勾股定理思維導(dǎo)圖+題型總結(jié)

1、(一)勾股定理1：勾股定理 如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c,那么a2+b2c2我國古代學者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”. 要點詮釋：2、勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在中，則，）（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題3：勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法，用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是圖形經(jīng)過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變根據(jù)同一種圖

2、形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：方法一：，化簡可證方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為 所以方法三：，化簡得證4：勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，為正整數(shù)時，稱，為一組勾股數(shù)記住常見勾股數(shù)可以提高解題速度，如；等用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）5、注意：（1）勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。（2）勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。

3、（3）勾股定理在應(yīng)用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識在應(yīng)用過程中易犯的主要錯誤。（4）推理格式： ABC為直角三角形 AC2+BC2=AB2. （或a2+b2=c2）（二）勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長分別為：a、b、c，且滿足a2+b2c2，那么這個三角形是直角三角形。要點詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時應(yīng)注意：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長邊長為：c；（2）驗證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2a2+b2，則ABC是以C為直角的直角三角形（若c2>a2+b2，則

4、ABC是以C為鈍角的鈍角三角形；若c2<a2+b2，則ABC為銳角三角形）。（定理中，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長，滿足，那么以，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊）3：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。4：互逆命題的概念如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。六、隨堂練習1在中，、的對邊分別為、和若，則= ； 斜邊上的高為 .若，則= .

5、 斜邊上的高為 .若，且，則= ，.斜邊上的高為 .若，且，則= ，.斜邊上的高為 .2正方形的邊長為3，則此正方形的對角線的長為 .3正方形的對角線的長為4，則此正方形的邊長為 .4有一個邊長為50的正方形洞口，想用一個圓蓋去蓋住這個洞口，求圓的直徑至少多長 5一旗桿離地面處折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部處，求旗桿折斷之前有多高？6.如圖，一個長的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時的距離為，如果梯子頂端沿墻下滑，那么梯子底端也外移嗎？勾股定理典型例題及專項訓練專題一：直接考查勾股定理1已知等腰三角形腰長是10，底邊長是16，求這個等腰三角形的面積。2、已知：如圖，B=D=90°，A=60&

6、#176;，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。3：在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，則BC的長為多少？4：已知如圖，在ABC中，C=60°，AB=，AC=4，AD是BC邊上的高，求BC的長。5、如圖，在RtABC中，ACB=90°，CDAB于D，設(shè)AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。求證：（1） （2）（3） 以為三邊的三角形是直角三角形練習6.如圖，ABC中，AB=AC，A=45º，AC的垂直平分線分別交AB、AC于D、E，若CD=1，則BD等于(    )A1   B 

7、C   D7.已知一直角三角形的斜邊長是2，周長是2+，求這個三角形的面積8.如圖，,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積6.如圖，ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一點，且ADAC，求BD的長7.如圖，ABC中，ACB=90°，AC=BC，P是ABC內(nèi)一點，滿足PA=3，PB=1，PC=2，求BPC的度數(shù)8.已知ABC中，ACB=90°，AC=3,BC=4,（1）AD平分BAC,交BC于D點。求CD長 （2）BE平分ABC,交AC于E，求CE長專題二 勾股定理的證明abcl1、如圖，直線上有三個正方形，若的面積分別為5和11，則的面積

8、為（）（）4（）6（）16（）552、如圖是2002年8月在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會會標中的圖案，其中四邊形ABCD和EF都是正方形. 證：ABFDAE圖圖第3題圖3、圖是一個邊長為的正方形，小穎將圖中的陰影部分拼成圖的形狀，由圖和圖能驗證的式子是（ ）A B C D專題三 網(wǎng)格中的勾股定理1、如圖1，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是（ ） ABC（A）CD、EF、GH （B）AB、EF、GH （C）AB、CD、GH （D）AB、CD、EF2、如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，則網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊長為無

9、理數(shù)的邊數(shù)是（ ）A 0 B 1 C 2 D 33、（2010年四川省眉山市）如圖，每個小正方形的邊長為1，A、B、C是小正方形的頂點，則ABC的度數(shù)為（ ）A90° B60° C45° D30°4、如圖，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個得到，可得ABC，則邊AC上的高為（ ）A. B. C. D. 5、如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點稱為格點，請以圖中的格點為頂點畫一個邊長為3、的三角形所畫的三角形是直角三角形嗎?說明理由6、如圖，每個小正方形的邊長是1，在圖中畫出面積為2的三個形狀不同的三角形（要求頂點在交點處，其中至

