確度為0.01 3,20 x0)3()5 . 2( ff ;3,5.20 x零零點(diǎn)點(diǎn) ,512.0)75.2(5.72.5,32 f，計(jì)計(jì)算算得得的的中中點(diǎn)點(diǎn)取取0)75.2()5.2( ff ;75.2,5.20 x零零點(diǎn)點(diǎn) ,

10、215.0)625.2(25.6275.5,2.2 f，計(jì)計(jì)算算得得的的中中點(diǎn)點(diǎn)取取0)625.2()5.2( ff ;625.2,5.20 x零零點(diǎn)點(diǎn)2424123 5 . 035 . 24 25. 075. 25 . 2 125. 0625. 25 . 2 ,066.0)5625.2(,5625.2625.2 ,5 .2 f計(jì)計(jì)算算得得的的中中點(diǎn)點(diǎn)取取 ;5625.2,5.2,0)5.2()5625.2(0 xff零零點(diǎn)點(diǎn) ,009. 0)53125. 2(3125.525625. 2 , 5 . 2 f，計(jì)計(jì)算算得得的的中中點(diǎn)點(diǎn)取取 ;5625.2,53125.2,0)5625.2()5

11、3125.2(0 xff零零點(diǎn)點(diǎn) ,029. 0)546875. 2(46875.525625. 2 ,53125. 2 f，計(jì)計(jì)算算得得的的中中點(diǎn)點(diǎn)取取 ;546875.2,53125.2,0)53125.2()546875.2(0 xff零零點(diǎn)點(diǎn) 10. 0)5390625. 2(390625.5246875,2.53125.52 f，計(jì)計(jì)算算得得中中點(diǎn)點(diǎn)取取 ;5390625.2,53125.20)5390625.2()53125.2(0 xff零零點(diǎn)點(diǎn) 01.00078125.053125.25390625.2又又.53125. 2)( xxf零零點(diǎn)點(diǎn)的的近近似似值值為為函函數(shù)數(shù)242

12、42424 0625. 05625. 25 . 2 03125. 05625. 253125. 2 015625. 0546875. 253125. 2計(jì)算 ：)(cf若 ，則 就是函數(shù)的零點(diǎn)； 0)( cfc求區(qū)間 的中點(diǎn) ；c),(ba確定區(qū)間 ,驗(yàn)證 ，給定精確度 ；0)()(bfaf ba,若 ，則令 （此時(shí)零點(diǎn) ）； 0)()(cfafcb ),(0cax 若 ，則令 （此時(shí)零點(diǎn) ）. 0)()(bfcfca ),(0bcx判斷是否達(dá)到精確度 ：即若 ，則得到零點(diǎn)近似值 ；否則重復(fù)步驟24 。 ba)(ba 或已知精確度 ，用二分法求解函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟： baxxbax00,，都

13、都有有對(duì)對(duì)于于任任意意的的 的的近近似似值值的的滿滿足足精精確確度度中中任任意意一一個(gè)個(gè)值值都都是是零零點(diǎn)點(diǎn)區(qū)區(qū)間間 0,xba作作為為零零點(diǎn)點(diǎn)近近似似值值?；蚧螯c(diǎn)點(diǎn)為為方方便便，統(tǒng)統(tǒng)一一取取區(qū)區(qū)間間端端)(ba ？為什么？為什么？作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值中的任意一個(gè)中的任意一個(gè)、能不能取、能不能取xba,2 0)()(,)()(,3 bfafbfafba且且易易于于計(jì)計(jì)算算、量量的的小小，并并且且使使，應(yīng)應(yīng)使使區(qū)區(qū)間間的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度盡盡、在在選選取取區(qū)區(qū)間間的的基基本本原原理理：、用用二二分分法法求求函函數(shù)數(shù)零零點(diǎn)點(diǎn)1逼逼近近的的思思想想。方方法法函函數(shù)數(shù)零零點(diǎn)點(diǎn)存存在在性性的

14、的判判定定,則則下下列列命命題題正正確確的的是是且且的的圖圖像像是是連連續(xù)續(xù)不不斷斷的的，、若若函函數(shù)數(shù)例例, 0)4()2()1(, 0)0()(2 ffffxf( ) 內(nèi)內(nèi)有有零零點(diǎn)點(diǎn)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)有有零零點(diǎn)點(diǎn)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)有有零零點(diǎn)點(diǎn)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)有有零零點(diǎn)點(diǎn)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù),40)(d.,20)(.,21)(b.,10)(.xfxfcxfxfad據(jù)據(jù)如如下下：的的一一個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn)，其其參參考考數(shù)數(shù)、用用二二分分法法求求函函數(shù)數(shù)例例43)(4 xxfx003. 0)5625. 1(200. 0)6000. 1( ff029. 0)55625. 1(1333. 0)5875. 1( ff060. 0)5500. 1(067. 0)5750. 1( ff）精精確確度度的的一一個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn)近近似似值值為為由由函函數(shù)數(shù)1.00_(043)( xxfx0029. 0003. 0)55625. 1()5625. 1( ff解解：01.000625.055625.15625.1 。的的一一個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn)近近似似值值為為625.5143)( xxfx1.5625二分法的優(yōu)劣：優(yōu)點(diǎn)：二分法是求實(shí)根的近似計(jì)算中行之有效的最簡(jiǎn)單的方法，思想方法非常簡(jiǎn)明，它只要求函數(shù)是連續(xù)的，因此它的適用范