定積分的概念與計(jì)算(11)

1、一一 教學(xué)內(nèi)容安排與要求教學(xué)內(nèi)容安排與要求1 內(nèi)容安排：內(nèi)容安排：教學(xué)內(nèi)容安排見(jiàn)教學(xué)大綱，教學(xué)日歷（公教學(xué)內(nèi)容安排見(jiàn)教學(xué)大綱，教學(xué)日歷（公布在網(wǎng)絡(luò)學(xué)堂）布在網(wǎng)絡(luò)學(xué)堂）定積分定積分無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)多元微分多元微分微分方程微分方程2 要求：要求：關(guān)于作業(yè)：交作業(yè)在關(guān)于作業(yè)：交作業(yè)在2/3以上有考試資格以上有考試資格 按時(shí)交作業(yè)，無(wú)故不予補(bǔ)交。按時(shí)交作業(yè)，無(wú)故不予補(bǔ)交。積極參加網(wǎng)絡(luò)學(xué)堂的學(xué)習(xí)討論。積極參加網(wǎng)絡(luò)學(xué)堂的學(xué)習(xí)討論。二二 利用好網(wǎng)絡(luò)學(xué)堂的資源利用好網(wǎng)絡(luò)學(xué)堂的資源功能模塊：教學(xué)大綱，教學(xué)日歷，電子教案，習(xí)題解答，功能模塊：教學(xué)大綱，教學(xué)日歷，電子教案，習(xí)題解答， 課程思考，考研資料，網(wǎng)上測(cè)驗(yàn)課

2、程思考，考研資料，網(wǎng)上測(cè)驗(yàn) 網(wǎng)址網(wǎng)址:http:/ 占總評(píng)的占總評(píng)的50%兩次課堂測(cè)驗(yàn)期中考試課程考核 網(wǎng)絡(luò)學(xué)堂測(cè)驗(yàn)作業(yè)，考勤，課堂表現(xiàn)期末考試三三 課程總評(píng)成績(jī)的評(píng)定課程總評(píng)成績(jī)的評(píng)定占總評(píng)的占總評(píng)的10%占總評(píng)的占總評(píng)的20%占總評(píng)的占總評(píng)的10%占總評(píng)的占總評(píng)的10%四、答疑時(shí)間與地點(diǎn)四、答疑時(shí)間與地點(diǎn)我的郵箱我的郵箱:辦公室答疑：周二下午，教學(xué)樓辦公室答疑：周二下午，教學(xué)樓311室室網(wǎng)絡(luò)學(xué)堂答疑網(wǎng)絡(luò)學(xué)堂答疑第六章第六章 定積分定積分1、引例、引例1 求曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積oxy)(xfy ab0 x1x1ixixnxn);,1,2,(i ,1iiixxxnba段，各段長(zhǎng)為為分

3、割：任分ix1i , (i1,2,n), s( );iiiiitxxf tx近似：任取得到;)(1iniixtfs求和：01lim( );iniixisf tx 取極限：第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念定積分的概念引例引例2 求變速運(yùn)動(dòng)物體在求變速運(yùn)動(dòng)物體在 內(nèi)的路程。內(nèi)的路程。12 , t t設(shè)速度為設(shè)速度為( ),v t則路程則路程01lim( );iniitisv tt 2、定積分的定義、定積分的定義0101lim( )( ) , ,( )lim( )iiniixinbiiaxif txyf xa bf x dxf tx 若存在，則稱之為在上的定積分 記做注注、定積分是個(gè)數(shù)01)(21dxex

4、如：002( ) , f xa b、定積分僅與、有關(guān),與積分變量符號(hào)的選取無(wú)關(guān)。dxex21如：dtet21連續(xù)函數(shù)、有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)可積連續(xù)函數(shù)、有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)可積03 badxxf)( badttf)(0( )baf x dx 2104 ( )ttv t dt、路程 s=a=( )( ( )0)baf x dxf x 面積面積, 0)( xf baadxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積3、定積分的幾何意義、定積分的幾何意義, 0)( xf baadxxf)(曲邊梯形的面積的負(fù)值曲邊梯形的面積的負(fù)值1211x dx在幾何上表示什么含義？1、0)(dxxfaaabdxba

