二次函數(shù)平行四邊形存在性問題例題

1、二次函數(shù)平行四邊形存在性問題例題一解答題（共9小題）1如圖，拋物線經(jīng)過A（1，0），B（5，0），C（0，）三點（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標；（3）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由2如圖，在平面直角坐標系中，直線y=3x3與x軸交于點A，與y軸交于點C拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點，且與x軸交于另一點B（點B在點A右側(cè)）（1）求拋物線的解析式及點B坐標；（2）若點M是線段BC上一動點，過點M的直線EF平行y軸交x軸于點F

2、，交拋物線于點E求ME長的最大值；（3）試探究當(dāng)ME取最大值時，在x軸下方拋物線上是否存在點P，使以M，F(xiàn)，B，P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，試說明理由3已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線與x軸、y軸的交點分別為A、B兩點，將OBA對折，使點O的對應(yīng)點H落在直線AB上，折痕交x軸于點C（1）直接寫出點C的坐標，并求過A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）若（1）中拋物線的頂點為D，在直線BC上是否存在點P，使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；（3）若把（1）中的拋物線向左平移3.5個單位，則圖象與x軸交于F、N

3、（點F在點N的左側(cè)）兩點，交y軸于E點，則在此拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使點Q到E、N兩點的距離之差最大？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由4已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線與x軸、y軸的交點分別為A、B，將OBA對折，使點O的對應(yīng)點H落在直線AB上，折痕交x軸于點C（1）直接寫出點C的坐標，并求過A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）若拋物線的頂點為D，在直線BC上是否存在點P，使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；（3）設(shè)拋物線的對稱軸與直線BC的交點為T，Q為線段BT上一點，直接寫出|QAQO|的取值范圍5如圖，RtOAB

4、如圖所示放置在平面直角坐標系中，直角邊OA與x軸重合，OAB=90°，OA=4，AB=2，把RtOAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點B旋轉(zhuǎn)到點C的位置，一條拋物線正好經(jīng)過點O，C，A三點（1）求該拋物線的解析式；（2）在x軸上方的拋物線上有一動點P，過點P作x軸的平行線交拋物線于點M，分別過點P，點M作x軸的垂線，交x軸于E，F(xiàn)兩點，問：四邊形PEFM的周長是否有最大值？如果有，請求出最值，并寫出解答過程；如果沒有，請說明理由（3）如果x軸上有一動點H，在拋物線上是否存在點N，使O（原點）、C、H、N四點構(gòu)成以O(shè)C為一邊的平行四邊形？若存在，求出N點的坐標；若不存在，請說明理由

5、6如圖，直線y=x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，當(dāng)BEC面積最大時，請求出點E的坐標和BEC面積的最大值？（3）在（2）的結(jié)論下，過點E作y軸的平行線交直線BC于點M，連接AM，點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由7如圖，拋物線y=ax2+bx+2與坐標軸交于A、B、C三點，其中B（4，0）、C（2，0），連接AB、AC，在第一象限內(nèi)的拋物線上有一動點D，過D作D

6、Ex軸，垂足為E，交AB于點F（1）求此拋物線的解析式；（2）在DE上作點G，使G點與D點關(guān)于F點對稱，以G為圓心，GD為半徑作圓，當(dāng)G與其中一條坐標軸相切時，求G點的橫坐標；（3）過D點作直線DHAC交AB于H，當(dāng)DHF的面積最大時，在拋物線和直線AB上分別取M、N兩點，并使D、H、M、N四點組成平行四邊形，請你直接寫出符合要求的M、N兩點的橫坐標8已知直線y=kx+b（k0）過點F（0，1），與拋物線y=x2相交于B、C兩點（1）如圖1，當(dāng)點C的橫坐標為1時，求直線BC的解析式；（2）在（1）的條件下，點M是直線BC上一動點，過點M作y軸的平行線，與拋物線交于點D，是否存在這樣的點M，使得

7、以M、D、O、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，設(shè)B（mn）（m0），過點E（01）的直線lx軸，BRl于R，CSl于S，連接FR、FS試判斷RFS的形狀，并說明理由9拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A（0，2），B（3，2）兩點，若兩動點D、E同時從原點O分別沿著x軸、y軸正方向運動，點E的速度是每秒1個單位長度，點D的速度是每秒2個單位長度（1）求拋物線與x軸的交點坐標；（2）若點C為拋物線與x軸的交點，是否存在點D，使A、B、C、D四點圍成的四邊形是平行四邊形？若存在，求點D的坐標；若不存在，說明理由；（3）問幾秒鐘時，B、D、E在同一

