第一類曲線積分

1、問題的提出問題的提出對弧長的曲線積分的概念對弧長的曲線積分的概念幾何意義與物理意義幾何意義與物理意義對弧長的曲線積分的計算對弧長的曲線積分的計算第一節(jié)第一節(jié) 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分第一類曲線積分第一類曲線積分一、問題的提出一、問題的提出實例實例分割分割121, nmmm,),(iiis 取取iiiism ),(求和求和 niiiism1 ),(取極限取極限m取近似取近似曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量 niiiis1 ),( 0lim oxy2m1 nmablis 1 im),(ii 1mim二、對弧長的曲線積分的概念二、對弧長的曲線積分的概念1.1.定義定義設(shè)設(shè)l為為 xoy面內(nèi)一

2、條光滑曲線弧面內(nèi)一條光滑曲線弧,is 為為又又),(ii ,),(iiisf ,),(1 niiiisf 在在l上有界上有界.),(yxf函數(shù)函數(shù)作乘積作乘積并作和并作和如果當(dāng)各小弧段的長度的最大值如果當(dāng)各小弧段的長度的最大值,0時時 在在l上任意插入一點列上任意插入一點列把把l分成分成n個小段個小段.設(shè)第設(shè)第i個小段的個小段的第第i個小段上任意取定的個小段上任意取定的長度為長度為一點一點,oxy2m1 nmablis 1 im),(ii 1mim121,nm mm曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量 lsyxmd),( ,d),( lsyxf即即 lsyxfd),(這和的極限存在這和的極限存在,

3、 則稱此極限為則稱此極限為),(yxf函數(shù)函數(shù)在曲線弧在曲線弧 l 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分或或第一類曲線積分第一類曲線積分. . 積分和式積分和式被積函數(shù)被積函數(shù) 弧元素弧元素積分弧段積分弧段記作記作 niiiisf1),( niiiisf1),( 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分0lim 2. 性質(zhì)性質(zhì) (1) 與積分路徑的方向無關(guān)與積分路徑的方向無關(guān),即即 lsyxfd),( lsyxfd),()(ab)(ba對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分在在函函數(shù)數(shù)),()2(yxf lsyxfd),(閉曲線閉曲線l l上上對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分記作記作三、對弧長曲線積分的計算三、

4、對弧長曲線積分的計算定理定理),()()( ttytxl的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為上上在在曲曲線線弧弧設(shè)設(shè)lyxf),(上上在在,)(),( tt其中其中且且 f),(t )(t )( 有定義且連續(xù)有定義且連續(xù),具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù), lsyxfd),( 注意注意對弧長的曲線積分要求對弧長的曲線積分要求0d s定積分的下限定積分的下限一定要小于上限一定要小于上限 tttd)()(22 特殊情形特殊情形bxaxyl ),(: lsyxfd),()(ba baxf,(1)xx d)(12 )(x dycyxl ),(: lsyxfd),()(dc (2) dcyyf),( yy d)(1

5、2 f),(t )(t lsyxfd),( tttd)()(22 )()(),(),(: ttztytx推廣推廣 szyxfd),(tttttttfd)()()()(),(),(222 )( f),(t )(t lsyxfd),( tttd)()(22 例例解解例例)20(.,sin,cos:,d 的一段的一段其中其中求求kzayaxsxyzi解解 kai 202sincos22221kaka .)2 , 2(2,d2的的一一段段上上自自原原點點到到為為其其中中求求xylsyil 20yi)155(31 xy22 )20( y22yx d22ka yy d12 )2 , 2( xy22 xyo

6、,d22 lyxse計算計算,:222ayxl 由圓周由圓周軸軸及及直線直線xxy 在第一象限中所圍圖形的邊界在第一象限中所圍圖形的邊界.ab lyxsed22 boaboa提示提示解解:oa, 0 y oayxsed22xsd01d2 :abcos ,sin ,xat yat04t seabyxd2240dtdtae a xeaxd01 aeaae4 ,0ax xyoab:bo,xy seboyxd22xsd11d2 xeaxd222021 ae lyxsed22故故aaaee4)1(2 .220ax xyo,1),(時時當(dāng)當(dāng) yxf上的上的表示立于表示立于當(dāng)當(dāng)lyxf),( ssl),(y

