15定積分的概念296482

1、定積分的概念求由連續(xù)曲線求由連續(xù)曲線y= =f(x)對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的曲邊梯形曲邊梯形面積的方法面積的方法 (2)取近似求和取近似求和:任取任取x xi xi- -1, xi，第，第i個(gè)小曲邊梯形的面積用個(gè)小曲邊梯形的面積用高為高為f(x xi)而寬為而寬為d dx的小矩形面積的小矩形面積f(x xi)d dx近似之。近似之。 (3)取極限取極限:，所求曲邊所求曲邊梯形的梯形的面積面積s為為 取取n個(gè)小矩形面積的和作為曲邊梯個(gè)小矩形面積的和作為曲邊梯形面積形面積s的近似值：的近似值：xiy=f(x)x yobaxi+1xixd1lim( )ninisfxx=d1( )niisfxx=d (1)分割分

2、割:在區(qū)間在區(qū)間a,b上等間隔地插入上等間隔地插入n-1個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn),將它等分成將它等分成n個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間: 每個(gè)小區(qū)間寬度每個(gè)小區(qū)間寬度xban-= 11211,iina xx xxxxb-一、定積分的定義一、定積分的定義 11( )( )nniiiibafxfnxx=-d =小矩形面積和s=如果當(dāng)n時(shí)，s 的無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分，記作 baf (x)dx，即f (x)dx =f (x i)dxi。 從求曲邊梯形面積從求曲邊梯形面積s的過(guò)程中可以看出的過(guò)程中可以看出,通過(guò)通過(guò)“四步四步曲曲”:分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取極限得到解決取極限

3、得到解決.1( )lim( )ninibaf x dxfnx=-=ba即定積分的定義： 定積分的相關(guān)名稱：定積分的相關(guān)名稱： 叫做積分號(hào)，叫做積分號(hào)， f(x) 叫做被積函數(shù)，叫做被積函數(shù)， f(x)dx 叫做被積表達(dá)式，叫做被積表達(dá)式， x 叫做積分變量，叫做積分變量， a 叫做積分下限，叫做積分下限， b 叫做積分上限，叫做積分上限， a, b 叫做積分區(qū)間。叫做積分區(qū)間。1( )lim( )ninibaf x dxfnx=-=ba即oabxy)(xfy = s=baf (x)dx； 按定積分的定義，有 (1) 由連續(xù)曲線y=f(x) (f(x)0) ，直線x=a、x=b及x軸所圍成的曲邊

4、梯形的面積為 (2) 設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的速度v=v(t)，則此物體在時(shí)間區(qū)間a, b內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離s為 s=bav(t)dt。 oab( )vv t=tv定積分的定義：1( )lim( )ninibaf x dxfnx=-=ba即112001( )3sf x dxx dx=根據(jù)定積分的定義右邊圖形的面積為1x yof(x)=x213s =1sd2sd2( )2v tt= -+o ov t t12gggggg3sdjsdnsd1n2n3njn1nn-4sd112005( )(2)3sv t dttdt=- =根據(jù)定積分的定義左邊圖形的面積為1.dxxf)(與badxxf)(的差別3定積分的值與積分變量用

5、什么字母表示無(wú)關(guān)，即有=bababaduufdttfdxxf)()()(4規(guī)定： -=abbadxxfdxxf)()(0)(=aadxxfdxxf)(是)(xf的全體原函數(shù) 是函數(shù)badxxf)(是一個(gè)和式的極限 是一個(gè)確定的常數(shù)注：2 .當(dāng)xfinid=)(1x的極限存在時(shí)，其極限值僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與區(qū)間ba,的分法及xi點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)。f(x)a,b(2)定積分的幾何意義：ox yab y=f (x)baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 x=a、x=b與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積。 當(dāng) f(x)0 時(shí)，積分dxxfba)(在幾何上表示由 y=f (x)、 特別

6、地，當(dāng) a=b 時(shí)，有baf (x)dx=0。 當(dāng)f(x)0時(shí)，由y=f (x)、x=a、x=b 與 x 軸所圍成的曲邊梯形位于 x 軸的下方，x yodxxfsba)(-=-，dxxfba)(ab y=f (x) y=-f (x)dxxfsba)(-=baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 =-s上述曲邊梯形面積的負(fù)值。 定積分的幾何意義：積分baf (x)dx 在幾何上表示 baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 =-sab y=f (x)ox y( )yg x=探究探究:根據(jù)定積分的幾何意義根據(jù)定積分的幾何意義,如何用定積分表示圖中如何用定積分表示圖中陰影部分

7、的面積陰影部分的面積?ab y=f (x)ox y1()basfx dx=( )yg x=12( )( )bbaas s sf xdxg xdx= -=-2( )basg x dx=三三: : 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1. 1. dx)x( g)x(fba = =babadx)x( gdx)x(f性質(zhì)性質(zhì)2. 2. badx)x(kf = =badx)x(fk三三: : 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì) 定積分關(guān)于積分區(qū)間具有定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性可加性 = =bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性質(zhì)性質(zhì)3. 3. = =2121 ccbccabadx)x

8、(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fox yab y=f (x)性質(zhì)性質(zhì) 3 不論不論a，b，c的相對(duì)位置如何都有的相對(duì)位置如何都有ab y=f(x)baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx =f (x)dxbcf (x)dx。 cox ybaf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 例例1：利用定積分的定義：利用定積分的定義,計(jì)算計(jì)算 的值的值. 130 x d x例2.用定積分表示圖中四個(gè)陰影部分面積積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(0)(12=xf

9、axxf解：dxxaa20=0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(21)(22-=xfxxf解：dxxa221-=0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(1)(3=xfbaxf解：dxaba=0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-

10、1)2-1可得陰影部分的面積為根據(jù)定積分的幾何意義，上，在上，上連續(xù)，且在，在）在圖中，被積函數(shù)（0)(20, 0)(01211) 1()(42-=xfxfxxf解：dxxdxxa-=- 1) 1( 1) 1(2202010000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1成立。說(shuō)明等式利用定積分的幾何意義0sin22=-xdx例3：解：所以并有上，在上，上連續(xù)，且在，在在右圖中，被積函數(shù), 0sin20, 0sin0222sin)(21aaxxxxf=-=0)(1222=-=-aadxxf2-22a1axyf(x)=sinx1-1 利用定積分的幾何意義，判斷下列定積分 值的正、負(fù)號(hào)。20sinxdx-212dxx利用定積分的幾何意義，說(shuō)明下列各式。 成立：0sin20=xdx=200sin2sinxdxxdx1）2）.1）2）.練習(xí)：試用定積分表示下列各圖中影陰部分的面積。0yxy=x21 20 x