8、條直線上？2017年05月03日1587830199的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一解答題（共9小題）1（2016安順）如圖，拋物線經(jīng)過A（1，0），B（5，0），C（0，）三點（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標；（3）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a0），A（1，0），B（5，0），C（0，）三點在拋物線上，解得拋物線的解析式為：y=x22x；（2）拋物線的解析式為：y=

9、x22x，其對稱軸為直線x=2，連接BC，如圖1所示，B（5，0），C（0，），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k0），解得，直線BC的解析式為y=x，當(dāng)x=2時，y=1=，P（2，）；（3）存在如圖2所示，當(dāng)點N在x軸下方時，拋物線的對稱軸為直線x=2，C（0，），N1（4，）；當(dāng)點N在x軸上方時，如圖，過點N2作N2Dx軸于點D，在AN2D與M2CO中，AN2DM2CO（ASA），N2D=OC=，即N2點的縱坐標為x22x=，解得x=2+或x=2，N2（2+，），N3（2，）綜上所述，符合條件的點N的坐標為（4，），（2+，）或（2，）2（2016十堰一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線

10、y=3x3與x軸交于點A，與y軸交于點C拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點，且與x軸交于另一點B（點B在點A右側(cè)）（1）求拋物線的解析式及點B坐標；（2）若點M是線段BC上一動點，過點M的直線EF平行y軸交x軸于點F，交拋物線于點E求ME長的最大值；（3）試探究當(dāng)ME取最大值時，在x軸下方拋物線上是否存在點P，使以M，F(xiàn)，B，P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，試說明理由【解答】解：（1）當(dāng)y=0時，3x3=0，x=1A（1，0）當(dāng)x=0時，y=3，C（0，3），拋物線的解析式是：y=x22x3當(dāng)y=0時，x22x3=0，解得：x1=1，x2=3B（3，0）（

11、2）由（1）知B（3，0），C（0，3）直線BC的解析式是：y=x3，設(shè)M（x，x3）（0x3），則E（x，x22x3）ME=（x3）（x22x3）=x2+3x=（x）2+；當(dāng)x=時，ME的最大值為（3）答：不存在由（2）知ME取最大值時ME=，E（，），M（，）MF=，BF=OBOF=設(shè)在拋物線x軸下方存在點P，使以P、M、F、B為頂點的四邊形是平行四邊形，則BPMF，BFPMP1（0，）或P2（3，）當(dāng)P1（0，）時，由（1）知y=x22x3=3P1不在拋物線上當(dāng)P2（3，）時，由（1）知y=x22x3=0P2不在拋物線上綜上所述：在x軸下方拋物線上不存在點P，使以P、M、F、B為頂點的四

12、邊形是平行四邊形3（2016義烏市模擬）已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線與x軸、y軸的交點分別為A、B兩點，將OBA對折，使點O的對應(yīng)點H落在直線AB上，折痕交x軸于點C（1）直接寫出點C的坐標，并求過A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）若（1）中拋物線的頂點為D，在直線BC上是否存在點P，使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；（3）若把（1）中的拋物線向左平移3.5個單位，則圖象與x軸交于F、N（點F在點N的左側(cè)）兩點，交y軸于E點，則在此拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使點Q到E、N兩點的距離之差最大？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請

13、說明理由【解答】解：（1）連接CH由軸對稱得CHAB，BH=BO，CH=CO在CHA中由勾股定理，得AC2=CH2+AH2直線與x軸、y軸的交點分別為A、B兩點當(dāng)x=0時，y=6，當(dāng)y=0時，x=8B（0，6），A（8，0）OB=6，OA=8，在RtAOB中，由勾股定理，得AB=10設(shè)C（a，0），OC=aCH=a，AH=4，AC=8a，在RtAHC中，由勾股定理，得（8a）2=a2+42解得a=3C（3，0）設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c，由題意，得解得：拋物線的解析式為：（2）由（1）的結(jié)論，得D（）DF=設(shè)BC的解析式為：y=kx+b，則有解得直線BC的解析式為：y=2x+6設(shè)

14、存在點P使四邊形ODAP是平行四邊形，P（m，n）作PEOA于E，HD交OA于FPEO=AFD=90°，PO=DA，PODAPOE=DAFOPEADFPE=DF=n=×=P（）當(dāng)x=時，y=2×+6=1點P不再直線BC上，即直線BC上不存在滿足條件的點P（3）由題意得，平移后的解析式為：對稱軸為：x=2，當(dāng)x=0時，y=當(dāng)y=0時，0=解得：F在N的左邊F（，0），E（0，），N（，0）連接EF交x=2于Q，設(shè)EF的解析式為：y=kx+b，則有解得：EF的解析式為：y=x解得：Q（2，）4（2016深圳模擬）已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線與x軸、y軸的