7、xfz 幾何意義幾何意義 lsd(1)(2),),(處的高時處的高時柱面在點柱面在點yx四、幾何四、幾何意義與物理意義與物理意義意義 lsyxfd),(柱面面積柱面面積弧長弧長 l lsyxfd),(22 ( )cos , ( )sin ( )( )df rrrr:( ),l rr 22222()()rrxy2222xyzr解解例例 求圓柱面求圓柱面 被截在球被截在球02:cos , ,l rr 由對稱性知，所求面積是第一卦限部分面由對稱性知，所求面積是第一卦限部分面積的積的4倍倍2224lsrxy ds24r222204cosrr對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分內(nèi)的部分曲面的面積。內(nèi)的部分曲

8、面的面積。rd軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量軸軸及及曲曲線線弧弧對對yx)2(,d2 lxsyi 曲曲線線弧弧的的質(zhì)質(zhì)心心坐坐標(biāo)標(biāo))3(,dd llssxx 的線密度時的線密度時表示表示當(dāng)當(dāng)lyx),()( 1 lsyxmd),( 物理意義物理意義 lysxid2 llssyydd 則則為為下下半半圓圓周周設(shè)設(shè)平平面面曲曲線線,12xyl ).(d)(22 syxl曲線積分曲線積分 解解 設(shè)下半圓周的參數(shù)方程設(shè)下半圓周的參數(shù)方程cos ,sinxt yt則則syxld)(22 22(cossin)tt 22dtdt( sin )(cos )tt 2對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分還有更簡單的方法嗎還

9、有更簡單的方法嗎? 在一條光滑在一條光滑(或分段光滑或分段光滑)的的是是l上上關(guān)于關(guān)于x 的奇函數(shù)的奇函數(shù) lsyxfd),(是是l上關(guān)于上關(guān)于x 的偶函數(shù)的偶函數(shù) ,d),(21 lsyxfl1是曲線是曲線l落在落在y 軸一側(cè)的部分軸一側(cè)的部分.在分析問題和算題時常用的在分析問題和算題時常用的l關(guān)于關(guān)于y軸軸 對稱對稱,補充補充對稱性質(zhì)對稱性質(zhì)曲線曲線l上連續(xù)上連續(xù), ),(yxf設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)則則, 0當(dāng)當(dāng)),(yxf(或或y)(或或y)當(dāng)當(dāng)),(yxf(或或x軸軸)(或或x) 例例 lsyx.d)(3其中其中l(wèi)是圓周是圓周.222ryx 解解 llsysxdd3 lsyxd)(3,d ls

10、x對對因因積分曲線積分曲線l關(guān)于關(guān)于被積函數(shù)被積函數(shù)x是是l上上0d lsx lsy,d3對對被積函數(shù)被積函數(shù)0d3 lsy因因積分曲線積分曲線l關(guān)于關(guān)于3y222ryx 對稱性對稱性, ,計算計算得得0 是是l上上y軸對稱軸對稱,關(guān)于關(guān)于x的奇函數(shù)的奇函數(shù)x軸對稱軸對稱,關(guān)于關(guān)于y的奇函數(shù)的奇函數(shù)xyo例例).0(222 xryxabl解解xyo即即是右半圓周是右半圓周其中其中計算計算,d|lsyl ,軸軸對對稱稱關(guān)關(guān)于于xl故故 lsy d|2xyrd22r sydab,|的偶函數(shù)的偶函數(shù)為為yy ry02則則其周長為其周長為為橢圓為橢圓設(shè)設(shè), 13422ayxl lsyxxyd)432(22a12解解 lsxyd20 lsyxd)43(1211222 lsyxd)34(1222sld112 a12 對稱性對稱性對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 lsyxxyd)432(22022