第7章一階電路和二階電路的時(shí)域分析VIP

1、第七章第七章 一階電路和二階電路的時(shí)域分析一階電路和二階電路的時(shí)域分析1.換路定則和電路初始值的求法；2.掌握一階電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、全響應(yīng)的概念和物理意義；3.會(huì)計(jì)算和分析一階動(dòng)態(tài)電路(重點(diǎn)是三要素法)；4.了解二階電路零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、全響應(yīng)的概念和物理意義； 5.會(huì)分析簡(jiǎn)單的二階電路；6.會(huì)計(jì)算一階電路的階躍響應(yīng)、沖激響應(yīng)；7.會(huì)用系統(tǒng)法列寫(xiě)簡(jiǎn)單的狀態(tài)方程。內(nèi)容提要與基本要求第七章第七章 一階電路和二階電路的時(shí)域分析一階電路和二階電路的時(shí)域分析重點(diǎn)重點(diǎn)(1)動(dòng)態(tài)電路方程的建立和動(dòng)態(tài)電路初始值的確定；(2)一階電路時(shí)間常數(shù)的概念與計(jì)算 ；(3)一階電路的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響

2、應(yīng)；(4)求解一階電路的三要素法；(5)暫態(tài)分量(自由分量)和(穩(wěn)態(tài)分量)強(qiáng)制分量概念；(6)二階電路的零輸入、零狀態(tài)和全響應(yīng)的概念；(7)二階電路的方程和特征根、過(guò)渡過(guò)程的過(guò)阻尼、欠 阻尼及臨界阻尼的概念及分析；(8)二階電路的階躍響應(yīng)。第七章第七章 一階電路和二階電路的時(shí)域分析一階電路和二階電路的時(shí)域分析難點(diǎn)難點(diǎn)(1)應(yīng)用基爾霍夫定律和電感、電容的元件特性建立動(dòng)態(tài)電路方程；(2)電路初始條件的概念和確定方法；(3)二階電路的過(guò)阻尼、欠阻尼及臨界阻尼放電過(guò)程分析方法和基本物理概念。與其它章節(jié)的聯(lián)系本章討論的仍是線性電路，因此前面討論的線性電路的分析方法和定理全部可以用于本章的分析中。第9章討

3、論的線性電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)就是動(dòng)態(tài)電路在正弦激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)分量的求解。第七章第七章 一階電路和二階電路的時(shí)域分析一階電路和二階電路的時(shí)域分析7-1 動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件7.1 動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件sus+-(t=0)+-ucrc+-uri引引 言言 自然界事物的運(yùn)動(dòng)，在一定的條件下有一定的穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)條件發(fā)生變化時(shí)，就要過(guò)渡到新的穩(wěn)定狀態(tài)。從一種穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)到另一種新穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，往往不能躍變，而是需要一定時(shí)間，或者說(shuō)需要一個(gè)過(guò)程，在工程上稱過(guò)渡過(guò)程。接通電源，c 被充電，c 兩端的電壓逐漸增長(zhǎng)到穩(wěn)態(tài)值us ，即要經(jīng)歷一段時(shí)間。電路中的過(guò)渡過(guò)程雖然短暫，在實(shí)踐中

4、卻很重要。7.1 動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件一、動(dòng)態(tài)電路的基本概念含有動(dòng)態(tài)元件(l、c)的電路稱為動(dòng)態(tài)電路。描述動(dòng)態(tài)電路的方程是微分方程。全部由線性非時(shí)變?cè)?gòu)成的動(dòng)態(tài)電路，其描述方程是線性常系數(shù)微分方程。只含一個(gè)動(dòng)態(tài)元件(l或c)的電路，其描述方程是一階線性常系數(shù)微分方程，稱一階電路。動(dòng)態(tài)電路的分析方法：1.經(jīng)典法 時(shí)域分析法時(shí)域分析法2.拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法 復(fù)頻域分析法復(fù)頻域分析法3.狀態(tài)變量法狀態(tài)變量法 時(shí)域分析法時(shí)域分析法7.1 動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件二、換路及換路定則1. 換路 電路結(jié)構(gòu)或元件參數(shù)的改變稱為換路。換路是

