高中數(shù)學(xué)新人教A版必修5教案 2.5 等比數(shù)列的前n項和2

1、起2.5等比數(shù)列的前n項和教學(xué)過程推進新課合作探究師 在對一般形式推導(dǎo)之前，我們先思考一個特殊的簡單情形：1+q+q2+qn=？師 這個式子更突出表現(xiàn)了等比數(shù)列的特征，請同學(xué)們注意觀察.生 觀察、獨立思考、合作交流、自主探究.師 若將上式左邊的每一項乘以公比q，就出現(xiàn)了什么樣的結(jié)果呢？生 q+q2+qn+q n+1.生 每一項就成了它后面相鄰的一項.師 對上面的問題的解決有什么幫助嗎？師 生共同探索：如果記sn=1+q+q2+qn,那么qsn=q+q2+qn+q n+1.要想得到sn，只要將兩式相減，就立即有(1-q)sn=1-qn.師 提問學(xué)生如何處理，適時提醒學(xué)生注意q的取值.生 如果q1

2、，則有.師 當(dāng)然，我們還要考慮一下如果q1問題是什么樣的結(jié)果.生 如果q1，那么sn=n.師 上面我們先思考了一個特殊的簡單情形，那么，對于等比數(shù)列的一般情形我們怎樣思考？課件展示：a1+a2+a3+an=？教師精講師 在上面的特殊簡單情形解決過程中，蘊含著一個特殊而且重要的處理問題的方法，那就是“錯位相減，消除差別”的方法.我們將這種方法簡稱為“錯位相減法”.師 在解決等比數(shù)列的一般情形時，我們還可以使用“錯位相減法”.如果記sn=a1+a2+a3+an,那么qsn=a1q+a2q+a3q+anq,要想得到sn，只要將兩式相減，就立即有(1-q)sn=a1-anq.師 再次提醒學(xué)生注意q的取

3、值.如果q1，則有.師 上述過程如果我們略加變化一下，還可以得到如下的過程：如果記sn=a1+a1q+a1q2+a1q n-1,那么qsn=a1q+a1q2+a1qn-1+a1qn,要想得到sn，只要將兩式相減，就立即有(1-q)sn=a1-a1qn.如果q1，則有.師 上述推導(dǎo)過程，只是形式上的不同，其本質(zhì)沒有什么差別，都是用的“錯位相減法”. 形式上，前一個出現(xiàn)的是等比數(shù)列的五個基本量：a1,q,an,sn,n中a1,q,an,sn四個；后者出現(xiàn)的是a1,q,sn,n四個，這將為我們今后運用公式求等比數(shù)列的前n項的和提供了選擇的余地. 值得重視的是：上述結(jié)論都是在“如果q1”的前提下得到的

4、.言下之意，就是只有當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比q1時，我們才能用上述公式.師 現(xiàn)在請同學(xué)們想一想，對于等比數(shù)列的一般情形，如果q1問題是什么樣的結(jié)果呢？ 生 獨立思考、合作交流.生 如果q1，sn=na1.師 完全正確.如果q1，那么sn=nan正確嗎？怎么解釋？生 正確.q1時，等比數(shù)列的各項相等，它的前n項的和等于它的任一項的n倍.師 對了，這就是認清了問題的本質(zhì).師 等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)還有其他的方法，下面我們一起再來探討一下：合作探究思路一：根據(jù)等比數(shù)列的定義，我們有：,再由合比定理，則得,即,從而就有(1-q)sn=a1-anq.(以下從略)思路二：由sn=a1+a2+a3+an得sn

5、=a1+a1q+a2q+a n-1q=a1+q(a1+a2+a n-1)=a1+q(sn-an),從而得(1-q)sn=a1-anq.(以下從略)師 探究中我們們應(yīng)該發(fā)現(xiàn)，sn-s n-1=an是一個非常有用的關(guān)系，應(yīng)該引起大家足夠的重視.在這個關(guān)系式中，n的取值應(yīng)該滿足什么條件？生 n1.師 對的，請同學(xué)們今后多多關(guān)注這個關(guān)系式：sn-s n-1=an，n1.師 綜合上面的探究過程，我們得出：或者例題剖析【例題1】 求下列等比數(shù)列的前8項的和：(1),；(2)a1=27,a9=,q0.合作探究師生共同分析：由(1)所給條件，可得，,求n8時的和，直接用公式即可.由(2)所給條件，需要從中獲取

