數(shù)學(xué)分析曲面積分181

1、第十八章第十八章 曲面積分曲面積分2008052418.1 18.1 第一型曲面積分第一型曲面積分顯顯式式方方程程 . 1一、曲面的表示一、曲面的表示.),( ),(dyxyxzz ; :易易計(jì)算曲面上的點(diǎn)比較容計(jì)算曲面上的點(diǎn)比較容優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn). : 不能表達(dá)封閉的曲面不能表達(dá)封閉的曲面缺點(diǎn)缺點(diǎn)隱隱式式方方程程 . 2.),( , 0),(vzyxzyxf .,上連續(xù)上連續(xù)在在通常會(huì)假設(shè)通常會(huì)假設(shè)vffffzyx),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx 的法向量為的法向量為曲面在點(diǎn)曲面在點(diǎn)),(000zyx特殊地：特殊地：),(yxzz ),(),( yxzzzyxf

2、令令的法向量為的法向量為曲面在點(diǎn)曲面在點(diǎn)),(,(0000yxzyx) 1 , ,(yxzz ) 1 , ,( yxzz上法向量上法向量.2 軸正向夾角不超過軸正向夾角不超過與與z下法向量下法向量參參數(shù)數(shù)方方程程 . 3則稱則稱平面上的一個(gè)區(qū)域平面上的一個(gè)區(qū)域是是設(shè)設(shè) , uv ,為曲面的向量方程為曲面的向量方程 ,),( ),( : vuvurr.),( 3rvur 其中其中),( zyxr 如記如記)1(又可表示成又可表示成則則 )1( .),( ),(),(),( vuvuzzvuyyvuxx)2(.稱為曲面的參數(shù)方程稱為曲面的參數(shù)方程 ,)( : rr的映射的映射的參數(shù)方程看成是如下的

3、參數(shù)方程看成是如下可以把曲面可以把曲面 , 0vv 令令得出得出并將之代入?yún)?shù)方程并將之代入?yún)?shù)方程 (2),),(),(),(000vuzzvuyyvuxx ,上的一段曲線上的一段曲線對(duì)應(yīng)著對(duì)應(yīng)著 . 曲線曲線上的上的稱為稱為u , 0uu 令令),(),(),(000vuzzvuyyvuxx 曲線曲線上的上的得得v ,類似的類似的. , 曲線均可覆蓋住曲面曲線均可覆蓋住曲面曲線曲線 vu偏導(dǎo)向量偏導(dǎo)向量),(),(),(),(0000vuuzvuuyvuuxvuur 的切向量，的切向量，曲線曲線的的是曲面是曲面0 vvu ),(),(),(),(0000vuvzvuvyvuvxvuvr .

4、 0的切向量的切向量曲線曲線的的是曲面是曲面uuv ,類似的類似的特別的，特別的，),( ),(0000vuvrvuur 上上分別是曲面分別是曲面 . ),(000的切向量的切向量曲線曲線曲線和曲線和處的處的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)vupvu中的一段曲線，中的一段曲線，是是設(shè)設(shè) )(),( tvvtuu 并設(shè)并設(shè) , )(),( 000000tvvtuu , 作用下作用下這段曲線在這段曲線在 r,上的一條曲線上的一條曲線對(duì)應(yīng)著對(duì)應(yīng)著 .0p且曲線過點(diǎn)且曲線過點(diǎn)它的向它的向量方程是量方程是),(),( tvturr 則則),( )( tvvrtuurdtdr , 0代入代入將將tt ),( ),( )(

