圓心角定理匯總

1、圓心角定理(弧、弦、圓心角關(guān)系定理)基本內(nèi)容：1、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。2、在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，則它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等。3、在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，則它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等。在理解時(shí)要注意：前提：在同圓或等圓中；條件與結(jié)論：在兩條弧相等；兩條弦相等；兩個(gè)圓心角相等中，只要有一個(gè)成立，則有另外兩個(gè)成立?；靖拍罾斫猓?在同圓或等圓中，若的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（ ）的度數(shù)等于；所對(duì)的圓心角等于所對(duì)的圓心角；和是等?。唬?題圖）所對(duì)的弦心距等于所對(duì)的弦心距。A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)2如圖，在兩半徑不同的同

2、心圓中，則（ ）ABC的度數(shù)=的度數(shù)D的長(zhǎng)度=的長(zhǎng)度3下列語(yǔ)句中，正確的有（ ） （1）相等的圓心角所對(duì)的弧相等；（2）平分弦的直徑垂直于弦； （3）長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧； （4）經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是圓的對(duì)稱軸 （A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè)4已知弦AB把圓周分成1:5的兩部分，這弦AB所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為 5在O中，的度數(shù)240°，則的長(zhǎng)是圓周的 份概念的延伸及其基本應(yīng)用：1在同圓或等圓中，如果圓心角等于另一圓心角的2倍，則下列式子中能成立的是（ ）2在同圓或等圓中，如果，則與的關(guān)系是（ ）ABCD3在中，圓心角，點(diǎn)到弦的距離為4，則的直徑的長(zhǎng)為（ ）ABC

3、24D164在中，兩弦，分別為這兩條弦的弦心距，則，的關(guān)系是（ ）ABCD無(wú)法確定5已知：O的半徑為4cm，弦AB所對(duì)的劣弧為圓的，則弦AB的長(zhǎng)為 cm，AB的弦心距為 cm6如圖，在O中，ABCD，的度數(shù)為45°，則COD的度數(shù)為 典型例題精析：（6題圖）例題1、如圖，已知：在O中，OAOB，A=35°，求和的度數(shù).解：連結(jié)OC，在RtAOB中，A=35°B=55°，又OC=OB，（例題1圖）COB=180°-2B=70°，的度數(shù)為70°，COD=90°-COB=90°-70°=20°

4、;，的度數(shù)為20°.說(shuō)明：連結(jié)OC，通過(guò)求圓心角的度數(shù)求解。此題是基本題目，目的是鞏固基礎(chǔ)知識(shí).例題2、如圖，已知：在O中，=2，試判斷AOB與COD，AB與2CD之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.分析：根據(jù)條件確定圖形，觀察、分析、猜想，特別是解：AOB=2COD， AB<2CD，理由如下：如圖，在O上取一點(diǎn)C ，使=.COD=DOC=2，=+=.（例題2圖）AB=CC. AOB=CO C=COD+DOC=2COD又在CD C中，CD+DC> CC，CC <2CD，即AB<2CD.說(shuō)明：證明兩條線段的不等關(guān)系，常常把兩條線段放到一個(gè)三角形中。此題進(jìn)一步理解定理及其推論

5、的應(yīng)用條件，在“相等”問(wèn)題中的不等量.由=2可得AOB=2COD是正確的，但由=2得出AB=2CD，是錯(cuò)誤的，培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的遷移能力.例題3、如圖，已知：AB是O直徑，M、N分別是AO、BO的中點(diǎn)，CMAB，DNAB，求證：=.分析：要證弧相等，可以證弧對(duì)應(yīng)的弦相等，弧對(duì)應(yīng)的圓心角相等.證法一：連結(jié)AC、OC、OD、BD，M、N分別是AO、BO的中點(diǎn)，CMAB，DNAB，AC= OC、OD=BD又OC=OD，AC= BD，=.證法二：連結(jié)OC、OD，（例題3圖1）M、N分別是AO、BO的中點(diǎn)，OM=AO，ON=BO，OA=OB，OM=ON，CMAB，DNAB，OC=OD，RtCOMRtDO

