函數(shù)的求導(dǎo)法則

1、上次課上次課函函 數(shù)數(shù) 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù) 的的 概概 念念函數(shù)在點函數(shù)在點x0處處可導(dǎo)的定義可導(dǎo)的定義函數(shù)在函數(shù)在(a,b)內(nèi)內(nèi)可導(dǎo)的含義可導(dǎo)的含義函數(shù)在函數(shù)在a,b上上可導(dǎo)的含義可導(dǎo)的含義.)()(lim)(0000hxfhxfxfh .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx .)()(lim lim)(00000 xxfxxfxyxfxx 0)( cxxcos)(sin xxsin)(cos aaaxxln)( xxee )(axxaln1)(log xx1)(ln 1)( xx1)( nnnxx基本導(dǎo)數(shù)公式：基本導(dǎo)數(shù)公式：兩個重要關(guān)系：兩個重要關(guān)系：axfxfaxf )()()(00

2、0可導(dǎo)可導(dǎo)連續(xù)連續(xù)連續(xù)連續(xù)可導(dǎo)可導(dǎo)定理定理并且并且可導(dǎo)可導(dǎo)處也處也在點在點分母不為零分母不為零們的和、差、積、商們的和、差、積、商則它則它處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點在點如果函數(shù)如果函數(shù),)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則(i)證證(3)(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf設(shè)設(shè)hxfhxfxfh)()(lim)(0 hx

3、vhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 證證(1)(1)、(2)(2)略略. .hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在xxf推論推論; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfcxcf )()()()()()()()()( )()3(2121211xfxfxfxfxfxfxfxfxfxfnnnnii

4、例例1 1.sin223的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxxy 解解23xy x4 例例2 2.ln2sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 例例3 3.tan的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例4 4.sec的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解解)cos1()

5、(sec xxyxx2cos)(cos0 .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得);()( )()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 注意注意:定理定理.)(1)(,)(,0)()(yxfixfyyiyxxy 且有且有內(nèi)也可導(dǎo)內(nèi)也可導(dǎo)在對應(yīng)區(qū)間在對應(yīng)區(qū)間那末它的反函數(shù)那末它的反函數(shù)且且內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在某區(qū)間在某區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)即即 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理定理).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyx

6、uufyxxuxx 且其導(dǎo)數(shù)為且其導(dǎo)數(shù)為可導(dǎo)可導(dǎo)在點在點則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)可導(dǎo)可導(dǎo)在點在點而而可導(dǎo)可導(dǎo)在點在點如果函數(shù)如果函數(shù)即即 因變量對自變量求導(dǎo)因變量對自變量求導(dǎo), ,等于因變量對中間變量求導(dǎo)等于因變量對中間變量求導(dǎo), ,乘以中間變量對自變量求導(dǎo)乘以中間變量對自變量求導(dǎo).(.(鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t: :chain rulechain rule) )三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則推廣推廣),(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè).)(dxdvdvdududydxdyxfy 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) 例例1 1.sinln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解.sin,lnx

7、uuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 例例2 2.)1(102的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例3 3.arcsin22222的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a例例4 4.1sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 思考題思考題 若若)(uf在在0u不可導(dǎo)，不可

8、導(dǎo)，)(xgu 在在0 x可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且)(00 xgu ，則，則)(xgf在在0 x處（處（ ） （1）必可導(dǎo)；（）必可導(dǎo)；（2）必不可導(dǎo)；（）必不可導(dǎo)；（3）不一定可導(dǎo)；）不一定可導(dǎo)； ).(, 2ln)13cos()(. 22xfexxfx 求求設(shè)設(shè)1.21)13sin(6)(. 22 xexxxf.)13sin(6)(2xexxxf .) |(ln . 3 x求求,1)(ln) |(ln,0 . 3xxxx 時時)(1) )(ln() |(ln,0 xxxxx時時,1x .1) |(lnxx .)( . 4 xx求求xxxexln . 4 )ln()()(ln xxxexxxxx)1

9、(ln xxx思考題解答思考題解答1. 正確地選擇是正確地選擇是（3）例例|)(uuf 在在 處不可導(dǎo)，處不可導(dǎo)，0 u取取xxgu )(在在 處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，0 x|)(xxgf 在在 處不可導(dǎo)，處不可導(dǎo)，0 x )1(取取2)(xxgu 在在 處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，0 x22|)(xxxgf 在在 處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，0 x )2(一般冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式一般冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:).(,)(),(,)()()(xxgxfxfxxg 求求均可導(dǎo)均可導(dǎo)其中其中設(shè)設(shè))()()( xgxfx )(ln)( xfxge )(ln)()()( xfxgxfxg )(ln)()()( xfxgxfxg)(ln)()

10、()(1)()()(xfxgxfxfxgxfxg ).(ln)()()()()()(1)(xfxfxgxfxfxgxgxg 一、高階導(dǎo)數(shù)的概念一、高階導(dǎo)數(shù)的概念第三節(jié)第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)引例引例,sin)(2xxxfy 設(shè)設(shè),cos2)(xxxfy 則則,sin2) )()(xxfy ,cos) )()(xxfy 的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)y的三階導(dǎo)數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)y的一階導(dǎo)數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)y定義定義 函數(shù)的函數(shù)的n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù),稱為該函數(shù)的稱為該函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù).階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)的的0y二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù),.)(,),(2

11、222dxxfddxydyxf或或 ,階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)n.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或四階導(dǎo)數(shù)四階導(dǎo)數(shù), .,),(33dxydyxf 三階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù),.,),(44)4()4(dxydyxf例例1 1).0(),0(,arctanffxy 求求設(shè)設(shè)解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 1.1.直接法直接法: :由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù)由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).二、二、 高階導(dǎo)數(shù)求法舉例高階導(dǎo)數(shù)求法舉例例例2 2.),()(nyrxy求求設(shè)設(shè) 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn則則為自然數(shù)為自然數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 例例4 4.,sin)(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得協(xié)作練習(xí)題協(xié)作練習(xí)題設(shè)設(shè) 連續(xù)，且連續(xù)，且 ，)(xg )()()