5、在t=0 (或 t = t0) 時(shí)刻進(jìn)行的。 含有動(dòng)態(tài)元件的電路換路時(shí)存在過(guò)渡過(guò)程，過(guò)渡過(guò)程產(chǎn)生的原因是由于儲(chǔ)能元件l、c ，在換路時(shí)能量發(fā)生變化，而能量的儲(chǔ)存和釋放需要s24v+-(t=0)+lil4w14w22w3w6h6w-ul12v+-i8w4wt=0s純電阻電路在換路時(shí)沒(méi)有過(guò)渡期。 一定的時(shí)間來(lái)完成。7.1 動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件2. 換路定則在換路前后：q(t) = q(t0) +tt0ic (x) dxq(0+) = q(0-) +0+0-ic(x) dx以t = t0 = 0作為換路的計(jì)時(shí)起點(diǎn)：換路前最終時(shí)刻記為t = 0-，換路后最初時(shí)刻記為t

6、= 0+。線性電容c的電荷0-到0+瞬間，ic(t)為有限值時(shí)，積分為0。q(0+) = q(0-) c上的電荷不能躍變！由q(t) = c uc(t)可知，當(dāng)換路前后c不變時(shí)uc(0+) = uc(0-) c兩端的電壓也不能躍變！7.1 動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件y (0+) =y (0-) l中的磁鏈不能躍變！由y (t) = lil(t) 可知，當(dāng)換路前后l不變時(shí) il(0+) = il(0-) l中的電流也不能躍變！同理可得：q(0+) = q(0-)uc(0+) = uc(0-)換路定則表明 (1)換路瞬間，若電容電流保持為有限值，則電容電壓（電荷）在換路前

7、后保持不變，這是電荷守恒定律的體現(xiàn)。(2)換路瞬間，若電感電壓保持為有限值，則電感電流（磁鏈）在換路前后保持不變。這是磁鏈?zhǔn)睾愣傻捏w現(xiàn)。7.1 動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件三、初始值的計(jì)算解：換路前的“舊電路”求圖示電路在開(kāi)關(guān)閉合瞬間各支路電流和電感電壓。 1. 由換路前的“舊電路”計(jì)算uc(0-)和il(0-) 。ic(0-)=0，c視為開(kāi)路。 ul(0-)=0，l視為短路。il(0-) = 12auc(0-) = 24v= il(0+)= uc(0+)r1+-u0sr2iliccl+-ul+-ucr33w2w2w48vir1+-u0sr2iliccl+-ul+-u

8、cr33w2w2w48vi由等效電路算出7.1 動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件2.畫(huà)出t=0+等效電路：電感用電流源替代，電容用電壓源替代。 ic(0+) =48-243= 8aul(0+) = 48-212 = 24vr1+-u0sr2ilic12a+-ul+-r33w2w2w48v24viil(0-) = 12a = il(0+)uc(0-) = 24v = uc(0+)i(0+) = il(0+) + ic(0+) = 12 + 8 = 20at=0+時(shí)刻的等效電路r1+-u0sr2iliccl+-ul+-ucr33w2w2w48vi第七章第七章 一階電路和二階電路

9、的時(shí)域分析一階電路和二階電路的時(shí)域分析7-2 一階電路的零輸入響應(yīng)7.2 一階電路的零輸入響應(yīng)一階電路的零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)：在電源激勵(lì)為零的情況下，由動(dòng)態(tài)元件的初始值(0)引起的響應(yīng)。1. rc 電路 sr+-uc(t=0)i+-uru0sr+-uc(t0+)i+-uru0換路后的“新電路”i =ducdt- c= riducdt= - rc由kvl得：ducdtrc+ uc = 0ur分析 rc 電路的零輸入響應(yīng)，實(shí)際上是分析其放電過(guò)程。一階齊次微分方程7.2 一階電路的零輸入響應(yīng)一階電路的零輸入響應(yīng)t = rc 稱rc電路的時(shí)間常數(shù)。若r取w，c取f，則t為s。t 的大小，反映uc的變化

10、快慢：t 越大， uc衰減越慢。sr+-uc(t0+)i+-uru0p = -rc1通解 uc = a e1rc-t由初始條件 uc(0+) = uc(0-) = u0 得：uc = u0 e= u0 et-t1rc-t，t 0touc t2t3tu0t的圖解ducdtrc+ uc = 0特征方程特征根rcp+1=07.2 一階電路的零輸入響應(yīng)一階電路的零輸入響應(yīng)t=0，uc =u0t=t，uc =u0 e-10.638u0 在理論上，要經(jīng)過(guò)無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間， uc才能衰減到0。 在工程上，認(rèn)為經(jīng)過(guò)3t 5t 時(shí)間，過(guò)渡過(guò)程即告結(jié)束。touc t2t3tu00.368u00.05u0uc=u0 et

