CH173方向?qū)?shù)與梯度

1、1 第17章 第第3 3節(jié)節(jié)一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù) 二、梯度二、梯度 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度2引例：一塊長(zhǎng)方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比在(3,2)處有一個(gè)螞蟻，問(wèn)這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱到冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)在一些實(shí)際問(wèn)題中，需要研究函數(shù)),(zyxfu 在某一點(diǎn)沿任意方向的變化率，因此產(chǎn)生了方向?qū)?shù)。3l),(0000zyxp若函數(shù)),(zyxf)()(limlim0

2、00pfpffl則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn) p0 處沿方向 l 的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù).記作在點(diǎn) ),(0000zyxp的某鄰域表示p與p0的距離,若存在下列極限: ),(zyxp30)(rpu內(nèi)有定義, l為從點(diǎn)0p出發(fā)的射線,),(zyxp為l上且含于)(0pu內(nèi)的任意一點(diǎn).定義定義:0000,0zyxfpflfllp或4,0,0.0 xyzo 0p p 注意注意,0 xxx,cosycosz,)()()(222zyx若l的方向角為,記,cosx,0yyy,0zzz則5,),(),(處可微在點(diǎn)若函數(shù)zyxpzyxfl定理定理:則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向沿任意方向 l 的方向?qū)?shù)存在 ,flflp0lim

3、coscoscoszfyfxflf.,的方向角為其中l(wèi)證明證明: 由函數(shù)),(zyxf)(ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf且有)(o在點(diǎn) p 可微 , 得),(zyxpp故coscoscoszfyfxf6對(duì)于二元函數(shù), ),(yxf向角為, ) 的方向?qū)?shù)為方處沿方向在點(diǎn)(),(lyxp),(),(lim0yxfyyxxflfcos),(cos),(yxfyxfyx,)()(22yx)cos.,cosyxplxyoxflf特別特別: : 當(dāng) l 與 x 軸同向有時(shí),2,0 當(dāng) l 與 x 軸反向有時(shí),2,xflfl7方向?qū)?shù)存在 可微反例見(jiàn)教材p126例28例例1. 求函

4、數(shù) 在點(diǎn) p(1, 1, 1) 沿向量zyxu2, 1,2(l3) 的方向?qū)?shù) .,142cosplu) 1, 1, 1 (146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx解解: 向量 l 的方向余弦為9指向 b( 3, 2 , 2) 方向的方向?qū)?shù)是 .在點(diǎn)a( 1 , 0 , 1) 處沿點(diǎn)axd d例例2. 函數(shù))ln(22zyxu提示提示:31,32,32則cos,cos,cosaxu) 1ln( x1x,21yd dayu) 11ln(2y0y,0, ) 1 ,2,2(ab0abl 2121azucoscoscoszuyuxulu2110二、梯度二、梯度 方向?qū)?shù)

5、公式coscoscoszfyfxflf令向量這說(shuō)明方向：f 變化率(即方向?qū)?shù))最大的方向模 : f 變化率的最大值方向?qū)?shù)取最大值：zfyfxfg,)cos,cos,(cos0l),cos(0lgg)1(0l0lglf,0方向一致時(shí)與當(dāng)gl:gglfmax設(shè)函數(shù)),(zyxfu 在點(diǎn)),(zyxp可微,其沿著不同方向l的方向?qū)?shù)是不同的，111. 定義定義, fadrg即fadrg同樣可定義二元函數(shù)),(yxf),(yxpyfxfjyfixff,grad稱為函數(shù) f (p) 在點(diǎn) p 處的梯度zfyfxf,kzfjyfixf記作(gradient),在點(diǎn)處的梯度 g注意注意:函數(shù)沿某方向的方

6、向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影.向量122. 梯度的基本運(yùn)算公式梯度的基本運(yùn)算公式0grad(1)cucucgrad)(grad(2)vuvugradgrad)(grad(3)uvvuvugradgrad)(grad(4)uufufgrad)()(grad(5)13例例1. 函數(shù))ln(222zyxu在點(diǎn))2,2, 1 (m處的梯度mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuum解解:,222zyxr令則xu21rx2注意 x , y , z 具有輪換對(duì)稱性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (9214例例2： 求函數(shù)xzzyyxzyx

7、f,在點(diǎn)m（1，0，1） 處的最大方向?qū)?shù)。解：解：11, 0, 1xf11, 0, 1zf01, 0, 1yfkifgrad1, 0, 1在點(diǎn)m（1，0，1）處的最大方向?qū)?shù)為：21011, 0, 1222fgradxxf1, 0,同理xzzyyxzyxf,15求函數(shù)求函數(shù) yxzyxu2332222 在點(diǎn)在點(diǎn) )2 , 1 , 1 (處的梯度，并問(wèn)在哪些點(diǎn)處梯度為零？處的梯度，并問(wèn)在哪些點(diǎn)處梯度為零？ 解解由梯度計(jì)算公式得由梯度計(jì)算公式得kzujyuixuzyxgradu),(,6)24()32(kzjyix故.1225)2 , 1 , 1 (kjigradu例例316例例4.,)(可導(dǎo)設(shè)

8、rf),(222zyxpzyxr為點(diǎn)其中證證:xrf)()(rf yrf)()( gradrf)(1)(kzjyixrrfrrrf1)( rzrfzrf)()(0)(rrfjyrf)(kzrf)(xrrf)(222zyxxpxozy,)(ryrf ixrf)(試證rxrf)( .)()(radg0rrfrf處矢徑 r 的模 ,r17內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 三元函數(shù) ),(zyxf在點(diǎn)),(zyxp沿方向 l (方向角),為的方向?qū)?shù)為coscoscoszfyfxflf 二元函數(shù) ),(yxf在點(diǎn)),(yxp),的方向?qū)?shù)為coscosyfxflf沿方向 l (方向角為182.

9、梯度梯度 三元函數(shù) ),(zyxf在點(diǎn)),(zyxp處的梯度為zfyfxff,grad 二元函數(shù) ),(yxf在點(diǎn)),(yxp處的梯度為),(, ),(gradyxfyxffyx3. 關(guān)系關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 可微0gradlflf梯度在方向 l 上的投影.19p127 1, 2，3，4.作業(yè)作業(yè)20例例3. 求函數(shù) 在點(diǎn)p(2, 3)沿曲線223yyxz12 xy切線朝 x 增大方向的方向?qū)?shù).解解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為2)2, 1 (xxplz它在點(diǎn) p 的切向量為,171cos1760 xoy2p1 2xyxx1716xy174)23(2yx)3,2()4, 1 (174cos121例例4. 設(shè)是曲面n在點(diǎn) p(1, 1,