第三節(jié)無窮小和無窮大

1、第三節(jié)第三節(jié) 無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量2.3.1 無窮小量無窮小量 1.定義定義1 設(shè)設(shè) f (x)在某在某u (x0)內(nèi)有定義內(nèi)有定義. 若若 則稱則稱 f (x)為為當(dāng)當(dāng) xx0 時(shí)的時(shí)的無窮小量無窮小量.例如：例如：0limsin0 xx 由于，由于，sin0.xx 所以函數(shù)是當(dāng)時(shí)的無窮小量所以函數(shù)是當(dāng)時(shí)的無窮小量1lim0 xx 由于，由于，1.xx 所以函數(shù)是當(dāng)時(shí)的無窮小量所以函數(shù)是當(dāng)時(shí)的無窮小量( 1)lim0nnn 由于，由于，( 1).nn 所以數(shù)列是無窮小數(shù)列所以數(shù)列是無窮小數(shù)列0lim( )0,xxf x (2)無窮小量與極限過程分不開，不能脫離極限過程談無窮小

2、量無窮小量與極限過程分不開，不能脫離極限過程談無窮小量. .2limsin1.xx 如如sinx是是x0時(shí)的無窮時(shí)的無窮小量，但小量，但注注 (1)無窮小量是變量，不能與很小的數(shù)混淆無窮小量是變量，不能與很小的數(shù)混淆; ;.2x 因因此此，它它不不是是時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小量量(3)關(guān)于關(guān)于有界量有界量.2.無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)時(shí), 有有,min21定理定理1. 有限個無窮小的和還是無窮小有限個無窮小的和還是無窮小 .證證: 考慮兩個無窮小的和考慮兩個無窮小的和 . 設(shè)設(shè),0lim0 xx,0lim0 xx,0,01當(dāng)當(dāng)100 xx時(shí)時(shí) , 有有2, 02當(dāng)當(dāng)200 xx時(shí)時(shí)

3、, 有有2取取則當(dāng)則當(dāng)00 xx22因此因此.0)(lim0 xx這說明當(dāng)這說明當(dāng)0 xx 時(shí)時(shí),為無窮小量為無窮小量 .定理定理2 . 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 . 證證: 設(shè), ),(10 xxmu 又設(shè),0lim0 xx即,0,02當(dāng)),(20 xx時(shí), 有m取,min21則當(dāng)),(0 xx時(shí) , 就有uumm故,0lim0uxx即u是0 xx 時(shí)的無窮小 .推論推論 1 . 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 .推論推論 2 . 有限個無窮小的乘積是無窮小 .其中 為0 xx 時(shí)的無窮小量 . 定理定理2.3.1. ( 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系 )axfxx)(lim0 axf)(,證證:

4、axfxx)(lim0,0,0當(dāng)00 xx時(shí),有 axf)(axf)(0lim0 xx對自變量的其它變化過程類似可證 .mxf)(2.3.2、 無窮大無窮大定義定義2 . 若任給任給 m 0 ,000 xx一切滿足不等式的 x , 總有則稱函數(shù))(xf當(dāng)0 xx 時(shí)為無窮大, 使對.)(lim0 xfxx若在定義中將 式改為mxf)(則記作)(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(xx )(x)(lim(xfx(正數(shù)正數(shù) x ) ,記作, )(mxf總存在概念：概念：在某個變化過程中，絕對值無限增大的函數(shù)，稱為在此變在某個變化過程中，絕對值無限增大的函數(shù)，稱為在此變化過程中

5、的化過程中的無窮大量無窮大量.(非正常極限非正常極限).注意注意:1. 無窮大不是很大的數(shù), 它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2. 函數(shù)為無窮大 , 必定無界 . 但反之不真 !例如例如, 函數(shù)),(,cos)(xxxxf)2(nf)(n當(dāng)n2但0)(2nf所以x時(shí) ,)(xf不是無窮大 !oxyxxycos例例 . 證明11lim1xx證證: 任給正數(shù) m , 要使,11mx即,11mx只要取,1m則對滿足10 x的一切 x , 有mx11所以.11lim1xx11xy若 ,)(lim0 xfxx則直線0 xx 為曲線)(xfy 的鉛直漸近線 .漸近線1說明說明:xyo無窮小與無窮大的關(guān)系無窮小與無