15、交點分別為A、B，將OBA對折，使點O的對應(yīng)點H落在直線AB上，折痕交x軸于點C（1）直接寫出點C的坐標，并求過A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）若拋物線的頂點為D，在直線BC上是否存在點P，使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；（3）設(shè)拋物線的對稱軸與直線BC的交點為T，Q為線段BT上一點，直接寫出|QAQO|的取值范圍【解答】解：（1）點C的坐標為（3，0）（1分）點A、B的坐標分別為A（8，0），B（0，6），可設(shè)過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=a（x3）（x8）將x=0，y=6代入拋物線的解析式，得（2分）過A、B、C三點的拋物線的解析式

16、為（3分）（2）可得拋物線的對稱軸為直線，頂點D的坐標為，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為G直線BC的解析式為y=2x+6.4分）設(shè)點P的坐標為（x，2x+6）解法一：如圖，作OPAD交直線BC于點P，連接AP，作PMx軸于點MOPAD，POM=GAD，tanPOM=tanGAD，即解得經(jīng)檢驗是原方程的解此時點P的坐標為（5分）但此時，OMGA，OPAD，即四邊形的對邊OP與AD平行但不相等，直線BC上不存在符合條件的點P（6分）解法二：如圖，取OA的中點E，作點D關(guān)于點E的對稱點P，作PNx軸于點N則PEO=DEA，PE=DE可得PENDEG由，可得E點的坐標為（4，0）NE=EG=，ON=O

17、ENE=，NP=DG=點P的坐標為（5分）x=時，點P不在直線BC上直線BC上不存在符合條件的點P（6分）（3）|QAQO|的取值范圍是（8分）當(dāng)Q在OA的垂直平分線上與直線BC的交點時，（如點K處），此時OK=AK，則|QAQO|=0，當(dāng)Q在AH的延長線與直線BC交點時，此時|QAQO|最大，直線AH的解析式為：y=x+6，直線BC的解析式為：y=2x+6，聯(lián)立可得：交點為（0，6），OQ=6，AQ=10，|QAQO|=4，|QAQO|的取值范圍是：0|QAQO|45（2016山西模擬）如圖，RtOAB如圖所示放置在平面直角坐標系中，直角邊OA與x軸重合，OAB=90°，OA=4，

18、AB=2，把RtOAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點B旋轉(zhuǎn)到點C的位置，一條拋物線正好經(jīng)過點O，C，A三點（1）求該拋物線的解析式；（2）在x軸上方的拋物線上有一動點P，過點P作x軸的平行線交拋物線于點M，分別過點P，點M作x軸的垂線，交x軸于E，F(xiàn)兩點，問：四邊形PEFM的周長是否有最大值？如果有，請求出最值，并寫出解答過程；如果沒有，請說明理由（3）如果x軸上有一動點H，在拋物線上是否存在點N，使O（原點）、C、H、N四點構(gòu)成以O(shè)C為一邊的平行四邊形？若存在，求出N點的坐標；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）因為OA=4，AB=2，把AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，可以確

19、定點C的坐標為（2，4）；由圖可知點A的坐標為（4，0），又因為拋物線經(jīng)過原點，故設(shè)y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，得，解得所以拋物線的解析式為y=x2+4x；（2）四邊形PEFM的周長有最大值，理由如下：由題意，如圖所示，設(shè)點P的坐標為P（a，a2+4a）則由拋物線的對稱性知OE=AF，EF=PM=42a，PE=MF=a2+4a，則矩形PEFM的周長L=242a+（a2+4a）=2（a1）2+10，當(dāng)a=1時，矩形PEFM的周長有最大值，Lmax=10；（3）在拋物線上存在點N，使O（原點）、C、H、N四點構(gòu)成以O(shè)C為一邊的平行四邊形，理由如下：y=x2+4x=（x2）2+4可

20、知頂點坐標（2，4），知道C點正好是頂點坐標，知道C點到x軸的距離為4個單位長度，過點C作x軸的平行線，與x軸沒有其它交點，過y=4作x軸的平行線，與拋物線有兩個交點，這兩個交點為所求的N點坐標所以有x2+4x=4 解得x1=2+，x2=2N點坐標為N1（2+，4），N2（2，4）6（2015葫蘆島）如圖，直線y=x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，當(dāng)BEC面積最大時，請求出點E的坐標和BEC面積的最大值？（3）在（2）的結(jié)論下，過點E作y軸的平行線交直線BC于點M，連接AM，點Q是