6、求和的條件，才能進一步求n8時的和.而a9=a1q8，所以由條件可得q8= =，再由q0，可得，將所得的值代入公式就可以了.生 寫出解答：(1)因為,，所以當(dāng)n8時，.(2)由a1=27,，可得，又由q0，可得,于是當(dāng)n8時，.【例題2】 某商場今年銷售計算機5 000臺，如果平均每年的銷售量比上一年的銷售量增加10%，那么從今年起，大約幾年可使總銷售量達到30 000臺(結(jié)果保留到個位)？師 根據(jù)題意，從中發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系，從中抽象出等比數(shù)列，并明確這是一個已知sn=30 000求n的問題.生 理解題意，從中發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系，并找出等比數(shù)列中的基本量，列式，計算.解：根據(jù)題意，每年的銷售量比上一年增

7、加的百分率相同，所以，從今年起，每年銷售量組成一個等比數(shù)列an，其中a1=5 000,q=1+10%=1.1,sn=30 000.于是得到,整理得1.1n=1.6,兩邊取對數(shù)，得nlg1.1=lg1.6,用計算器算得5(年).答：大約5年可以使總銷售量達到30 000臺.練習(xí)：教材第66頁，練習(xí)第1、2、3題.課堂小結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)了如下內(nèi)容：1.等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)；特別是在推導(dǎo)過程中，學(xué)到了“錯位相減法”.2.等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用.因為公式涉及到等比數(shù)列的基本量中的4個量，一般需要知道其中的3個，才能求出另外一個量.另外應(yīng)該注意的是，由于公式有兩個形式，在應(yīng)用中應(yīng)該根據(jù)題意所給的條件

8、，適當(dāng)選擇運用哪一個公式.在使用等比數(shù)列求和公式時，注意q的取值是至關(guān)重要的一個環(huán)節(jié)，需要放在第一位來思考.布置作業(yè)課本第69頁習(xí)題2.5 a組第1、2、3題.板書設(shè)計等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)與應(yīng)用等比數(shù)列的前n項和公式情境問題的推導(dǎo) 一般情形的推導(dǎo) 例1練習(xí)：(學(xué)生板演) 例2練習(xí)：(學(xué)生板演)第二課時教學(xué)過程推進新課例題剖析師 出示投影膠片2：課本第70頁b組題第4題：例1思考以下問題：(1)依教育儲蓄的方式，每月存50元，連續(xù)存3年，到期(3年)或6年時一次可支取本息共多少元？(2)依教育儲蓄的方式，每月存a元，連續(xù)存3年，到期(3年)或6年時一次可支取本息共多少元？(3)依教育儲蓄的

9、方式，每月存50元，連續(xù)存3年，到期(3年)時一次可支取本息比同檔次的“零存整取”多收益多少元？(4)欲在3年后一次支取教育儲蓄本息合計1萬元，每月應(yīng)存入多少元？(5)欲在3年后一次支取教育儲蓄本息合計a萬元，每月應(yīng)存入多少元？(6)依教育儲蓄方式，原打算每月存100元，連續(xù)存6年，可是到了4年時，學(xué)生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？(7)依教育儲蓄方式，原打算每月存a元，連續(xù)存6年，可是到了b年時，學(xué)生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？(8)不用教育儲蓄方式，而用其他的儲蓄方式，以每月可存100元，6年后使用為例，探討以現(xiàn)行的利率標(biāo)準可能的最大收益，將得到的結(jié)果與教

10、育儲蓄比較.合作探究師 要解決上面的這些問題，我們必須要了解一點銀行的業(yè)務(wù)知識，據(jù)調(diào)查，銀行整存整取定期儲蓄存款利率計算公式是這樣的：若每月固定存a元，連續(xù)存n個月，則計算利息的公式為×月利率.師 你能解釋這個公式的含義嗎？生 獨立思考、合作交流、自主探究.師 (在學(xué)生充分探究后揭示)設(shè)月利率為q，則這個公式實際上是數(shù)列：aq,2aq,3aq,naq,的前n項和.這個數(shù)列的項不正是依次月數(shù)的利息數(shù)？這個數(shù)列具有什么特征呢？生 發(fā)現(xiàn)等差關(guān)系.師 用我們的數(shù)學(xué)語言來說，這是個首項為aq，公差為aq的等差數(shù)列，而不是一個等比數(shù)列.從這個公式中我們知道，銀行整存整取定期儲蓄存款利率計算不是按