11、-tt=3t，uc =u0 e-30.05u0t=5t，uc =u0 e-50.007u0ur = uc = u0 et-tsr+-uc(t0+)i+-uru0, uri =ducdt- c=ru0t-tewr = 0i2 (t) r dt= 0ru022rc-tedt =21cu02c儲(chǔ)存的能量全被r 吸收，并轉(zhuǎn)換成熱能消耗掉。ru0i7.2 一階電路的零輸入響應(yīng)一階電路的零輸入響應(yīng)例：試求t0時(shí)的i(t)。換路后，c 通過(guò)(r1/r2)放電，req= r1/r2 = 2w。所以 t = reqc = 2 s引用典型電路結(jié)果：uc(0-) =2+4+4104= 4 v根據(jù)換路定則： uc(0

12、-) = uc(0+) = 4 vr2+-uc4w4wc1fit0sr1uc = uc(0+) et-t= 4 e-0.5t vi = -21requc= -e-0.5t a(t0)(t0)2wsr2+-(t=0)+-uc4wr14wc1f12r10vi7.2 一階電路的零輸入響應(yīng)一階電路的零輸入響應(yīng)2. rl電路由kvl ul + ur = 0sr+-(t=0)r0l12ul+-iu0r(t0)lul+-is2+-urdildt+ ri = 0didtl+ i = 0ri(0+)= i(0-)=r0u0i(t) = i(0+) e=r0u0t =rl為rl電路的時(shí)間常數(shù)。t-tes =wht

13、-t得 i(t) 解之 代入初試條件 基本形式：i(t)=i0 et-t(t 0)7.2 一階電路的零輸入響應(yīng)一階電路的零輸入響應(yīng)電阻和電感上的電壓分別為：r(t0)lul+-is2+-urri0urtoi, ur , ul ii0ul-ri0ur= ri= r i0 eul = - ur= - r i0 edidtl或者：ul = -r i0 ei(t) = i0 et-tt-tt-tt-t，(t 0)，(t 0)，(t 0)7.2 一階電路的零輸入響應(yīng)一階電路的零輸入響應(yīng)例7-2試求：t ；i(0+)和i(0-) ；i(t)和uv (t) ；uv (0+)。vs+-rl+-urvuvi0.

14、189w0.398h5kw35v某300kw汽輪發(fā)電機(jī)勵(lì)磁回路的電路模型電壓表的量程才50v。t =r+rvl=0.189+51030.398= 79.6 (ms)i(0-)ru=0.18935=185.2 ai(t) = 185.2 e-12560t auv(t) = -rv i(t) = -926 e-12560t kvuv(0+) = 926 kv !t0+實(shí)踐中，要切斷 l 的電流，必須考慮磁場(chǎng)能量的釋放問(wèn)題解：= i(0+)第七章第七章 一階電路和二階電路的時(shí)域分析一階電路和二階電路的時(shí)域分析7-3 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)7.3 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)：在動(dòng)

15、態(tài)元件初值為 0 的狀態(tài)下，外施激勵(lì)引起的響應(yīng)。1. rc電路 由kvl： ur + uc = ussus+-(t=0)+-ucrc+-uriur = riducdt = rcducdtrc+ uc = us常系數(shù)非齊次線性方程對(duì)應(yīng)的齊次方程：其解為：uc = uc + uc 通解： uc = a e1rc-t特解： uc = us 所以： uc = us + a educdtrc+ uc= 01rc-t7.3 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)代入初值：uc(0+) = uc(0-) = 0求得：a=-us所以零狀態(tài)響應(yīng)為uc = us (1-e )，t-tuc穩(wěn)態(tài)分量uc瞬態(tài)分量du

16、cdt i = c=ruset-tisus+-(t0+)+-ucrc+-uriducdtrc+ uc = usuc = us + a e1rc-tt = rcuc=uc + ucustouc , irus-usuc = us - us e t-t7.3 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)電源提供的能量：電阻吸收的能量：w = 0us i (t) dt = cus2wr = 0i2 (t) r dt =21cus2t =rcducdtrc+ uc = usuc = us + a e1rc-tducdt i = c=ruset-tsus+-(t0+)+-ucrc+-uri結(jié)果表明：電源提供的

17、能量只有一半轉(zhuǎn)換為電場(chǎng)能量存儲(chǔ)于c 中，另一半在充電過(guò)程中被 r 消耗掉。不論rc的值是多少，充電效率總是50%。7.3 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)2. rl電路的零狀態(tài)響應(yīng)(1) 激勵(lì)是恒定直流換路前： il(0+) = il(0-) = 0 換路后： ir + il = issrl+-isult=0iril(t0+)ir =ulr=lrdildtlrdildt+ il = islrt =解得： il = is (1- e )t-t代入式中：7.3 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)(2)激勵(lì)是正弦電壓設(shè) us=umcos(wt+yu)則 ldildt+ ril= umc