5、12、線性性質(zhì)、線性性質(zhì)dxxfkdxxkfbaba)()( ( )( )( )( )bbbaaaf xg x dxf x dxg x dxdxxfdxxfbaab)()( 第二節(jié)第二節(jié) 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)3、可加性質(zhì)、可加性質(zhì)dxxfdxxfdxxfbccaba)()()(oxy)(xfy abc補(bǔ)充補(bǔ)充：不論：不論 的相對(duì)位置如何的相對(duì)位置如何, 上式總成立上式總成立.cba ,4、比較性質(zhì)、比較性質(zhì)，上若在)()(,xgxfba( )( )bbaaf x dxg x dx有 ( )ab注：11200(1)(1)xdxxdx例：比較積分值和的大小20,1 (1)(1)xxx解：當(dāng)時(shí),

6、，11200(1)(1)xdxxdx所以5、估值定理、估值定理上的最大值和最小值，在分別為、若,)(baxfmm)()()(abmdxxfabmba則221xedx例：估計(jì)積分的值24 121xee解：在，上的最大值為 ，最小值為221(2( 1)(2( 1)xmedxm 224133xeedx6、中值定理、中值定理連續(xù)，在若,)(baxf。使得則)()(,abtfdxxfbatbaoxy)(xfy abt 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上連續(xù)，上連續(xù)， xadxxf)(考察定積分考察定積分記記( )( )xaxf t dt積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)由幾何意義由幾何意義( )baaf x

7、 dx abxyox隨著隨著 的變化而變化，由此建立了一個(gè)函數(shù)的變化而變化，由此建立了一個(gè)函數(shù)x( )yf x 1 積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 定積分的計(jì)算定積分的計(jì)算連續(xù)，在若,)(baxfy ( )( ) ( )xxaxf t dtf x積分上限函數(shù)的性質(zhì)積分上限函數(shù)的性質(zhì)定理（原函數(shù)存在定理）定理（原函數(shù)存在定理） 如果如果)(xf在在,ba上連續(xù)，則積分上限的函上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一個(gè)上的一個(gè)原函數(shù)原函數(shù). .即連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)一定存在。即連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)一定存在。例例 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1 (sin)

8、xat dt sin x 202 (sin)xt dt 0(sin)uuxt dtu 2ux 22 sinxx 0sin3 (1)xt dt sin0(1)xt dt 24 (sin)xxtdt 2(sinsin)axxat dttdt 1sincosxx 2(sin)(sin)xxaat dttdt 2sin2 sinxxx 例例 計(jì)算下列極限計(jì)算下列極限21 limxtaxae dtxa22limlim()xxttaaxaxae dte dtxaxa解:0( )0型2aesin0012 limxtxe dtxsinsin00001limlimxtxtxxe dte dtxx解：sin0co

9、slim1xxex10( )0型2lim1xxae21cos203 limtxxedtx0( )0型21cos20limtxxedtx解：2cos0sinlim2xxx ex12e2cos00sinlimlim2xxxxex又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù), 已知已知)(xf是是)(xf的一個(gè)原函數(shù)，的一個(gè)原函數(shù)，cxxf )()(,bax 證證2 牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式令令ax ,)()(caaf ,)(caf ( )( )xbf bbc 令令( )f a ( )( )( ),bf bf a )()()(afbfdxxfba 20(2cossi