11、復(fù)利(利生息利滾利)計算的.我們把這樣的計算利息的方法叫做按單利(利不生息利不滾利)計算.這是我們在計算時必須弄明白的，否則，我們計算的結(jié)果就會與銀行計算的實際結(jié)果不一致. 師 我們還需要了解銀行的三年期、五年期的整存整取的存款利率，以及三年期零存整取的存款利率和利息稅率：三年期整存整取存款年利率為2.52%，月利率為0.21%；五年整存整取存款年利率為2.79%，月利率為0.232 5%；三年期零存整取存款年利率為1.89%，月利率為0.157 5%；利息稅率為20%.師 下面我們來看第一個問題的結(jié)果.生 計算，報告結(jié)果.師 生共同解答：(1)解：因為三年期整存整取存款年利率為2.52%，月

12、利率為0.21%，故依教育儲蓄的方式，每月存50元，連續(xù)存3年，到期一次可支取本息共×0.21%+1 8001 869.93(元).因為五年整存整取存款年利率為2.79%，月利率為0.232 5%，故依教育儲蓄的方式，若每月存入每月存50元，連續(xù)存6年，到期一次可支取本息共×0.232 5%+3 6003 905.50(元).(2)每月存入每月存a元，連續(xù)存3年，到期一次可支取本息共×0.21%+36a(元).若每月存入每月存a元，連續(xù)存6年，到期一次可支取本息共×0.232 5%+72a(元).(3)因為三年期零存整取存款年利率為1.89%，月利率為0

13、.157 5%，故每月存50元，連續(xù)存3年，到期一次可支取本息共×0.157 5%×80%+1 800=1 841.96(元).比教育儲蓄的方式少收益27.97(元).(4)設(shè)每月應(yīng)存入x元，由教育儲蓄的計算公式得×0.21%+36x10 000.解得x267.39(元)，即每月應(yīng)存入267.39(元).(5)設(shè)每月應(yīng)存入x元，由教育儲蓄的計算公式得×0.21%+36x10 000a.解得x= =267.39a，即每月應(yīng)存入267.39a(元).(6)根據(jù)銀行出臺的教育儲蓄管理辦法，需要提前支取的，在提供證明的情況下，按實際存期和開戶日同期同檔次整存整取

14、定期儲蓄存款利率計付利息，并免征儲蓄存款利息所得稅.故該學(xué)生支取時，應(yīng)按照三年期整存整取存款年利率為2.52%，月利率為0.21%進行計算.由計算公式得×0.21%+4 8005 046.96(元).(7)與第6小題類似，應(yīng)根據(jù)實際存期進行同檔次計算.一到兩年的按一年期整存整取計息.一年期整存整取存款年利率為1.98%，月利率為0.165%，故當(dāng)b=1或2時，由計算公式得×0.165%+12ab(元).當(dāng)b=3或4或5時，應(yīng)按照三年期整存整取存款年利率為2.52%，月利率為0.21%進行計算.根據(jù)計算公式得×0.21%+12ab(元).(8)此題可以選擇多種儲蓄方

15、式，學(xué)生可能提供多個結(jié)果，只要他們計算方式符合規(guī)定的儲蓄方式即可.教師可以組織學(xué)生討論，然后選擇一個最佳答案.概括總結(jié)師 在我們上述探究問題的過程中，我們學(xué)到了許多課本上沒有的東西，增長了一些銀行存款的知識.我們可以用這些知識去規(guī)劃一下自己將來接受教育的存款計劃，并與家長商量，看能不能付諸于現(xiàn)實；我們也可以為身邊的親朋好友當(dāng)個小參謀，把你學(xué)到的知識講解給他們聽一聽，看他們能不能接受你的意見和建議.從生產(chǎn)實際和社會生活中，我們還能尋找到更多的探究題材，只要我們做個有心人，我們學(xué)到的知識就能與生產(chǎn)實際與社會生活緊密的結(jié)合起來.說明：此例文字量大，閱讀理解能力要求較高，但是弄通問題的基本含義后，因為