18、os(wt+yu)通解： il = a et-t特解的形式：il= imcos(wt +q )把 il 代入微分方程：im、q 為待定系數(shù)。rimcos(wt+q )-wlimsin(wt+q ) =umcos(wt+yu)im|z|cos(wt+q +j) =umcos(wt+yu)式中r2|z| =+ (wl)2tgj =rwllrt =t0+us+-+-ulrli+-ur7.3 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)比較得： q =yu-j ，|z|um特解：il = imcos(wt +q ) =cos(wt + yu-j)上述常系數(shù)非齊次線性微分方程的全解為：|z|umil =co

19、s(wt+yu-j) + a e-tt由il(0+) =il(0-) = 0定出： a = -|z|umcos(yu-j)|z|umil =cos(wt+yu-j) - cos(yu-j) eim=um|z|im|z|cos(wt+q +j) =umcos(wt+yu)式中r2|z| =+ (wl)2tgj =rwl|z|um-tt7.3 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)討論(1)若 s閉合時(shí)yu-j =90o， toi i = i穩(wěn)態(tài)分量il是與外施激勵(lì)同頻率的正弦量暫態(tài)分量il隨時(shí)間的增長(zhǎng)衰減為零。(2)若s閉合時(shí)yu=j ，則： il =|z|umcoswt e-tt|z|um-

20、|z|umil =cos(wt+yu-j) - cos(yu-j) e|z|um-tt則 il =0。 說(shuō)明電路不發(fā)生過(guò)渡過(guò)程而立即進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。r上的電壓 ur = r ill上的電壓 ul= ldildt7.3 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)rl 串聯(lián)電路與正弦電壓接通后，在一定初值條件下，電路的過(guò)渡過(guò)程與s動(dòng)作時(shí)刻有關(guān)。ililtoil |z|um|z|um-此時(shí)閉合 s，約過(guò)半個(gè)周期， il的最大瞬時(shí)值(絕對(duì)值) 將接近穩(wěn)態(tài)振幅的兩倍。當(dāng)t 很大時(shí)， il衰減極其緩慢。穩(wěn)態(tài)振幅過(guò)渡中的最大瞬時(shí)值il =|z|umcoswt e-tt|z|um-第七章第七章 一階電路和二階電路的時(shí)

21、域分析一階電路和二階電路的時(shí)域分析7-4 一階電路的全響應(yīng)7.4 一階電路的全響應(yīng)一階電路的全響應(yīng)全響應(yīng)穩(wěn)態(tài)解暫態(tài)解1. 全響應(yīng)：外施激勵(lì)和動(dòng)態(tài)元件初值都不為零時(shí)的響應(yīng)。sus+-(t=0)+-ucrc+-uri+-u0uc(0+) = uc(0-) = u0uc = us + (u0 - us) educdtrc+ uc = us-tt(1)一階電路的全響應(yīng)可以看成是穩(wěn)態(tài)分量(強(qiáng)制分量) 與暫態(tài)分量(自由分量) 之和。=+2. 全響應(yīng)的兩種分解方式強(qiáng)制分量自由分量7.4 一階電路的全響應(yīng)一階電路的全響應(yīng)零輸入響應(yīng)(2)把上式改寫(xiě)成下列形式：零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)此種分解方式便于疊加計(jì)算，體現(xiàn)了線性

22、電路的疊加性質(zhì)。uc = us + (u0 - us) e-ttsus+-(t=0)+-ucrc+-uri+-u0uc = u0 e-tt + us (1 - e )-tt=+7.4 一階電路的全響應(yīng)一階電路的全響應(yīng)3. 三要素法(1) 在恒定激勵(lì)下f(t) = f() + f(0+) - f()-tte由初始值、穩(wěn)態(tài)值和時(shí)間常數(shù)三個(gè)要素決定。全響應(yīng) = 穩(wěn)態(tài)分量 + 暫態(tài)分量uc = us + (u0 - us) e-tt(2) 在正弦電源激勵(lì)下 f(t) = f(t) + f(0+) -f(0+) -tte的正弦量；f(t)是換路后的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(特解) ，是與激勵(lì)同頻率f(0+)是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)f