10、n1).xxdx例求111000c2sinosxxx.23 例例 設(shè)設(shè) , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf 102152dxxdx原式原式. 6 1205x2220002cossin1xdxxdxdx解：原式3 定積分的計(jì)算方法定積分的計(jì)算方法一湊微分法利用牛頓萊布尼茲公式( )( )( )baf x dxf bf a例例 計(jì)算計(jì)算.sincos205 xdxx解解16原式250cos(cos )xdx 2601cos6x 例20.axxe dx2201()2axe d x2012axe1(1)2ae解：原式3204

11、4.xxdx例例320(2)xdx302.xdx230222xdxxdx2302(2)(2)x dxxdx2322024222xx52解：原式2233002222dxxdxxdxdxxdx402cos例：dxx4022cos12cos1214040dxxdx4011sin2 | 2 42x2sin2142121421解：原式二二.分部積分法分部積分法bbbaaaudvuvvdu(條件條件: 是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)) ( ), ( )u x v x例51ln xdx 5ln54例10 xxe dx101xee 55111lnxxx dxx1100()xxxee dx10 xxde11(1)ee 2

12、1e 例例 計(jì)算計(jì)算.arcsin210 xdx120arcsinxx12201xdxx621 )1(112120221xdx 12 12201x. 12312 解：原式三三.第二類換元法第二類換元法切記切記:換元的同時(shí)要變限換元的同時(shí)要變限令令3xt解解:32,3xt dxt dt0,0 xt 8,2xt 8301dxx例例30 2xt了解：在 ，上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，0208tx當(dāng) 從 到 時(shí)， 從 單調(diào)地變到822300311dxt dttx2013 (1)1tdtt 2220032 ln(1) 2tt 3(22ln3)3ln32220001311tdtdtdtt解：令解：令sinxt0,0

13、xt 1,26xtcosdxtdt12262200sincoscos1xttdtdxtx620sin tdt601 cos22tdt6011(sin2)2 62t3128122201xdxx例660011cos22dttdt)0( ,022adxxaa例：taxsin解：令tdtadxcos，2022022costdtadxxaadtta20222cos12cos1220202tdtdta2201(sin2)222at211(sin2sin2 0)22222a24a0,0 xt ,2xat 注：此題還可用幾何意義計(jì)算證證00( )( )( ),aaaaf x dxf x dxf x dx例：

14、在 上連續(xù)，( )f x, a a0( )2( )aaaf x dxf x dx( )f x為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，則 ( )0aaf x dx( )f x為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，則 0( )af x dx0()aft dt0()aft dt( )f x為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，則 令令xt 0(),afx dx00( )( )( )aaaaf x dxf x dxf x dx02( )af x dx. 0 ( )f x為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，則 00( )( )( )aaaaf x dxf x dxf x dx131sin x dx如：如：01221 (3)xxdx例：121=(233)xxdx原式1

15、1=36dx證證設(shè)設(shè)tx 2,dtdx 0 x ,2t 2x0,t 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf40221xdxx練習(xí)1223tx12解：令tdtdxtx,21,2則dttdxxx32112231240313| )33(21tt2230,0 xt 4,3xt 32211dxxx 2324sectansectdttt324sectantdtt324cossintdtt324sinsindtt341sint 112()23練習(xí)練習(xí)2tanxt解：令2,secdxtdt1,4xt 3,3xt 32211dxxx 10 xedx練習(xí)練習(xí)

16、32xt解：令2,2xtdxtdt0,0 xt 1,1xt 11002xtedxetdt102( )ttd e102()tee11002()tttee dt21( )131xxf xxx例：設(shè)31(1)f xdx求 1,xt dxdt 解：令1,0 xt 3,2xt 1201( )( )f x dxf x dx1201(13 )xdxx dx1222013()22xxx63210(1)=( )f xdxf t dt0( )(1)xf xtdt例求函數(shù)的極值( )1fxx解：( )0,fx令( )1( )10fxf 又，10(1)(1)ftdt極小值1201()22tt 1x 得2e211 (ln )xdxx例2e118e82edxx2e18e 16e+8(2)x22ee1118e8lnxxxdxx22ee22112(ln )(ln ) xxxdx2e