16、其蘊含的數(shù)學(xué)知識和方法并不深奧，計算量也不大，所以可以說是一個非常好的探究性問題.可以猜想，這也是普通高中新課程標(biāo)準推崇它作為一個典型例題的理由.師 下面的問題需要我們用更多的數(shù)學(xué)知識才能解決它.出示投影膠片3：例2你能估計函數(shù)y=9-x2在第一象限的圖象與x軸、y軸圍成的區(qū)域的面積嗎？出示多媒體圖片1：師 如圖，為了估計函數(shù)y=9-x2在第一象限的圖象與x軸、y軸圍成的區(qū)域的面積x，把x軸上的區(qū)間0，3分成n等份.從各分點作y軸平行線與圖象相交，再從各交點向左作x軸平行線，構(gòu)成(n-1)個矩形.下面用程序來計算這(n-1)個矩形的面積的和s.sum=0k=1input請輸入將0，3分成的份數(shù)

17、n：”;nwhile k=n-1an=(9-(k*3/n)2)*3/nsum=sum=anprintk,an,sumk=k=1wendend閱讀程序，回答下列問題：(1)程序中的an，sum分別表示什么，為什么？(2)請根據(jù)程序分別計算當(dāng)n6，11，16時，各個矩形的面積的和(不必在計算機上運行程序). 師 你能回答第一個問題嗎？生 an表示第個矩形的面積，sum表示前個矩形面積的和.生 當(dāng)把x軸上的區(qū)間0，3分成n等份時，各等份的長都是.理由是：各分點的橫坐標(biāo)分別是, ,.從各分點作y軸平行線與y=9-x2圖象相交，交點的縱坐標(biāo)分別是, ,.它們分別是各個相應(yīng)矩形的高，所以各個矩形面積分別是

18、, .師 對學(xué)生的思考給予高度的贊揚.師 當(dāng)我們把x軸上的區(qū)間0，3分成n等份時，按照上面的作圖方法，我們得到了函數(shù)y=9-x2在第一象限的圖象與x軸、y軸圍成的區(qū)域內(nèi)的n-1個矩形.師 想一想，這個由各個矩形面積組成的數(shù)列的前n-1項和如何求.生 自主探究.列式：=.師 引導(dǎo)學(xué)生整理所列出的式子，得到上述最后一道式子.師 求和時遇到了12+22+n2的計算問題，這也是一個求數(shù)列前n項和的問題.關(guān)于這個問題，我們只要求大家知道，這是求數(shù)列：12,22,32,n2,的前n項和的問題.由于這個數(shù)列不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，因此不能用已經(jīng)推導(dǎo)出來的等差數(shù)列前n項和公式與等比數(shù)列前n項和公式.而這

19、個和的計算，要求同學(xué)們記得它的計算公式.即要求記?。?2+22+n2=.關(guān)于這個公式的推導(dǎo)過程，我們可以作為知識拓展的材料，放在課外進行探究性學(xué)習(xí).師 運用這個公式，請把上面的n-1個矩形面積的和計算出來.生 繼續(xù)運算.sn-1= 9(n-1)-( )212+22+(n-1)2=9(n-1)-( )2=.師 明確一下計算結(jié)果，再繼續(xù)帶領(lǐng)學(xué)生一起理解第2小題的含義并得出結(jié)果.師 根據(jù)程序，當(dāng)n6時，5個矩形的面積的和就是輸入n6，sum的最后一個輸出值,sum=15.625.那么當(dāng)n11時，10個矩形的面積的和就是n11時，sum的最后一個輸出值，即sum=16.736；當(dāng)n=16時，我們就得到15個矩形面積的和sum=17.139.當(dāng)n=17時，sum的最后一個輸出值是多少？生 n=17時，sum的最后一個輸出值sum=17.190.師 你是怎么計算n=17時，sum的最后一個輸出值的呢？生 是用上面推導(dǎo)出來的計算公式：.當(dāng)n=500時，sum的最后一個輸出值sum=?當(dāng)n=1 000時，sum的最后一個輸出值sum=?生 用公式，不難算出n=500時，sum=17.973；n=1 000時，sum=17.9