23、(t)的初始值。f(0+)和t 的含義與恒定激勵(lì)下相同。說(shuō)明一階電路的響應(yīng)求f(t)的方法是待定系數(shù)法或相量法。7.4 一階電路的全響應(yīng)一階電路的全響應(yīng)例1換路前：il(0-)= -is= -2a求換路后的戴維寧電路sus+-(t=0)ilrliisab10v4h2w2a?uoc+-(t0+)ilreqlab=10-22=6 vuoc=us-risreq = r = 2w求il的三個(gè)要素：il(0+)=il(0-) = -2ail()= uoc / req= 6/ /2 = 3 (a)t = l / req= 4 / 2 = 2 (s)f(t) = f() + f(0+)- f() e-tti

24、l(t)3-232il(t)=3-5e-0.5t ai(t)= is + il(t) = 5 - 5 e-0.5t a7.4 一階電路的全響應(yīng)一階電路的全響應(yīng)例2：電路如圖，求ul。sil+-2aul4w2w4w12-+8vi1+-2i10.1huoc= 4i1+ 2i1req=10wui解：il(0-)= - 4a = il(0+)sil+-2aul4w2w4w12-+8vi1+-2i10.1h(t0)求換路后的戴維寧電路=12vrequi=(4+4)i1+ 2i1i1ul(0+) =uoc- req il(0+)=12 -10(-4)=52viluoc+-(t0+)reql+-ul0.1h

25、7.4 一階電路的全響應(yīng)一階電路的全響應(yīng)也可以先求il：ul=ldtdilul() = 0t =reql= 0.01s100.1得 ul=52e-100t v例2：電路如圖，求ul。解：il(0-)= - 4a = il(0+)代入三要素公式f(t) = f()+ f(0+)-f()-ttet = 0.01sil(0-)= - 4a = il(0+)il()= uoc / req= 1.2ail =1.2-5.2e-100t a再由求出ul。uoc= 4i1+ 2i1req=ui求換路后的戴維寧電路=12vul(0+) =uoc- req il(0+)=52v=10wiluoc+-(t0+)r

26、eql+-ul0.1h7.4 一階電路的全響應(yīng)一階電路的全響應(yīng)例3：圖示電路原本處于穩(wěn)定狀態(tài)，t=0 時(shí)開(kāi)關(guān)s閉合，求換路后的電流i(t) 。iu=10v+-r1=2wsl=1hr2=5wc=0.25fil(0-) = 0， uc(0-) = 10v，換路后變?yōu)閮蓚€(gè)獨(dú)立的單回路il(0-)+-uc(0-)iu=10v+-r1=2wsl=1hr2=5wc=0.25f+-ucilic解：電容電路的三要素為 ic(0+) = uc(0+)r1 = 5at1 = r1c = 0.5s ,ic() = 0電感電路的三要素為 il(0+) = il(0-) = 0t2 = lr2 = 0.2s ,il()

27、 = ur2 = 105 = 2ai(t) = il(t) + ic(t) 求出ic(t)、il(t) 后 (t0)7.4 一階電路的全響應(yīng)一階電路的全響應(yīng)例4：t=0時(shí)s1從位置1撥向位置2，經(jīng)0.12s后s2打開(kāi)，求uc(t)并繪波形圖。u1+-r210mfs250vr1=20kwcs121u2-+30kw10v+-uc解：先求初始值 uc(0-) = -10v 再分階段用三要素法求解。(1) 0t0.12su1+-r210mfs250vr1=20kwcs1230kw+-ucuc(0+) = uc(0-) = -10vuc() = 30+203050 =30vt1 = (20/30)103

28、1010-6= 0.12suc(t) = 30-40e-8.33t v(0t0.12s)7.4 一階電路的全響應(yīng)一階電路的全響應(yīng)(2) t0.12su1+-r210mfs250vr1=20kwcs1230kw+-ucuc(0.12-) = 30-40e-8.330.12 = 15.28vuc(t) = 30-40e-8.33t v(0t0.12s)uc(0.12+) = uc(0.12-) = 15.28vt2 = r2 c = 301031010-6 = 0.3s,uc() = 0uc(t) = 15.28e-3.33(t-0.12) vt0.12s00.10.20.30.4 0.5t /s

29、uc(t) / v-1010200.12s15.28第七章第七章 一階電路和二階電路的時(shí)域分析一階電路和二階電路的時(shí)域分析7-5 二階電路的零輸入響應(yīng)7.5 二階電路的零輸入響應(yīng)二階電路的零輸入響應(yīng)二階電路的動(dòng)態(tài)分析，原則上與一階電路相似，那就是列方程、解方程。由于二階線性微分方程有兩個(gè)特征根，對(duì)于不同的二階電路，它們可能是實(shí)數(shù)、虛數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。因此動(dòng)態(tài)過(guò)程將呈現(xiàn)不同的變化規(guī)律。分析時(shí)由特征方程求出特征根，并判斷電路是處于衰減放電，還是振蕩放電，還是臨界放電狀態(tài)。7.5 二階電路的零輸入響應(yīng)二階電路的零輸入響應(yīng)c+-uc+-s (t=0)+-ulrl+-uriu0i0典型電路分析(rlc串聯(lián))

