Ch234函數(shù)間斷點(diǎn)

1、四、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類四、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類:)(0條件條件處連續(xù)必須滿足的三個(gè)處連續(xù)必須滿足的三個(gè)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在點(diǎn)在點(diǎn)xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或或間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)為為并并稱稱點(diǎn)點(diǎn)或或間間斷斷處處不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)則則稱稱要要有有一一個(gè)個(gè)不不滿滿足足如如果果上上述述三三個(gè)個(gè)條條件件中中只只xfxxxf1.1.可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn).)()(),()(lim,)(00000的可去間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)處無(wú)定義則稱點(diǎn)處無(wú)定義則稱點(diǎn)在點(diǎn)在點(diǎn)

2、或或但但處的極限存在處的極限存在在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxxfxfaxfxxfxx 例例1 1.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f , 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxfoxy112是可去間斷點(diǎn)。是可去間斷點(diǎn)。所以，所以，1 x注意注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷點(diǎn)處函數(shù)的定義可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷點(diǎn)處函數(shù)的定義, , 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn). .的

3、間斷點(diǎn)。的間斷點(diǎn)。求函數(shù)求函數(shù)例例11)(22 xxxf解：解：為為間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。處處無(wú)無(wú)定定義義，所所以以在在函函數(shù)數(shù)11)( xxxf2)1(lim11lim)(lim1211 xxxxfxxx由由于于的的可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。是是所所以以，)(1xfx 2)1( f補(bǔ)充定義補(bǔ)充定義 12111)(2xxxxxf即即2.2.跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn).)(),0()0(,)(0000的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)但但右右極極限限都都存存在在處處左左在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxfxfxxf 例例3 3.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解

4、解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn) xoxy跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn). .特點(diǎn)特點(diǎn).0處的左、右極限都存在處的左、右極限都存在函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn) x3.3.第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn).)(,)(00的第二類間斷點(diǎn)的第二類間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)在在一個(gè)不存一個(gè)不存處的左、右極限至少有處的左、右極限至少有在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxxf例例4 4.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.0為為函

5、函數(shù)數(shù)的的第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x.斷斷點(diǎn)點(diǎn)這這種種間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為無(wú)無(wú)窮窮間間).()(0, 0,000 或或時(shí)時(shí)，或或或或當(dāng)當(dāng)見(jiàn)見(jiàn)的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，它它起起因因于于注注：無(wú)無(wú)窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)是是最最常常xfxxxxxx例例5 5.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy1sin ,0處沒(méi)有定義處沒(méi)有定義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為第二類間斷點(diǎn)為第二類間斷點(diǎn) x.斷斷點(diǎn)點(diǎn)這這種種情情況況稱稱為為振振蕩蕩間間可去型可去型第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型跳躍型無(wú)窮型無(wú)窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)oyx0 xoyx0

6、xoyx0 x第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn): :可去型可去型, ,跳躍型跳躍型. .第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn): :無(wú)窮型無(wú)窮型, ,振蕩型振蕩型. .間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)例例6 討論函數(shù)討論函數(shù) )6222 xxxxxxf（的間斷點(diǎn)和連續(xù)區(qū)間的間斷點(diǎn)和連續(xù)區(qū)間.解：解： 232)62222 xxxxxxxxxxxf（為為間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)2, 3, 0 xxx 31232lim0020 xxxxxfx 31232lim0020 xxxxxfx 0000 ff 232lim)(lim33 xxxxxxfxx3 x為第二類間斷點(diǎn)（無(wú)窮間斷點(diǎn)）為第二類間斷點(diǎn)（無(wú)窮間斷點(diǎn)）間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)）為為第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)（跳

7、跳躍躍0 x 31lim3xx 513limlim22 xxxxfxx2 x為可去間斷點(diǎn)為可去間斷點(diǎn)連續(xù)區(qū)間為：連續(xù)區(qū)間為： ），（ 22 , 00 , 33,注：注：。使函數(shù)無(wú)定義的其它點(diǎn)使函數(shù)無(wú)定義的其它點(diǎn)，以及，以及往考慮使分母為零的點(diǎn)往考慮使分母為零的點(diǎn)求函數(shù)的間斷點(diǎn)時(shí)，往求函數(shù)的間斷點(diǎn)時(shí)，往例例7 7 確定函數(shù)確定函數(shù)間斷點(diǎn)的類型間斷點(diǎn)的類型. .xxexf 111)(解解: : 間斷點(diǎn)1,0 xx)(lim0 xfx,0 x為無(wú)窮間斷點(diǎn)為無(wú)窮間斷點(diǎn); ;,1 時(shí)當(dāng)x xx1,0)(xf,1 時(shí)當(dāng)x xx1,1)(xf故故1x為跳躍間斷點(diǎn)為跳躍間斷點(diǎn). . 例例8型型如如有有間間斷斷