6、窮大的關(guān)系若)(xf為無窮大,)(1xf為無窮小 ;若)(xf為無窮小, 且,0)(xf則)(1xf為無窮大.則定理定理2.3.2 在自變量的同一變化過程中,所以所以2213lim54xxxx 2213lim.54xxxx 例 例 22154 lim = 0,3xxxx 解解因?yàn)橐驗(yàn)?121lim .543xxxx 2.3.3 無窮小量階的比較無窮小量階的比較,0時(shí)xxxxsin,32都是無窮小,引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 可見無窮小趨于 0 的速度是多樣的 . ,0limck,0lim若若則稱則稱 是比是比 高階高階的無窮小的無窮

7、小,)(o,lim若若若若若若, 1lim若若,0limc或或,設(shè)設(shè)是自變量同一變化過程中的無窮小是自變量同一變化過程中的無窮小,記作記作則稱則稱 是比是比 低階低階的無窮小的無窮小;則稱則稱 是是 的的同階同階無窮小無窮小;則稱則稱 是關(guān)于是關(guān)于 的的 k 階階無窮小無窮小;則稱則稱 是是 的的等價(jià)等價(jià)無窮小無窮小, 記作記作)(o定義定義2.3.3例如例如 , 當(dāng))(o0 x時(shí)3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故0 x時(shí)xcos1是關(guān)于 x 的二階無窮小,xcos1221x且例例1. 證明: 當(dāng)0

8、x時(shí),11nxxn1證證: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0時(shí)當(dāng) x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb命題命題2.3.2)(o證證:1lim, 0)1lim(0lim即, )(o即)(o例如例如,0 時(shí)x,sinxx,tanxx故,0 時(shí)x, )(sinxoxx)(tanxoxx命題命題2.3.3 設(shè),且lim存在 , 則lim lim證證:limlim limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim0520 ( ) ( )().f xg xxx00(i)lim( ) ( )lim( )

9、 ( );xxxxf x h xag x h xa若，則若，則無窮小量的等價(jià)替換定理無窮小量的等價(jià)替換定理 求兩個無窮小量比值的極限時(shí)求兩個無窮小量比值的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無窮小分子及分母都可用等價(jià)無窮小量來代替量來代替 因此因此，如果用來代替的無窮小量選取得適當(dāng)如果用來代替的無窮小量選取得適當(dāng)，則可使計(jì)則可使計(jì)算簡化算簡化 定理定理3.12的意義的意義: :證證00( )( )(ii)limlim.( )( )xxxxh xh xbbf xg x若，則若，則0(i) lim( ) ( )xxg x h x00( )limlim( ) ( )( )xxxxg xf x h xf x1

10、;aa (ii).可類似證明可類似證明0( ), ( ), ( )(3.12)( 62)f xg x h xuxp 定理定理設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，且有設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，且有2.3.3,0時(shí)當(dāng) xxsinxtanxarcsin,x,x,xxcos1,221x11nxxn1常用等價(jià)無窮小 :xx )1ln( 32101232112yx sinyx 10143211234tanyx yx 10.500.511.510.50.511.5yx arcsinyx 21.510.500.511.521.510.50.511.5yx arctanyx 21.510.500.511.520.50.511.522xy 1cosyx 0.500.511.520.50.511.5yx ln(1)yx 無窮小量的等價(jià)替換定理的幾何意義無窮小量的等價(jià)替換定理的幾何意義 解解 當(dāng)當(dāng)x0時(shí)時(shí) tan 2x2x sin 5x5x 所以所以 0tan2 lim.si n5xxx例例0tan2limsin5xxx 02lim5xxx 2.532011lim.1cosxxx 例例 23211 (),3xx