30、1. 列寫(xiě)方程i =ducdt- cri = -rcul = ldidt= - lcd2ucdt2由kvl：-uc + ri + ul = 0 lcd2ucdt2ducdt+ rc+ uc = 0代入上式得二階齊次微分方程ducdt若以電容電壓為變量則有 uc(0+)=u0 ，i(0+) = 0初始條件為或ducdt= -ct=0+i(0+)= 0(t0+)7.5 二階電路的零輸入響應(yīng)二階電路的零輸入響應(yīng)2. 解方程特征方程的根特征方程 lcp2+rcp+1=0 p1=2lr-+2lr2-lc1c+-uc+-(t0+)+-ulrl+-uriu0i0uc(0+)=u0， lcd2ucdt2duc

31、dt+ rc+ uc = 0ducdt= 0t=0+p2=2lr-2lr2-lc1(1)特征根只與電路參數(shù)和結(jié)構(gòu)有關(guān)，與激勵(lì)和初始值無(wú)關(guān)。(2)當(dāng)r、l、c的參數(shù)不同時(shí)，特征根有不同的形式。7.5 二階電路的零輸入響應(yīng)二階電路的零輸入響應(yīng)uc = a1e p1t+ a2e p2t解的形式為(1) r23.分析三種情況p1、p2 是兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根。a1=p2 -p1p2u0a2=p2-p1p1u0由初始條件求得uc =p2 -p1u0(p2e p1t-p1e p2t )所以lcp1,2 =2lr-2lr2-lc1uc(0+)=u0， lcd2ucdt2ducdt+ rc+ uc = 0duc

32、dt= 0t=0+7.5 二階電路的零輸入響應(yīng)二階電路的零輸入響應(yīng)ducdti = - cul=didt l= -(p2 -p1)u0 (p1e p1t-p2e p2t )p1 p2 =lc1考慮到 = -l(p2 -p1)u0 (e p1t-e p2t )tm2tmuculiotuc ,ul, u0i| p2 | | p1|uc 第1項(xiàng)較大，且衰減較慢。故占主導(dǎo)地位?？傆衭c0、i0 ，說(shuō)明c一直在釋放電能。稱非振蕩放電或過(guò)阻尼放電。uc =p2 -p1u0(p2e p1t-p1e p2t )分析7.5 二階電路的零輸入響應(yīng)二階電路的零輸入響應(yīng)c+-uc+-+-ulrl+-uriu0tm2t

33、muculiotuc ,ul, u0i| p2 | | p1|tm=p1- p2ln(p2p1) i從0開(kāi)始，到0結(jié)束，有極值。令 (di/dt) = 0 得i達(dá)到 imax的時(shí)刻為： 0tm：c 的電場(chǎng)能轉(zhuǎn)化為l的磁場(chǎng)能和r的熱能。 tm：ul變負(fù)，c 的電場(chǎng)能和l的磁場(chǎng)能都轉(zhuǎn)化為r的熱能。能量釋放完畢，過(guò)渡過(guò)程結(jié)束。7.5 二階電路的零輸入響應(yīng)二階電路的零輸入響應(yīng)(2)令2lrd =lc1w2 =- -22lrbwdw0則 p1=-d +jw ， p2=-d -jwr臨界電阻,為過(guò)阻尼電路。r 0+和t t0+和t 0+和t t0 后電路的全部性狀。uc 、il 就是該電路的其余各量都能用

34、uc、il表示。一組狀態(tài)變量。7.10 狀態(tài)方程狀態(tài)方程狀態(tài)變量不是唯一的g 狀態(tài)變量是一組獨(dú)立的動(dòng)態(tài)變量。a 對(duì)線性電路而言，選uc、il作為狀態(tài)變量很合適。 對(duì)非線性電路，有時(shí)會(huì)選qc、yl作為狀態(tài)變量。將il= (ur /r )代入上述方程ducdt= 0 +rc1ur + 0durdt= -lruc -lrur +lrusc+-uc+ ur -+-rl+ ul -ilussducdt= 0 +c1il + 0dildt= -l1uc -lril +l1us uc、ur也是該電路的一組狀態(tài)變量。7.10 狀態(tài)方程狀態(tài)方程2. 狀態(tài)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 用狀態(tài)變量表達(dá)的一組獨(dú)立的一階微分方程稱為

