有理函數(shù)的積分64774

1、一一 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分二二 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分三三 簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分第四節(jié) 有理函數(shù)的積分(integration of several kinds of functions)一一 問題的提出問題的提出(introduction)dxxx 2111)()(（2 2）.cossin1sin dxxxx（3 3） dxxxx11兩個多項式的商表示的函數(shù)兩個多項式的商表示的函數(shù). .mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxqxp 11101110)()(其其中中m、n都都是是非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)；naaa,10及及mbbb,10都都是是實實數(shù)數(shù)

2、，并并且且00 a，00 b.二二 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分(integration of rational function)有理函數(shù)的定義：有理函數(shù)的定義：假定分子與分母之間沒有公因式假定分子與分母之間沒有公因式,)1(mn 這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是真分式；,)2(mn 這有理函數(shù)是假分式；這有理函數(shù)是假分式； 有理函數(shù)有以下性質(zhì)：有理函數(shù)有以下性質(zhì)：1 1）利用多項式除法）利用多項式除法, , 假分式可以化成一個假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和多項式和一個真分式之和. .例如，例如，1123 xxxkaxa)( 2）在實數(shù)范圍內(nèi)真分式總可以分解成幾個最簡式之和）在實數(shù)

3、范圍內(nèi)真分式總可以分解成幾個最簡式之和其其中中qpaba,都都是是待待定定的的常常數(shù)數(shù). 最簡分式是下面兩種形式的分式最簡分式是下面兩種形式的分式;)(kqpxxbax 2042 qpk為正整數(shù)，難點(diǎn)難點(diǎn)將有理函數(shù)化為最簡分式之和將有理函數(shù)化為最簡分式之和.)()(11101110是真分式是真分式設(shè)設(shè)mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxqxp )()()()()()()()()()()()(22112211121121srxxsxrsrxxsxrqpxxnxmqpxxnxmbxbbxbbxbaxaaxaaxaxqxp （1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，則分解后為，則分解后為ka

4、x)( ,)()(121axaaxaaxakkk 3）有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：）有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：其中其中kaaa,21都是待定的常數(shù)都是待定的常數(shù).特殊地：特殊地：, 1 k分解后為分解后為;axa （2 2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中其中kqpxx)(2 則分解后為則分解后為042 qpqpxxnxmqpxxnxmqpxxnxmkkkk 21222211)()(其其中中iinm ,都都是是待待定定的的常常數(shù)數(shù)), 2 , 1(ki .特殊地特殊地：, 1 k分解后為分解后為;2qpxxnmx 便于求積分必須把真分式化為部分分式之和，同便于求積分必須

5、把真分式化為部分分式之和，同時要把上面的待定的常數(shù)確定，這種方法叫待定時要把上面的待定的常數(shù)確定，這種方法叫待定系數(shù)法系數(shù)法例例1 1例例1. 將下列真分式分解為部分分式 :;) 1(1) 1 (2xx;653)2(2xxx.)1)(21 (1)3(2xx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xbxa , 3)23(, 1baba,65 ba6532 xxx.3625 xx)3)(2()2()3( xxxbxa)3)(2()23()( xxbaxba(3) 混合法)1)(21 (12xx xa2121xcbx原式)21 (xa21x54機(jī)動 目錄 上

6、頁 下頁 返回 結(jié)束 代入等式兩端分別令1 ,0 xc541215461cb52b51c原式 =x214512112xx四種典型部分分式的積分四種典型部分分式的積分: caxaln) 1( ncaxnan1)(1xaxad. 1xaxand)(. 2機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xqxpxnxmd. 32xqxpxnxmnd)(. 42) 1,04(2nqp變分子為 )2(2pxm2pmn 再分項積分 例例3. 求.d3222xxxx解解: 原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2() 1() 1d(3xxcx21arctan23機(jī)動 目

7、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxxd)4)(1(22)4() 1(22xx例例4. 求求.d4555222423xxxxxxixxxxxid4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xcxarctan解解:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 求求.d)22(222xxxx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6 6 求積分求積分解解.11632dxeeexxx 令令6xet ,ln6tx ,6dttdx dxeeexxx 63211dttttt61123 dtttt )1)(1(162dttttt 2133136c

