CH173方向?qū)?shù)與梯度

1、1 第17章 第第3 3節(jié)節(jié)一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù) 二、梯度二、梯度 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度2引例：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標(biāo)原點處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點？問題的實質(zhì)：應(yīng)沿由熱到冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)在一些實際問題中，需要研究函數(shù)),(zyxfu 在某一點沿任意方向的變化率，因此產(chǎn)生了方向?qū)?shù)。3l),(0000zyxp若函數(shù)),(zyxf)()(limlim0

2、00pfpffl則稱此極限為函數(shù)在點 p0 處沿方向 l 的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù).記作在點 ),(0000zyxp的某鄰域表示p與p0的距離,若存在下列極限: ),(zyxp30)(rpu內(nèi)有定義, l為從點0p出發(fā)的射線,),(zyxp為l上且含于)(0pu內(nèi)的任意一點.定義定義:0000,0zyxfpflfllp或4,0,0.0 xyzo 0p p 注意注意,0 xxx,cosycosz,)()()(222zyx若l的方向角為,記,cosx,0yyy,0zzz則5,),(),(處可微在點若函數(shù)zyxpzyxfl定理定理:則函數(shù)在該點沿任意方向沿任意方向 l 的方向?qū)?shù)存在 ,flflp0lim

3、coscoscoszfyfxflf.,的方向角為其中l(wèi)證明證明: 由函數(shù)),(zyxf)(ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf且有)(o在點 p 可微 , 得),(zyxpp故coscoscoszfyfxf6對于二元函數(shù), ),(yxf向角為, ) 的方向?qū)?shù)為方處沿方向在點(),(lyxp),(),(lim0yxfyyxxflfcos),(cos),(yxfyxfyx,)()(22yx)cos.,cosyxplxyoxflf特別特別: : 當(dāng) l 與 x 軸同向有時,2,0 當(dāng) l 與 x 軸反向有時,2,xflfl7方向?qū)?shù)存在 可微反例見教材p126例28例例1. 求函

4、數(shù) 在點 p(1, 1, 1) 沿向量zyxu2, 1,2(l3) 的方向?qū)?shù) .,142cosplu) 1, 1, 1 (146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx解解: 向量 l 的方向余弦為9指向 b( 3, 2 , 2) 方向的方向?qū)?shù)是 .在點a( 1 , 0 , 1) 處沿點axd d例例2. 函數(shù))ln(22zyxu提示提示:31,32,32則cos,cos,cosaxu) 1ln( x1x,21yd dayu) 11ln(2y0y,0, ) 1 ,2,2(ab0abl 2121azucoscoscoszuyuxulu2110二、梯度二、梯度 方向?qū)?shù)

5、公式coscoscoszfyfxflf令向量這說明方向：f 變化率(即方向?qū)?shù))最大的方向模 : f 變化率的最大值方向?qū)?shù)取最大值：zfyfxfg,)cos,cos,(cos0l),cos(0lgg)1(0l0lglf,0方向一致時與當(dāng)gl:gglfmax設(shè)函數(shù)),(zyxfu 在點),(zyxp可微,其沿著不同方向l的方向?qū)?shù)是不同的，111. 定義定義, fadrg即fadrg同樣可定義二元函數(shù)),(yxf),(yxpyfxfjyfixff,grad稱為函數(shù) f (p) 在點 p 處的梯度zfyfxf,kzfjyfixf記作(gradient),在點處的梯度 g注意注意:函數(shù)沿某方向的方

6、向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影.向量122. 梯度的基本運算公式梯度的基本運算公式0grad(1)cucucgrad)(grad(2)vuvugradgrad)(grad(3)uvvuvugradgrad)(grad(4)uufufgrad)()(grad(5)13例例1. 函數(shù))ln(222zyxu在點)2,2, 1 (m處的梯度mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuum解解:,222zyxr令則xu21rx2注意 x , y , z 具有輪換對稱性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (9214例例2： 求函數(shù)xzzyyxzyx

7、f,在點m（1，0，1） 處的最大方向?qū)?shù)。解：解：11, 0, 1xf11, 0, 1zf01, 0, 1yfkifgrad1, 0, 1在點m（1，0，1）處的最大方向?qū)?shù)為：21011, 0, 1222fgradxxf1, 0,同理xzzyyxzyxf,15求函數(shù)求函數(shù) yxzyxu2332222 在點在點 )2 , 1 , 1 (處的梯度，并問在哪些點處梯度為零？處的梯度，并問在哪些點處梯度為零？ 解解由梯度計算公式得由梯度計算公式得kzujyuixuzyxgradu),(,6)24()32(kzjyix故.1225)2 , 1 , 1 (kjigradu例例316例例4.,)(可導(dǎo)設(shè)

8、rf),(222zyxpzyxr為點其中證證:xrf)()(rf yrf)()( gradrf)(1)(kzjyixrrfrrrf1)( rzrfzrf)()(0)(rrfjyrf)(kzrf)(xrrf)(222zyxxpxozy,)(ryrf ixrf)(試證rxrf)( .)()(radg0rrfrf處矢徑 r 的模 ,r17內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 三元函數(shù) ),(zyxf在點),(zyxp沿方向 l (方向角),為的方向?qū)?shù)為coscoscoszfyfxflf 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxp),的方向?qū)?shù)為coscosyfxflf沿方向 l (方向角為182.

9、梯度梯度 三元函數(shù) ),(zyxf在點),(zyxp處的梯度為zfyfxff,grad 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxp處的梯度為),(, ),(gradyxfyxffyx3. 關(guān)系關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 可微0gradlflf梯度在方向 l 上的投影.19p127 1, 2，3，4.作業(yè)作業(yè)20例例3. 求函數(shù) 在點p(2, 3)沿曲線223yyxz12 xy切線朝 x 增大方向的方向?qū)?shù).解解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為2)2, 1 (xxplz它在點 p 的切向量為,171cos1760 xoy2p1 2xyxx1716xy174)23(2yx)3,2()4, 1 (174cos121例例4. 設(shè)是曲面n在點 p(1, 1,