35、狀態(tài)變量方程，簡(jiǎn)稱狀態(tài)方程。 寫(xiě)成矩陣形式：ducdildtdt= 0c1-l1 -lrucil+ 0 00l1isus令 x1 = ucx2 = il系數(shù)矩陣a系數(shù)矩陣b則= a+ bx1 =.dtducx2 =.dtdilx1.x2.x1x2isusducdt= 0 +c1il + 0dildt= -l1uc -lril +l1us7.10 狀態(tài)方程狀態(tài)方程則 狀態(tài)方程具有更簡(jiǎn)潔的形式：若 .xdefx = x1 x2 t， v = is us t .x = a x + b v .x1 .x2t ，標(biāo)準(zhǔn)形式 .x 和 x 為n階列向量；則= a+ bx1.x2.x1x2isusx 稱為狀態(tài)

36、向量，v 稱為輸入向量。f若電路具有n個(gè)狀態(tài)變量， m個(gè)激勵(lì)源。矩陣a為nn階方陣；v 為 m 階列向量； 矩陣b為nm階矩陣。狀態(tài)方程的編寫(xiě)方法：直觀法和系統(tǒng)法。較簡(jiǎn)單的電路用直觀法，復(fù)雜的電路用系統(tǒng)法。7.10 狀態(tài)方程狀態(tài)方程3. 狀態(tài)方程的編寫(xiě)c 在線性電路中，選獨(dú)立的電容電壓和獨(dú)立的電感電流作為狀態(tài)變量編寫(xiě)狀態(tài)方程和求解最方便。直觀法的編寫(xiě)步驟 在狀態(tài)方程中，要包含對(duì)狀態(tài)變量的一次導(dǎo)數(shù)：(1)對(duì)只含一個(gè)c的結(jié)點(diǎn)列kcl方程；(2)對(duì)只含一個(gè)l的回路列kvl 方程；(3)列其它方程(若有必要)，消去非狀態(tài)變量。c+-r2l2i1usr1+-ucl1i2isi2+is07.10 狀態(tài)方程

37、狀態(tài)方程列出以u(píng)c、 i1和i2為狀態(tài)變量的方程。解：12cdtduc= - i1- i2g l1dtdi1= uc - r1(i1+i2) + us= uc - r1(i1+i2) + us -r2(i2+is) ir1ir2對(duì)只含一個(gè)c的結(jié)對(duì)只含一個(gè)l的回路列kvl方程點(diǎn)列kcl方程l2dtdi2aj方程中不含非狀態(tài)變量，不用列其它方程。ir1ir2c+-r2l2i1usr1+-ucl1i2isi2+isi1+i20非狀態(tài)變量已預(yù)先做了處理7.10 狀態(tài)方程狀態(tài)方程整理成矩陣形式dtducdtdi1dtdi2=0-c1-c1l11-l1r1-l1r1l21-l2r1-l2r1+r2uci1

38、i2+0 0l110l21-l2r2usiscdtduc= - i1- i2l1dtdi1= uc - r1(i1+i2) + us= uc - r1(i1+i2) + us -r2(i2+is) l2dtdi27.10 狀態(tài)方程狀態(tài)方程4. 電路(或系統(tǒng))的狀態(tài)空間描述狀態(tài)方程只表示了狀態(tài)對(duì)輸入和初始狀態(tài)的關(guān)系：x = ax + + bv ， x(t0) = = x0.f在實(shí)用中，為了完整地表示動(dòng)態(tài)電路，還要建立4狀態(tài)方程與輸出方程聯(lián)立，稱為動(dòng)態(tài)電路的狀態(tài)空輸出與狀態(tài)、輸入之間的關(guān)系，稱輸出方程。間描述。輸出方程： y = cx + + dv則 y 是h維輸出向量；c是hn系數(shù)矩陣；d是hm

39、系數(shù)矩陣。c 、d 僅與電路結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)有關(guān)。f若 電路具有n個(gè)狀態(tài)變量, m個(gè)激勵(lì)源, h個(gè)輸出變量。7.10 狀態(tài)方程狀態(tài)方程對(duì)右圖電路，已編寫(xiě)過(guò)它的狀態(tài)方程。若以結(jié)點(diǎn)的電壓作為輸出，則有un1 = -r1(i1+i2) + usun2 = uc-(i1+i2)r1 + usun3 = r2(i2+is) c+-r2l2i1usr1+-ucl1i2isi2+isi1+i20un1un2un3y = cx + + dv=0 -r1 -r11 -r1 -r10 0 r2+1 01 00 1usisuci1i2整理成標(biāo)準(zhǔn)形式第七章第七章 一階電路和二階電路的時(shí)域分析一階電路和二階電路的時(shí)域分析