8、點(diǎn)點(diǎn)，指指出出其其類類的的連連續(xù)續(xù)性性討討論論函函數(shù)數(shù).lim)(2nnnnnxxxxxf 解解：時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x11lim)(222 nnnxxxf 1101012xxxx上是初等函數(shù)，上是初等函數(shù)，在在而而)1(),10()01(),1()( xf因因而而連連續(xù)續(xù)。1)(lim, 1)(lim0101 xfxfxx而而1)(lim, 1)(lim0101 xfxfxx而而, 1)(lim0 xfx而而是是第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。所所以以，0, 1, 1 xxx五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定義定義: :.)()()()()()()(,),(0000值值小小上上的的最

9、最大大在在區(qū)區(qū)間間是是函函數(shù)數(shù)則則稱稱都都有有使使得得對(duì)對(duì)于于任任一一如如果果有有上上有有定定義義的的函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)于于在在區(qū)區(qū)間間ixfxfxfxfxfxfixixxfi 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y 定理定理( (最值定理最值定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值有最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy 注意注意: :1.1.若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間, , 定理不一定成立定理不一定成立

10、; ; 2. 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn), , 定理不一定成立定理不一定成立. .1 1、最值定理、最值定理xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 推論推論( (有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界該區(qū)間上有界. .證證,)(上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxf,bax ,)(mxfm 有有,maxmmk 取取.)(kxf 則有則有.,)(上上有有界界在在函函數(shù)數(shù)baxf定義定義: :.)(,0)(000的的零零點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為函函數(shù)數(shù)則則使使如如果果xfxxfx 2.2.介值定理與零點(diǎn)存在定理介值定理與零點(diǎn)存在定理定定理理（

11、介介值值定定理理）,)(,)(mbaxfbaxf上上的的最最大大值值為為在在上上連連續(xù)續(xù)，且且在在若若,m最小值為最小值為,mmcmm 之之間間的的任任何何值值與與則則對(duì)對(duì)介介于于使使得得，至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn),ba cf )( 幾何解釋幾何解釋:.)(至少有一個(gè)交點(diǎn)至少有一個(gè)交點(diǎn)直線直線與水平與水平連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧cyxfy mbcamab1 2 3 2x1xxyo)(xfy .),(0)(內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根在在即即方方程程baxf ab3 2 1 幾何解釋幾何解釋:.,)(軸至少有一個(gè)交點(diǎn)軸至少有一個(gè)交點(diǎn)線弧與線弧與則曲則曲軸的不同側(cè)軸的不同側(cè)端點(diǎn)位于端點(diǎn)位于的兩

12、個(gè)的兩個(gè)連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧xxxfy xyo)(xfy 例例8 8.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根內(nèi)內(nèi)在區(qū)間在區(qū)間證明方程證明方程 xx證證, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零點(diǎn)存在定理由零點(diǎn)存在定理,使使),1 , 0( , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一根根在在方方程程 xx例例9 9.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得證明證明且且上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證證,)()(xxfxf 令令,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則

13、則baxfaafaf )()(而而, 0 由零存在點(diǎn)定理由零存在點(diǎn)定理, ,使使),(ba , 0)()( ffbbfbf )()(, 0 .)( f即即例例1010證證),()()(axfxfxf 令令, 0)(上上連連續(xù)續(xù)在在則則axf)()0()0(afff 而而)2()()(afafaf ).()(, 0),2()0(,2 , 0)(affaaffaxf 使使得得證證明明且且上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)若若 00 f即即)()0(aff 則則a或或0 0)0()(ffaf , 0)()()( afff 使使), 0(a 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,若若 00 f則則0)()0( af

14、f綜合以上所述可得，綜合以上所述可得， a, 0 存在存在使得使得)()(aff )(. 1xf0 x第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在左右極限都存在 第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一左右極限至少有一個(gè)不存在個(gè)不存在在點(diǎn)在點(diǎn)間斷的類型間斷的類型內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)則則設(shè)設(shè), ,)(bacxf ,)(bacxf 2.設(shè)設(shè)則則上有界上有界;,)()1(baxf在在,)()2(baxf在在上達(dá)到最大值與最小值上達(dá)到最大值與最小值;,)()3(baxf在在上可取最大與最小值之間的任何上可取最大與最小值之間的任何值值; ;（4）當(dāng)）當(dāng)時(shí)時(shí),使使必存在必存在0)()( bfaf),(ba 0)( f)1)()( xaxbexfx有無(wú)窮間斷點(diǎn)有無(wú)窮間斷點(diǎn)0 x及可去間斷點(diǎn)及可去間斷點(diǎn), 1x解解:為無(wú)窮間斷點(diǎn)為無(wú)窮間斷點(diǎn),0 x) 1)(lim0 xaxbexx所以所以bexaxxx) 1)(lim0ba101,0ba為可去間斷點(diǎn)為可去間斷點(diǎn) ,1x) 1(lim1xxbexx極限存在極限存在0)(lim1bexxeebxx1lim練習(xí)：練習(xí)：1. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)試確定常數(shù)試確定常數(shù) a 及及 b .2.2.求求1( )arctan1f xxx的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn),