高等數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)

1、第八章第八章設(shè)設(shè) zyxzyxbbbbaaaa, 1. 基本概念基本概念模模:222zyxaaaa 方向余弦方向余弦:aaaaaazyx cos,cos,cos2. 向量運(yùn)算向量運(yùn)算點(diǎn)積點(diǎn)積:zzyyxxbabababa , 夾角為夾角為 叉積叉積:bakjixayazaxbybzb投影投影空間曲面空間曲面三元方程三元方程0),( zyxf 球面球面2202020)()()(rzzyyxx 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面如如, 曲線曲線 00),(xzyf繞繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)曲面軸的旋轉(zhuǎn)曲面:0),(22 zyxf 柱面柱面如如,曲面曲面0),( yxf表示母線平行表示母線平行z 軸的柱面軸的柱面空間曲線空間

2、曲線三元方程組三元方程組或或, 參數(shù)方程參數(shù)方程投影曲線投影曲線(如如, 圓柱螺線圓柱螺線)空間平面空間平面一般式一般式點(diǎn)法式點(diǎn)法式截距式截距式0 dczbyax)0(222 cba1 czbyax三點(diǎn)式三點(diǎn)式0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxxcban,空間直線與平面的方程空間直線與平面的方程),(000zyx0)()()(000 zzcyybxxa空間直線空間直線一般式一般式對(duì)稱式對(duì)稱式參數(shù)式參數(shù)式 0022221111dzcybxadzcybxa tpzztnyytmxx000 pnms, pzznyymxx000 ),(000zyx相關(guān)的幾個(gè)問(wèn)題相關(guān)的

3、幾個(gè)問(wèn)題(1) 過(guò)直線過(guò)直線 00:22221111dzcybxadzcybxal的平面束的平面束1111dzcybxa (2)點(diǎn)點(diǎn)nnmmd 01的距離的距離：0)(2222 dzcybxa方程方程dzcybxa 000 222cba 到平面到平面 ：a x+b y+c z+d = 0),(0000zyxm d0m1mn及及參參數(shù)數(shù)方方程程對(duì)對(duì)稱稱式式方方程程的的直直線線且且平平行行直直線線，求求過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn) 0122 02)3 1 2( . 1 zyxzyx軸上截距相等的平面軸上截距相等的平面.0)42( 53 zyxyx xy2、求平面束、求平面束在在軸和軸和p3、自點(diǎn)、自點(diǎn) (2, 3,

4、-5)分別向各坐標(biāo)面作垂線，求過(guò)三個(gè)垂分別向各坐標(biāo)面作垂線，求過(guò)三個(gè)垂足的平面方程足的平面方程.4試求空間直試求空間直線線 7652zyzx的對(duì)稱式方的對(duì)稱式方程程多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法顯示結(jié)構(gòu)顯示結(jié)構(gòu)隱式結(jié)構(gòu)隱式結(jié)構(gòu)1. 分析復(fù)合結(jié)構(gòu)分析復(fù)合結(jié)構(gòu)(畫(huà)變量關(guān)系圖畫(huà)變量關(guān)系圖)2. 正確使用求導(dǎo)法則正確使用求導(dǎo)法則“分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,單路全導(dǎo)單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)叉路偏導(dǎo)”注意注意: 正確使用求導(dǎo)符號(hào)正確使用求導(dǎo)符號(hào)第九章第九章多元函數(shù)微分法的應(yīng)用多元函數(shù)微分法的應(yīng)用1 1、在幾何中的、在幾何中的應(yīng)用應(yīng)用求曲線在切線及法平面求曲線在切線及法平面 (參數(shù)方程，一般方程參數(shù)方程，

5、一般方程)求曲面的切平面及法線求曲面的切平面及法線 (隱式方程隱式方程 , 顯式方程顯式方程)2、極值與最值問(wèn)題、極值與最值問(wèn)題極值的必要條件與充分條件極值的必要條件與充分條件求條件極值的方法求條件極值的方法 (消元法消元法,拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法)求解最值問(wèn)題求解最值問(wèn)題3、在微分方程中的應(yīng)用、在微分方程中的應(yīng)用.sin. 1233yxzyeyxzx ，求，求設(shè)設(shè). )0 , 0()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),( 32233但但不不可可微微偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在，處處在在原原點(diǎn)點(diǎn)試試證證：、 yxyxyxyxyxf處處的的切切平平面面方方程程上上點(diǎn)點(diǎn)求求曲曲面面在在),(

6、 . 400022zyxbyaxz 處處的的切切平平面面與與法法線線方方程程在在求求曲曲面面)1 , 1 , 1(33 5.222 zyx., 0932),( 22222222yzxzzxyzyxyxzz 求求所確定，所確定，由由、設(shè)、設(shè). )33,2, 1( 622并求最短距離并求最短距離的距離最短，的距離最短，上找一點(diǎn)，使它到點(diǎn)上找一點(diǎn)，使它到點(diǎn)在曲面在曲面、yxz .)(4),( 5.22極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)的極值點(diǎn)，并指出是的極值點(diǎn)，并指出是求求yxyxyxf 基本方法基本方法 累次積分法累次積分法1. 選擇合適的坐標(biāo)系選擇合適的坐標(biāo)系2. 選擇易計(jì)算的積分順序選擇

