直角坐標系下平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積

1、定積分的元素法定積分的元素法復(fù)習曲邊梯形的面積計算方法（演示）復(fù)習曲邊梯形的面積計算方法（演示）定積分的元素法分析（定積分的元素法分析（演示演示） 定積分的元素法（定積分的元素法（演示演示） 應(yīng)用定積分的元素法解決問題時，關(guān)鍵在于確定積分元素應(yīng)用定積分的元素法解決問題時，關(guān)鍵在于確定積分元素f(x)dx 和積分區(qū)間和積分區(qū)間a ,b。 一般地：若所量一般地：若所量u與變量的變化取間與變量的變化取間a , b有關(guān)，且關(guān)于有關(guān)，且關(guān)于a , b具有可加性，在具有可加性，在a , b中的任意一個小區(qū)間中的任意一個小區(qū)間x , x+dx上上找出部分量的近似值找出部分量的近似值du=f(x)dx,得所求

2、量的定積分表達式得所求量的定積分表達式 這種方法叫做定積分的元素法。這種方法叫做定積分的元素法。 du=f(x)dx稱稱為所求量為所求量u的元素。的元素。(,)bauf x dx直角坐標系下的平面圖形的面積（演示）直角坐標系下的平面圖形的面積（演示）1、 由由x=a ， x= b ,y=0 及及 y= f (x) 所圍成的平面圖形的面積為所圍成的平面圖形的面積為 )( baaf x dxab2、由、由x=a ， x=b ,y=f (x) 及及 y=g (x) 所圍平面圖形的面積為所圍平面圖形的面積為 )( ()()baaf xg xabdx3、 由由y= c ， y= d ,x=0 及及 x=

3、 (y) 所圍平面圖形的面積為所圍平面圖形的面積為 )( dcaycdyd 平面圖形的面積例題選舉平面圖形的面積例題選舉例例1 計算由計算由 及及 所圍成的圖形的面積。所圍成的圖形的面積。 2yx2yx例例2 計算由曲線計算由曲線 和和 所圍成的圖形的面積。所圍成的圖形的面積。 36yxx2yx例例3 計算由計算由 和和 所圍成的圖形的面積。所圍成的圖形的面積。 22yx4yx例例4 求橢圓求橢圓 的面積。的面積。22221xyab解解1220822(2 ) 2(4)18aaaxxdxxxdx 練習寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。練習寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達

4、式。,yx yx（1） ,0 xye yex（2） 22,3yxxx（3） 10 xx dax1610 xeeadx11233 2x xadx323練習寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。練習寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。102axx dx32123axxdx 2212xxdx223,xxyy（4） 2,2yxyxyx（5） 83762 2222202axxdx12221xdx一般地：如右圖中的陰影部分的面積為一般地：如右圖中的陰影部分的面積為 dcafyg ydy練習寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。練習寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達

5、式。222,1yxyxy（6） 10()2yaydy或或 22(1)32122222241yx24 2yx法一：以法一：以 y 作積分變量作積分變量 3223122414 2axdxx dx法二：以法二：以 x 作積分變量作積分變量 221,244yxxy 22202(2)(1)44yyady22,4421xxyy（7） 練習寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。練習寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達式。4 234 231a例例 5 求由下列給定曲線所圍成的圖形面積。求由下列給定曲線所圍成的圖形面積。33cossinxatyat 1044aaaydx20422sinc2s1

6、ottadt 22022sin2s3inttdta22031 cos41 cos4att dt22031 cos4coscos4 cos4atttt dt23.8a03324sincosatd at解由圖形的對稱性可得解由圖形的對稱性可得偶次方化倍角偶次方化倍角 222333xya即即( )rr ,rr 212dard 212ard 極坐標系下的平面圖形的面積（演示）極坐標系下的平面圖形的面積（演示）（扇形面積近似替換）（扇形面積近似替換）例例6 求雙紐線求雙紐線 所圍平面圖形的面積。所圍平面圖形的面積。22cos2 (0)aa例例7 求心形線求心形線 所圍平面圖形的面積。所圍平面圖形的面積。