8、tttt arctan3)1ln(23)1ln(3ln62dttttt 2133136.)arctan(3)1ln(23)1ln(3636ceeexxxx 23)1ln(3ln6 ttdttttd 2221131)1(三角有理式的定義：三角有理式的定義： 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)一般記為構(gòu)成的函數(shù)一般記為)cos,(sinxxr1 1 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分 dxxxr)cos,(sin稱為三角函數(shù)有理式的積分，稱為三角函數(shù)有理式的積分，它經(jīng)過所謂的它經(jīng)過所謂的“萬能代換萬能代換”化成有理函數(shù)的積分。化成有理函數(shù)的積分。三

9、三 可化為有理函數(shù)的積分可化為有理函數(shù)的積分2cos2sin2sin xxx 這是因為這是因為2tan12tan22xx xcos2tan12tan122xx 2tan12tan2 tan22xxx 2122tanuuxu 22112tanuuxu 2122tanuuxu 令令2tanxu uxarctan2 duudx212 dxxxr)cos,(sin.1211,122222duuuuuur 例例7 7 求積分求積分.cossin1sin dxxxx例例7 7 求積分求積分.cossin1sin dxxxx解解,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx 由萬能置換公式由

10、萬能置換公式 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(112222duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan )1ln(212u cu |1|ln2tanxu 2x |2sec|lnx .|2tan1|lncx 例例8 8 求積分求積分.)cos1(sinsin1 dxxxx解解,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx 由萬能置換公式由萬能置換公式duuuu 12212 dxxxx)cos1(sinsin1cuuu )ln22(212cxxx 2tanln212tan42tan2例例

11、8. 求求.)0(cossind2222baxbxax機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7 7 求積分求積分.sin1cos dxxx解解 )121(12112222uuuduuu dxxxsin1cosduuuu )1)(1()1(22 3. 簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分,d),(xbaxxrn令nbxat,d),(xxrndxcbxa令ndxcbxat被積函數(shù)為簡單根式的有理式 , 可通過根式代換 化為有理函數(shù)的積分. 例如:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,d),(xbaxbaxxrmn,pbxat令., 的最小公倍數(shù)為nmp例例11. 求.21d3xx321ln3x機(jī)

12、動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例12. 求.d3xxx解解: 為去掉被積函數(shù)分母中的根式 , 取根指數(shù) 2 , 3 的最小公倍數(shù) 6 ,6tx 則有原式23ttttd65ttttd)111(626331t221ttt1lnccxxxx)1(ln6632663令機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例13. 求.d11xxxx解解: 令,1xxt則,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222tttd1222t211lnttcxx12cxxx1122ln機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 可積函數(shù)的特殊類型有理函數(shù)分解多項式及部分分

13、式之和三角函數(shù)有理式萬能代換簡單無理函數(shù)三角代換根式代換2. 特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出, 但不一定 要注意綜合使用基本積分法 , 簡便計算 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 簡便 , 思考與練習(xí)思考與練習(xí)如何求下列積分更簡便 ?)0(d. 1662axxaxxxxcossind. 23解解: 1.23233)()(d31xax原式caxaxa33333ln61caxaxa33333ln612. 原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxxdsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlncx2sin121機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回

14、結(jié)束 作業(yè)作業(yè)p218 3 , 6 , 8 , 9 , 13 , 15, 17 , 18 , 20 , 21第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題 1.求不定積分解：解：.d)1 (126xxx令,1xt 則,1tx ttxd1d2, 故xxxd)1 (126161t)11 (2tttd)1(2tttd126ttttd)111(224551t331ttct arctancxxxx1arctan1315135機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 分母次數(shù)較高,宜使用倒代換.2.求不定積分解：解：.dcos3sin1xxx原式 =2tanxu 前式令xxdcos31xxxdcos3sin

15、221131uuuud122uud2122arctan21u)cos3(dcos31xxxcos3ln ; 后式配元cx cos3ln)2tan21arctan(21xcx cos3ln機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 討論類型討論類型),(nbaxxr ),(necxbaxxr 作代換去掉根號作代換去掉根號. .例例8 8 求積分求積分 dxxxx11解解 令令txx 1,12txx 2 2 簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分解決方法解決方法關(guān)鍵去掉根號關(guān)鍵去掉根號解決方法解決方法作代換去掉根號作代換去掉根號. .;necxbaxt 令令;nbaxt 令令,112 tx ,1222 tt