10、少有一個鈍角三角形）專題四 實際應(yīng)用建模測長1、如圖（8），水池中離岸邊D點1.5米的C處，直立長著一根蘆葦，出水部分BC的長是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點，并求水池的深度AC.2、有一個傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以內(nèi)，燈就自動打開，一個身高1.5米的學生，要走到離門多遠的地方燈剛好打開？3、臺風是一種自然災(zāi)害，它以臺風中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風暴，有極強的破壞力，如圖，據(jù)氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺風中心，其中心最大風力為12級，每遠離臺風中心20千米，風力就會減弱一級，該臺風中心現(xiàn)正以

11、15千米/時的速度沿北偏東30º方向往C移動，且臺風中心風力不變，若城市所受風力達到或走過四級，則稱為受臺風影響.（1）該城市是否會受到這交臺風的影響？請說明理由.（2）若會受到臺風影響，那么臺風影響該城市持續(xù)時間有多少？（3）該城市受到臺風影響的最大風力為幾級？專題五 梯子問題1、如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長的梯子可以到達建筑物的高度是多少米？2、一架方梯長25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，（1）這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？ 3、如圖，梯子AB斜靠在墻面上，ACBC，AC=BC，當梯子的頂

12、端A沿AC方向下滑x米時，梯足B沿CB方向滑動y米，則x與y的大小關(guān)系是（ ）A. B. C. D. 不能確定專題六 最短路線1、如圖，學校教學樓旁有一塊矩形花鋪，有極少數(shù)同學為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內(nèi)走出了一條“路”他們僅僅少走了（）步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草 A、6B、5 C、4D、32、如圖，一圓柱體的底面周長為20，高AB為10，BC是上底面的直徑。一螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C，試求出爬行的最短路程。3、如圖，有一個圓柱體，底面周長為20，高AB為10，在圓柱的下底面A點處有一只螞蟻，它想繞圓柱體側(cè)面一周爬行到它的頂端C點處，那么它所行走的路程是多少？AC

13、4、如圖，假如這是一個圓柱體的玻璃杯， AD是杯底直徑，C是杯口一點，其他已知條件不變，螞蟻從外部點A處爬到杯子的內(nèi)壁到達高CD的中點E處，最短該走多遠呢？(杯子的厚度不計）BA5、如圖，一只螞蟻從一個棱長為1米，且封閉的正方體盒子外部的頂點A向頂點B爬行，問這只螞蟻爬行的最短路程為多少米？6、如圖，長方體的長為15cm，寬為10cm，高 為20cm，點B到點C的距離為5cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從A點爬到B點，需要爬行的最短距離是多少？BCA2015107、如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為2m、0.3m、0.2m，A和B是臺階上兩個相對的頂點，A點有一只螞蟻，想到

14、B點去吃可口的食物，問螞蟻沿著臺階爬行到B點的最短路程是多少？AB030.22.專題七 折疊三角形1、如圖，一塊直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6，BC=8?，F(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長 2、如圖，小潁同學折疊一個直角三角形的紙片，使A與B重合，折痕為DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的長嗎？3、如圖, ABC的三邊BC=3，AC=4、AB=5,把ABC沿最長邊AB翻折后得到ABC，則CC的長等于（ ）A. B. C. D.專題八 折疊四邊形1、折疊矩形ABCD的一邊AD,點D落在BC邊上的點F處,已知AB=8CM,BC=10C

15、M,求（1）CF的長 （2）EC的長.2、在矩形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按圖所示方式折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，求（1）DE的長；（2）EF的長。ABCDEG第3題圖F3.矩形紙片ABCD的邊長AB=4，AD=2將矩形紙片沿EF折疊，使點A與點C重合，折疊后在其一面著色（如圖），則著色部分的面積為_.4、如圖2-3，把矩形ABCD沿直線BD向上折疊，使點C落在C的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分EBD的面積為_5、如圖5，將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的點M重合，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后與BC邊交于點G。如果M為CD邊的中點，且DE=6，求正方形ABCD的面積6、矩形ABCD中，AB=6，BC=8，先把它對折，折痕為EF，展開后再沿BG折疊，使A落在EF上的A1，求第二次折痕BG的長