7、 (1 cos ) (0)raa 極坐標系下的平面圖形的面積計算例題極坐標系下的平面圖形的面積計算例題解解 240142ar d24014cos22ad 2a解解 20122ar d2012(1cos)2ad232a20124 2cos2ad20442coscosd例例 9 求由下列給定曲線所圍成的圖形公共部分的面積。求由下列給定曲線所圍成的圖形公共部分的面積。1c1,osrr22121 cos22ad 2212coscos2d5.24.18解解2 2cosr例例8 求由曲線求由曲線 所圍成的圖形面積。所圍成的圖形面積。解解旋轉(zhuǎn)體的概念旋轉(zhuǎn)體的概念平面圖形繞同一平面上某一定直線（旋轉(zhuǎn)軸）平面圖

8、形繞同一平面上某一定直線（旋轉(zhuǎn)軸） 演示演示xyxy旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積示例：圓錐、圓柱、圓臺、球等都是旋轉(zhuǎn)體（示例：圓錐、圓柱、圓臺、球等都是旋轉(zhuǎn)體（演示演示）。）。aby=f (x)dcx=g (y)旋轉(zhuǎn)體的體積計算公式旋轉(zhuǎn)體的體積計算公式1、旋轉(zhuǎn)軸為、旋轉(zhuǎn)軸為 x 軸（軸（演示演示） 由由x=a , x= b ，y=0, y=f (x) （a0)所圍成的曲邊所圍成的曲邊梯形繞梯形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為22( )bbxaavf xdxdyx 由由y= c , y= d , x=0, x=g (y) （ c0)所圍成的曲邊所圍成的曲邊梯形繞梯

9、形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為22( )ddyccvg ydydxy2、旋轉(zhuǎn)軸為、旋轉(zhuǎn)軸為 y 軸（軸（演示演示）oxyp(h,r)旋轉(zhuǎn)體的體積計算公式旋轉(zhuǎn)體的體積計算公式例例 1 連接坐標原點連接坐標原點 o 及點及點 p( h , r) 的直線，直線的直線，直線 x=h及及 x軸圍軸圍成一個直角三角形，將它繞成一個直角三角形，將它繞 x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個底半徑為軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個底半徑為 r，高為，高為 h的圓錐體，計算圓錐體的體積。的圓錐體，計算圓錐體的體積。x x+dx解解 如圖所示如圖所示 (0, )xh任取任取 (0, )xh，形成區(qū)間，形成區(qū)間 ,

10、 x xdx體積元素為體積元素為 2dvy dx2rxdxh直線直線op的方程為的方程為 ryxh所求體積為所求體積為 22013hrvxdxr hh1a旋轉(zhuǎn)體的體積例題選舉旋轉(zhuǎn)體的體積例題選舉例例2 求星形線求星形線 繞繞 軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積。體的體積。222333 (0)xyaax返回返回例例3 計算由曲線計算由曲線 y=x2 與與 x=y2 所圍成的平面圖形繞所圍成的平面圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積。一周而成的立體的體積。解解 如圖所示如圖所示v2v112yvvv11221200 x dyx dy11400ydyy dy310練習：寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定

11、積分表達式練習：寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達式 31,1,0yxxy160 xvx dx11600 xvdxx dx 32,1,0yxyxx1y=x31xy=x31繞繞x軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周 繞繞x軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周 1767 223,21xyxyy240 x dx練習：寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達式練習：寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達式繞繞x軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周 1222021221vxdx32 23 2151y=x31y 35,1,yxxx213025yvydy 34,1,yxyy213035yvydy練習：寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達式練習：寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達式繞繞y

12、軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周 繞繞y軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周 1y=x3y21 226,21xyxyy2222011yvydyydy練習：寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達式練習：寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達式繞繞y軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周 32例例4 求由曲線求由曲線 及及 所圍成的圖形繞直線所圍成的圖形繞直線 旋轉(zhuǎn)一周而構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)體的體積。旋轉(zhuǎn)一周而構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)體的體積。24yx0y 3x yo-223 x414xy 24xy問題的提出問題的提出返回返回定積分元素法分析定積分元素法分析返回返回定積分元素法定積分元素法返回返回平面圖形的面積（直角坐標）平面圖形的面積（直角坐標）返回返回求面積例題求面積例題 1返回