62數(shù)量積向量積混合積

1、返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年11月14日星期日1第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積 第六章第六章 四、小結(jié)與思考練習(xí)四、小結(jié)與思考練習(xí)一、向量的數(shù)量積一、向量的數(shù)量積二、向量的向量積二、向量的向量積三、向量的混合積三、向量的混合積*返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年11月14日星期日21m一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動,w1. 定義定義設(shè)向量的夾角為 ,稱 記作數(shù)量積 (點積) .引例引例 設(shè)一物體在常力 f 作用下, f位移為 s , 則力f 所做的功為cossfsfw2mbacosba的與為baba,s返回返回上頁

2、上頁下頁下頁目錄目錄2021年11月14日星期日3,0時當(dāng)a上的投影為在ab記作記作故,0,時當(dāng)同理babj rpb2. 性質(zhì)性質(zhì)為兩個非零非零向量, 則有prjabcosbbabaaj rpbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba則2),(ba0,0ba返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年11月14日星期日4(1) 交換律(2) 結(jié)合律),(為實數(shù)abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba事實上, 當(dāng)0c時, 顯然成立 ;時當(dāng)0cc()abbabcj rpacj rpcbabacj rpc cbaccj rpj rpacj

3、 rp cbcj rpccacbprj ()cab3. 運算律運算律返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年11月14日星期日5abcabccos2222abbac證證:則cos2222abbac如圖 . 設(shè),abc,baccbabac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,例例1 證明三角形余弦定理返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年11月14日星期日6設(shè)則, 10zzyyxxbababa當(dāng)為非零向量時,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiaz

4、yx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,5. 兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示 , 得4. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示數(shù)量積的坐標(biāo)表示返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年11月14日星期日7)(mb, )(ma bm, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(bam amb . a解解:, 1, 1 0, 1,0 1則ambcos10022213amb求mbmama mb故例例2（補充題）（補充題） 已知三點（自學(xué)課本（自學(xué)課本 例例2）返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年11月14日星期日8二、兩向量的向量積二、兩

5、向量的向量積引例引例 設(shè)o 為杠桿l 的支點 ,有一個與杠桿夾角為oqolpq符合右手規(guī)則oqffsinopsinopmfopopm m矩是一個向量 m :的力 f 作用在杠桿的 p點上 ,則力 f 作用在杠桿上的力fopfmfm 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年11月14日星期日9定義向量方向 :(叉積)記作且符合右手規(guī)則模 :向量積 ,，的夾角為設(shè)ba,c,acbccsinabbac稱c的與為向量babacba引例中的力矩fopm思考思考: 右圖三角形面積abba21s1. 定義定義返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年11月14日星期日10為非零向量, 則，0sin或即0a

6、a) 1 (0ba,)2(0baba,0,0時當(dāng)baba0basinab03. 運算律運算律(2) 分配律(3) 結(jié)合律(證明略)abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (證明證明:2. 性質(zhì)性質(zhì)返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年11月14日星期日11)(kajaiazyx)(kbjbibzyx設(shè)則,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk4.

7、 向量積的坐標(biāo)表示式向量積的坐標(biāo)表示式返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年11月14日星期日12kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx( 行列式計算見行列式計算見 課本附錄課本附錄) 向量積的行列式計算法向量積的行列式計算法返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年11月14日星期日13, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(cba角形 abc 的面積。（補充題）（補充題） 解解: 如圖所示,cbasabc21kji222

8、124)(21,4,622222)6(42114sin21ab ac21acab求三例例3 已知三點自學(xué)課本自學(xué)課本 例例3返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年11月14日星期日14解解: 記368(8 03)010, , ijkbaj368(8 03)010, , ijkbaj368(8 03)010, , ijkbaj1(8 03)73, , bb1(8 03)73, , bb返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年11月14日星期日15證明證明: 由三角形面積公式abacsabc21bcba21cacb21acbsinbacsincbasin因abacbcbacacbbbaasi

9、nsinccsin（注意與課本證法不一樣）（注意與課本證法不一樣）返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年11月14日星期日16內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)設(shè)1. 向量運算向量運算加減加減:數(shù)乘數(shù)乘:點積點積:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa（結(jié)果是一個標(biāo)量）（結(jié)果是一個標(biāo)量）叉積叉積:kjixayazaxbybzbba返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年11月14日星期日172. 向量關(guān)系向量關(guān)系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0ba0ba課后練習(xí)

10、課后練習(xí)習(xí)題習(xí)題6-2 1；3；4（2）；）；6；8；9返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年11月14日星期日18思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè)計算并求夾角 的正弦與余弦 .ba,2jibkjia,baba及2. 已知向量的夾角,43ba ,且. |ba 求, 2|a, 3|babcd在頂點為三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( a)0, 1 , 1 (b的和) 1,3, 1(c求 ac 邊上的高 bd .3.答案答案答案答案答案答案返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年11月14日星期日19)3, 1, 1 (,321cos1211sin,1baba1. 設(shè)計算并求夾角 的正弦與余弦 .ba,2jibkjia,baba及答案答案返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年11月14日星期日2022343cos322)2(17解：解：2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba2. 已知向量的夾角,43ba ,且. |ba 求, 2|a, 3|b返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年11月14日星期日