40、7-11 動(dòng)態(tài)電路時(shí)域分析中的幾個(gè)問(wèn)題7.11 動(dòng)態(tài)電路時(shí)域分析中的幾個(gè)問(wèn)題動(dòng)態(tài)電路時(shí)域分析中的幾個(gè)問(wèn)題1. 關(guān)于動(dòng)態(tài)電路的階數(shù)微分方程的階次稱為動(dòng)態(tài)電路的階數(shù)。動(dòng)態(tài)電路的階數(shù)與所含獨(dú)立動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)有關(guān)。(1)常態(tài)網(wǎng)絡(luò)不含純電容回路(包括電壓源)以及純電感割集(包電路的階數(shù) = 動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)。例如前面分析過(guò)的電路：僅含一個(gè)貯能元件(常值c與l)和電阻的電路，或能化為此形式的電路，都屬于一階電路。rlc串聯(lián)或并聯(lián)電路屬于二階電路。括電流源)在內(nèi)的網(wǎng)絡(luò)。 所以有：7.11 動(dòng)態(tài)電路時(shí)域分析中的幾個(gè)問(wèn)題動(dòng)態(tài)電路時(shí)域分析中的幾個(gè)問(wèn)題(2)非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)含純電容回路或純電感割集或二者兼有。電路的階數(shù) =

41、 動(dòng)態(tài)元件總數(shù)- 獨(dú)立純電感割集個(gè)數(shù) ilrlis+-usrc+-uc階數(shù) = 0 +-usc1sr1r2c2c3c4階數(shù) = 4 -1= 3 - 獨(dú)立純電容回路個(gè)數(shù)7.11 動(dòng)態(tài)電路時(shí)域分析中的幾個(gè)問(wèn)題動(dòng)態(tài)電路時(shí)域分析中的幾個(gè)問(wèn)題練習(xí)：分析圖示電路的階數(shù)。+-usc1r1l1c3l2l3r2c2is+-usc1r1l1c3l2l3r2c2is電容子網(wǎng)絡(luò)無(wú)獨(dú)立回路l1+-usc1r1c3l2l3r2c2is電感子網(wǎng)絡(luò)有1個(gè)獨(dú)立割集解：6 - 1 = 5階7.11 動(dòng)態(tài)電路時(shí)域分析中的幾個(gè)問(wèn)題動(dòng)態(tài)電路時(shí)域分析中的幾個(gè)問(wèn)題2. 動(dòng)態(tài)電路中初始值的計(jì)算換路定則必須遵循電荷守恒定律和磁鏈不變?cè)瓌t：qk

42、(0+) =qk(0-)或 ck uck(0+) = ck uck(0-)yk(0+) =yk(0-)或 lk ilk(0+) = lk ilk(0-)+-(t=0)s3wil1l16w12vl22h1hil2r2r1us+-(t0)s3wil1l16w12vl22h1hil2r2r1us換路前 il1(0-) =usr1= 4a，il2(0-) =usr2= 2a例1：電路穩(wěn)定后將s打開(kāi)，求il1(0+) 和 il2(0+) 。 解7.11 動(dòng)態(tài)電路時(shí)域分析中的幾個(gè)問(wèn)題動(dòng)態(tài)電路時(shí)域分析中的幾個(gè)問(wèn)題換路前： il1(0-) = 4a， il2(0-) = 2a換路后kcl要求 il2(0+)

43、= -il1(0+)但yl(0+) =yl(0-)il1(0+) = 2a+-(t=0)s3wil1l16w12vl22h1hil2r2r1us+-(t0)s3wil1l16w12vl22h1hil2r2r1us(l1+ l2) il2(0+) 12 - 24 il2(0+) =l1+ l2l2il2(0-) - l1il1(0-)=2 + 1= -2 a電感中電流變化引起的電壓遵循kvl方程中關(guān)于正負(fù)號(hào)的規(guī)定。出現(xiàn)了il(0-) il(0+) = l2il2(0-) - l1il1(0-) il2() = -il1() = 0t = (l1+ l2) / (r1+ r2)7.11 動(dòng)態(tài)電路時(shí)域分析中的幾個(gè)問(wèn)題動(dòng)態(tài)電路時(shí)域分析中的幾個(gè)問(wèn)題例2：s閉合前電路穩(wěn)定，us=6v，c3=2f， c1=c2=1f， t=0時(shí)s閉合，求各電容電壓的初始值(c3原未充電)。c1rus+-c2sc3+-uc2+-+-uc3uc1s閉合前uc