5、 ),(0000000tvvuvrtuvuurdtdrtt ,0的任一條曲線的任一條曲線上過點(diǎn)上過點(diǎn)p :表明表明,0的切向量的切向量它在它在p),( ),(0000vuvrvuur 都是都是.的線性組合的線性組合在同一在同一的任一條曲線的切線都的任一條曲線的切線都上過點(diǎn)上過點(diǎn)0p .平面上平面上.0的切平面的切平面在點(diǎn)在點(diǎn)p ),( ),(0000vuvrvuur 而向量而向量.0的法向量的法向量在點(diǎn)在點(diǎn)是是p ),(00 ),(),( ,),(),( ,),(),( vuvuyxvuxzvuzy :也可寫成也可寫成 ),(),( ,),(),( ,),(),( vuyxvuxzvuzy對(duì)應(yīng)

6、的點(diǎn)處的法向量為對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處的法向量為在一般的在一般的),(vu 計(jì)算計(jì)算2222)(vuvuvurrrrrr . , , :22222222vvvvvuvuvuvuuuuuzyxrgzzyyxxrrfzyxre 記記. ,的第一基本量的第一基本量稱為曲面稱為曲面 gfe2feg 的單位法向量的單位法向量從而得到從而得到 ),(),( ,),(),( ,),(),( 12vuyxvuxzvuzyfegn,vuvurrrr ,),(00 vu設(shè)設(shè)0),(00 vuvurr若若,為為則稱則稱 ),( 00vur,上的正則點(diǎn)上的正則點(diǎn)曲面曲面 .否則稱為奇點(diǎn)否則稱為奇點(diǎn).,稱之為正則曲面稱之為正則曲面

7、上的點(diǎn)全部為正則點(diǎn)時(shí)上的點(diǎn)全部為正則點(diǎn)時(shí)曲面曲面 ,面和法向量面和法向量正則曲面處處存在切平正則曲面處處存在切平.數(shù)的選擇無關(guān)數(shù)的選擇無關(guān)而且法向量的方向和參而且法向量的方向和參, 有參數(shù)向量方程有參數(shù)向量方程正則曲面正則曲面設(shè)設(shè) ,),( ),( vuvurr: 的面積為的面積為則曲面則曲面 dudvvuyxvuxzvuzy2/1222),(),(),(),( ),(),( dudvfeg2 dudvrrvu)(特殊地：特殊地：),(yxzz .),( ,dyx ),(,yxzzyyxx .),( ,dyx , 1),(),( ,),(),( ,),(),( yxyxzyxxzzyxzyyx

8、.1)(22 dyxdxdyzz oxyz一、第一型曲面積分的概念與性質(zhì)一、第一型曲面積分的概念與性質(zhì)引例引例: 設(shè)曲面形物質(zhì)具有連續(xù)面密度),(zyx類似求平面薄板質(zhì)量的思想, 采用kkkk),(可得nk 10limm),(kkk求質(zhì) “大化小, 常代變, 近似和, 求極限” 的方法,量 m.其中, 表示 n 小塊曲面的直徑的最大值 (曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者). 二、第一型曲面積分二、第一型曲面積分定義定義 . 1),( iii 和和), 2 , 1(ni ,的取法無關(guān)的取法無關(guān) 則稱此則稱此上的上的在在極限為極限為 ),( zyxf.第一型曲面積分第一型曲面積分 dszyx

9、f),(iiiniitsf ),(lim10| ,),( dszyxf記為記為,),(lim 10|存在存在若極限若極限iiiniitsf t且與分割且與分割則第一型曲面積分存在. 對(duì)積分域的可加性對(duì)積分域的可加性.,21ss則有szyxfd),(1d),(szyxf2d),(szyxfszyxgkzyxfkd),(),(21 線性性質(zhì)線性性質(zhì).則為常數(shù)設(shè),21kksszyxgkzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 s上連續(xù), 第一型曲面積分與第一型曲線積分性質(zhì)類似. 積分的存在性積分的存在性. 若 s 是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面oxyz定理定理: 設(shè)有光滑曲面yx

10、dyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有szyxfd),(yxdyxf),(szyxfd),(yxyxzyxzyxdd),(),(122二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法 則曲面積分證明證明: 由定義知szyxfd),(kkkksf),(nk 10limyxd),(kkkyxk)(),(yxzksyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxd

11、yxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfszyxfd),(而(光滑)說明說明:zydzyzyxx),(),(zxdzxzxyy),(),(或可有類似的公式.1) 如果曲面方程為2) 若曲面為參數(shù)方程, 只要求出在參數(shù)意義下ds 的表達(dá)式 , 也可將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)的二重積分. 計(jì)算計(jì)算 . 2它的參數(shù)方程為它的參數(shù)方程為是正則曲面是正則曲面設(shè)設(shè) , ,),( ),( vuvurr, ),(上連續(xù)上連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) zyxf則有則有 dudvrrrfdszyxfvu|),(特殊地：特殊地：),(yxzz .),( ,dyx ., ,上連

12、續(xù)上連續(xù)在在平面閉區(qū)域平面閉區(qū)域dzzyx是有面積的是有面積的d則則;1),(,(22dxdyzzyxzyxfdyx dszyxf),(;1),(,(22dxdzyyzzxyxfdzx .1),),(22dydzxxzyzyxfdzy 類似的類似的),(zxyy ),(zyxx :基本步驟基本步驟計(jì)算第一型曲面積分的計(jì)算第一型曲面積分的計(jì)算面元計(jì)算面元 )2(計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分 )3(),( , )1(yxzzr 或者顯表示或者顯表示的參數(shù)表示的參數(shù)表示求出求出 ; d或或定出它們的定義域定出它們的定義域 dudvrrdsvu| 或者或者;122dxdyzzdsyx dudvrrrfvu

13、|或或.1),(,(22dxdyzzyxzyxfdyx 解解1.例例dxdyzzdsyx221 ,2dxdy dszyx)(故故 ddxdyyyx)5(2.2125 2.例例解解,8 ,1 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性dxdyzzdsyx221 dxdy3 dxdyyxayxd 3)(8222原積分原積分.324a yxd例例3. 計(jì)算曲面積分,dzs其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的頂部.解解: :yxdyxyxaz),( ,:2222222:hayxdyx221yxzz 222yxaazsd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxdyxayxa222dd22022d

14、hararr2aoxzyha思考思考:若 是球面2222azyx被平行平面 z =h 截出的上下兩部分,) (dzs) (dzs0hln4aa則hhoxzy例例4. 計(jì)算,dszyx其中 是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面. ozyx111解解: 設(shè)上的部分, 則4321,4dszyx,1:4yxz1010:),(xxydyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx與, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321szyxd 原式 = 分別表示 在平面 xozy例例5. 設(shè)2222:azyx),(zyxf計(jì)算.d),(szyxfi解解: 錐面22yxz的222yxaz.,2122122

15、azayx1設(shè),),(22122ayxyxdyx,22yx ，022yxz當(dāng)22yxz當(dāng)與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分, 它在 xoy 面上的投影域?yàn)?yxd則 1d)(22syxi1d)(22syxiyxdyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxd思考思考: 若例3 中被積函數(shù)改為),(zyxf,22yx ，022yxz當(dāng)22yxz當(dāng)計(jì)算結(jié)果如何 ? zzd例例6. 計(jì)算,d222zyxsi其中 是介于平面之間的圓柱面.222ryx分析分析: 若將曲面分為前后(或左右)zrsd2d則hzrzri022d2rharcta

16、n2hzz,0ohxyz解解: 取曲面面積元素兩片, 則計(jì)算較繁. oyxzl例例7. 求橢圓柱面19522yx位于 xoy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 的側(cè)面積 s . 解解: )0(sin3,cos5:ttytxl取ssdszldtt cosdcos45302sd5ln4159zszsddttttdcos9sin5sin3220syld內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定義:szyxfd),(iiiisf),(ni 10lim2. 計(jì)算: 設(shè),),( , ),(:yxdyxyxzz則szyxfd),(yxdyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他兩種情況類似) 注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對(duì)稱性、重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算的技巧. 設(shè)),0(:2222