16、dtdx dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt 11122cttt 11ln2.11ln122cxxxxx 例例9 9 求積分求積分.2113 dxx解解 令令23 xt,32dxdtt dttt 132dttt 11132cttt |)1|ln2(32.)12ln(3)2(3)2(233332cxxx dxx3211說明說明無理函數(shù)去根號時無理函數(shù)去根號時, , 取根指數(shù)的最小公倍數(shù)取根指數(shù)的最小公倍數(shù). .例例1010 求積分求積分.13 dxxx解解 令令xt 6,65dxdtt dxxx31 dtttt)1(6235 dttt2216ctt )arctan

17、(6 dtt)111(62cxx )arctan(666例例1111 求積分求積分.1113 dxxx解解 令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163ctttt |1|ln663223.)11ln(6131312663cxxxx 說明說明 無理函數(shù)去根號時無理函數(shù)去根號時, 取根指數(shù)的取根指數(shù)的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù).例例1212 求積分求積分.1213 dxxxx解解先對分母進(jìn)行有理化先對分母進(jìn)行有理化原式原式 dxxxxxxxx)1213)(1213()1213( dxxx)1213()13(1331 xdx)12(1221 xdx.)12(31)

18、13(922323cxx 例例1313解解.)1()1(342 xxdx求求.)1()11()1()1(234342 xxxxx,11 xxt令令,)1(22dxxdt 則有則有 原原式式 234)1()11(xxxdxdtt 3421ct 3123.11233cxx ).1(11)1()1(23342 xxxxx或或11,11333 ttxxxt令令232)1(6 tdttdx 原原式式cttdttttdttt 2323)1(4)1(62233232.11233cxx 說明說明當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式根式 時，可采用令時，可采用令 （其中（其中 為各根

19、指數(shù)的為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù)） lkxx,ntx n例例1414 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216 dttt221116 dtt21116carctgtt 6. 666cxarctgx 簡單無理式的積分去掉根式簡單無理式的積分去掉根式.有理式分解成部分分式之和的積分有理式分解成部分分式之和的積分.三角有理式的積分三角有理式的積分.（萬能置換公式）（萬能置換公式）五五 小結(jié)小結(jié)（注意：關(guān)鍵為了去掉根號）（注意：關(guān)鍵為了去掉根號）六六 思考、判斷題思考、判斷題1 dxxxxx 532運(yùn)用無理根式代

20、換計算運(yùn)用無理根式代換計算2 dxxx )1(1111)1(1 xxxx被積函數(shù)裂項可以直接判斷的，不必運(yùn)用待定系數(shù)法被積函數(shù)裂項可以直接判斷的，不必運(yùn)用待定系數(shù)法例如例如 簡單無理式的積分簡單無理式的積分.有理式分解成部分分式之和的積分有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必須化成真分式）（注意：必須化成真分式）三角有理式的積分三角有理式的積分.（萬能置換公式）（萬能置換公式）（注意：萬能公式并不萬能）（注意：萬能公式并不萬能）四、小結(jié)思考題思考題將分式分解成部分分式之和時應(yīng)注意什么？將分式分解成部分分式之和時應(yīng)注意什么？思考題解答思考題解答分解后的部分分式必須是最簡分式分解后的部分分式必

21、須是最簡分式.一、一、 填空題：填空題：1 1、 dxxxcbxxadxx111323，其，其 a_, , b_ _ , , c_；2 2、 dxxcxbxadxxxx111111222, , 其中其中 a_, , b_, , c_；3 3、 計算、 計算 ,sin2xdx可用萬能代換可用萬能代換 xsin_ _, , dx_ _；4 4、計算、計算 ,mbaxdx令令 t_, , x_,_, dx_ . .練習(xí)題練習(xí)題5 5、有理函數(shù)的原函數(shù)都是、有理函數(shù)的原函數(shù)都是_ . .二、求下列不定積分：二、求下列不定積分： 1 1、 321xxxxdx； 2 2、 xxxdx221； 3 3、 dxx411； 4 4、 xdx2sin3； 5 5、 5cossin2xxdx； 6 6、 dxxx1111 ； 7 7、 xdxxx11； 8 8、 342)1()1(xxdx . .三、求下列不定積分三、求下列不定積分（用以前學(xué)過的方法） ：（用以前學(xué)過的方法） ： 1 1、 dxxx31； 2 2、 dxxxxsincos1； 3 3、 241xxdx； 4 4、 dxxx32cossin； 5 5、 dxxx283)1(； 6 6、dxxx sin1sin； 7 7、 dxxxxx)(33； 8 8、 dxexexx2)1(； 9 9、 dxxx22)1ln