21、拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由【解答】解：（1）直線y=x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，點B的坐標是（0，3），點C的坐標是（4，0），拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點，解得y=x2+x+3（2）如圖1，過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M，EF交x軸于點F，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，設(shè)點E的坐標是（x，x2+x+3），則點M的坐標是（x，x+3），EM=x2+x+3（x+3）=x2+x，SBEC=SBEM+SMEC=×（x2+x）×

22、;4=x2+3x=（x2）2+3，當(dāng)x=2時，即點E的坐標是（2，3）時，BEC的面積最大，最大面積是3（3）在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形如圖2，由（2），可得點M的橫坐標是2，點M在直線y=x+3上，點M的坐標是（2，），又點A的坐標是（2，0），AM=，AM所在的直線的斜率是：；y=x2+x+3的對稱軸是x=1，設(shè)點Q的坐標是（1，m），點P的坐標是（x，x2+x+3），則解得或，x0，點P的坐標是（3，）如圖3，由（2），可得點M的橫坐標是2，點M在直線y=x+3上，點M的坐標是（2，），又點A的坐標是（2，0），AM=，AM所在的直線的斜率是：；y

23、=x2+x+3的對稱軸是x=1，設(shè)點Q的坐標是（1，m），點P的坐標是（x，x2+x+3），則解得或，x0，點P的坐標是（5，）如圖4，由（2），可得點M的橫坐標是2，點M在直線y=x+3上，點M的坐標是（2，），又點A的坐標是（2，0），AM=，y=x2+x+3的對稱軸是x=1，設(shè)點Q的坐標是（1，m），點P的坐標是（x，x2+x+3），則解得，點P的坐標是（1，）綜上，可得在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形，點P的坐標是（3，）、（5，）、（1，）7（2015梧州）如圖，拋物線y=ax2+bx+2與坐標軸交于A、B、C三點，其中B（4，0）、C（2，0），連

24、接AB、AC，在第一象限內(nèi)的拋物線上有一動點D，過D作DEx軸，垂足為E，交AB于點F（1）求此拋物線的解析式；（2）在DE上作點G，使G點與D點關(guān)于F點對稱，以G為圓心，GD為半徑作圓，當(dāng)G與其中一條坐標軸相切時，求G點的橫坐標；（3）過D點作直線DHAC交AB于H，當(dāng)DHF的面積最大時，在拋物線和直線AB上分別取M、N兩點，并使D、H、M、N四點組成平行四邊形，請你直接寫出符合要求的M、N兩點的橫坐標【解答】解：（1）B，C兩點在拋物線y=ax2+bx+2上，解得：所求的拋物線為：y=（2）拋物線y=，則點A的坐標為（0，2），設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，解得：直線AB的解析式為y=

25、x+2，設(shè)F點的坐標為（x，x+2），則D點的坐標為（x，），G點與D點關(guān)于F點對稱，G點的坐標為（x，），若以G為圓心，GD為半徑作圓，使得G與其中一條坐標軸相切，若G與x軸相切則必須由DG=GE，即x2+x+2（）=，解得：x=，x=4（舍去）；若G與y軸相切則必須由DG=OE，即解得：x=2，x=0（舍去）綜上，以G為圓心，GD為半徑作圓，當(dāng)G與其中一條坐標軸相切時，G點的橫坐標為2或（3）M點的橫坐標為2±2，N點的橫坐標為±28（2015資陽）已知直線y=kx+b（k0）過點F（0，1），與拋物線y=x2相交于B、C兩點（1）如圖1，當(dāng)點C的橫坐標為1時，求直線B

26、C的解析式；（2）在（1）的條件下，點M是直線BC上一動點，過點M作y軸的平行線，與拋物線交于點D，是否存在這樣的點M，使得以M、D、O、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，設(shè)B（mn）（m0），過點E（01）的直線lx軸，BRl于R，CSl于S，連接FR、FS試判斷RFS的形狀，并說明理由【解答】解：（1）因為點C在拋物線上，所以C（1，），又直線BC過C、F兩點，故得方程組：解之，得，所以直線BC的解析式為：y=x+1； （2）要使以M、D、O、F為頂點的四邊形為平行四邊形，則MD=OF，如圖1所示，設(shè)M（x，x+1），則D（x，x2），MDy軸，MD=x+1x2，由MD=OF，可得|x+1x