7、易計(jì)算的積分順序(積分域分塊要少積分域分塊要少, 累次積分易算為妙累次積分易算為妙)圖示法圖示法列不等式法列不等式法3. 掌握確定積分限的方法掌握確定積分限的方法第十章第十章. . 1arcsinarcsin10dxxdyyy 計(jì)計(jì)算算.01)1( ,12. 222222確確定定與與由由其其中中求求 yzyxdvzyx.),(,),(. 3223210的的積積分分次次序序改改變變二二次次積積分分連連續(xù)續(xù)設(shè)設(shè) yydxyxfdyyxf.),( 1 , 0 , 0 , 1 , 1 . 4的的三三次次積積分分，最最后后對(duì)對(duì)，再再對(duì)對(duì)先先對(duì)對(duì)化化為為三三重重積積分分圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域，將將由由平

8、平面面設(shè)設(shè)xyzdxdydzzyxfzyxyxzyx 一一. 曲線積分的計(jì)算法曲線積分的計(jì)算法1. 基本方法基本方法曲線積分曲線積分第一類第一類 ( 對(duì)弧長(zhǎng)對(duì)弧長(zhǎng) )第二類第二類 ( 對(duì)坐標(biāo)對(duì)坐標(biāo) )(1) 統(tǒng)一積分變量統(tǒng)一積分變量轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化定積分定積分用參數(shù)方程用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程(2) 確定積分上下限確定積分上下限第一類第一類: 下小上大下小上大第二類第二類: 下始上終下始上終第十一章第十一章(1) 利用對(duì)稱性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算利用對(duì)稱性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算 ;(2) 利用積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件利用積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件(3) 利用格林公式利用格林

9、公式 (注意注意加輔助線的技巧加輔助線的技巧) ; 2. 基本技巧基本技巧沿沿由由點(diǎn)點(diǎn)是是，式式中中求求)0 , 1()(1()(3(. 1 aldyyxyxdxxyyxl)8()0 , 3(3 )2 , 1(1 分分的的折折線線段段點(diǎn)點(diǎn)到到，再再沿沿直直線線到到直直線線cyxbxy )9()2 ,()1 ,()0( . cos)cos(sin222分分計(jì)算積分之值計(jì)算積分之值線，線，為起終點(diǎn)的任意簡(jiǎn)單曲為起終點(diǎn)的任意簡(jiǎn)單曲和和內(nèi)以內(nèi)以為上半平面為上半平面若若軸時(shí)，積分與路徑無(wú)關(guān)軸時(shí)，積分與路徑無(wú)關(guān)不通過(guò)不通過(guò)當(dāng)當(dāng)，、證明曲線積分、證明曲線積分 bayloxldyyxyxdxyxyxyxil

10、)10()2 , 1( 1)1 , 0( ,)36()6(. 322232分分的一段弧的一段弧點(diǎn)點(diǎn)至至沿沿是從點(diǎn)是從點(diǎn)式中式中求求 xyldyxyyxdxyxyl)(0 xunn求求 和和)(xs展展 開(kāi)開(kāi)（在收斂域內(nèi)進(jìn)行）（在收斂域內(nèi)進(jìn)行）當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；0 xx )(0 xunn當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 為冪級(jí)數(shù)；為冪級(jí)數(shù)；nnnxaxu)()(0 xunn基本問(wèn)題基本問(wèn)題：判別斂散；：判別斂散；求收斂域；求收斂域；求和函數(shù)；求和函數(shù)； 級(jí)數(shù)展開(kāi)。級(jí)數(shù)展開(kāi)。第十二章第十二章一一. 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性利用部分和數(shù)列的極限判

11、別級(jí)數(shù)的斂散性2. 利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法必要條件必要條件0limnnu不滿足不滿足發(fā)發(fā) 散散滿足滿足比值審斂法比值審斂法 limn1nunu根值審斂法根值審斂法nnnulim1收收 斂斂發(fā)發(fā) 散散1不定不定 比較審斂法比較審斂法用它法判別用它法判別積分判別法積分判別法部分和極限部分和極限13. 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法為收斂級(jí)數(shù)為收斂級(jí)數(shù)1nnu1nnu若若 收斂收斂 ,1nnu稱稱 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂1nnu若若 發(fā)散發(fā)散 ,1nnu稱稱 條件收斂條件收斂leibniz判別法判別法: 若若,01nnuu且且,0limnnu則交錯(cuò)級(jí)數(shù)則交錯(cuò)級(jí)數(shù)nnnu1) 1(收斂收斂概念概念:)7(. 1112分分收收斂斂收收斂斂，證證明明級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnnnaa的的斂斂散散性性判判別別交交錯(cuò)錯(cuò)級(jí)