6、N，COA=DOB，=.證法三、如圖，分別延長(zhǎng)CM、DN交O于E、F，M、N分別是AO、BO的中點(diǎn)，OM=AO，ON=BO，OA=OB，OM=ON，又CMAB，DNAB，CE=DF，=，=，=.說(shuō)明：此題是利用本節(jié)定理及推論應(yīng)用的優(yōu)秀題目，題目不難，但方法靈活，培養(yǎng)學(xué)生靈活解決問(wèn)題的能力和基本的輔助線的作法.例題4、如圖，C是O直徑AB上一點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)作弦DE，使CDCO，若的度數(shù)為40°，求的度數(shù)分折： 要求的度數(shù)，可求它所對(duì)的圓心角BOE的度數(shù)，如圖作輔助線，通過(guò)等量轉(zhuǎn)換得出結(jié)果解： 連OE、OD并延長(zhǎng)DO交O于F 的度數(shù)為40°，AOD=40° CDCO， O

7、DEAOD40° ODOE， EODE40°（例題4圖） EOF=E+ODE=80°，BOF= AOD40°， 則BOE=EOF +BOF =80°+40°=120°，的度數(shù)為120°說(shuō)明：此題充分體現(xiàn)了圓中的等量轉(zhuǎn)換以及圓中角度的靈活變換例題5、如圖，在中，直徑垂直于并交于；直徑交于，且，求的度數(shù).（例題5圖）解連結(jié).于，且.，又.，的度數(shù)是.說(shuō)明：由于圓心角的度數(shù)與它所對(duì)的弧的度數(shù)相等，而我們對(duì)角是比較熟悉的，所以求弧的度數(shù)的問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為求它所對(duì)的圓心角度數(shù)的問(wèn)題.例題6、已知：如圖，、分別是的弦、的中點(diǎn)，求

8、證：.分析：由弦，想到利用弧，圓心角、弦、弦心距之間的關(guān)系定理，又、分別為、的中點(diǎn)，如連結(jié)，則有，故易得結(jié)論.證明連結(jié)、，（例題6圖）為圓心，、分別為弦、的中點(diǎn)，.說(shuō)明：有弦中點(diǎn)，常用弦心距利用垂徑定理及圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系定理來(lái)證題.例題7、如圖，已知中，、分別交、于點(diǎn)，求證：是等腰三角形.（例題7圖）分析：由，應(yīng)得：，因此，只要證明就可以證明是等腰三角形.說(shuō)明：在本題中，請(qǐng)注意垂徑定理基本圖形在證明中的作用.例題8、如圖，已知為的弦，從圓上任一點(diǎn)引弦，作的平分線交于點(diǎn)，連接. 求證：.證明：連結(jié). . 是的平分線， . . 說(shuō)明：本題考查在同圓中等弧對(duì)等弦及垂徑定理的綜合應(yīng)用，解

9、題關(guān)鍵是連結(jié)，證.易錯(cuò)點(diǎn)是囿于用全等三角形的辦法證明與相等而使思維受阻或證明繁雜.作業(yè)：1已知的半徑為，弦的長(zhǎng)也為，則=_，弦心距是_2 在中，弦所對(duì)的劣弧為圓的，圓的半徑為，則=_3圓的一條弦把圓分為度數(shù)的比為的兩條弧，如果圓的半徑為，則弦長(zhǎng)為_(kāi)，該弦的弦心距為_(kāi)4如圖，直徑，垂足為，則的度數(shù)為_(kāi)，的度數(shù)為_(kāi)5在矩形、等腰直角三角形、圓、等邊三角形四種幾何圖形中，只有一條對(duì)稱軸的幾何圖形是_6中弦是半徑的垂直平分線，則的度數(shù)為_(kāi)7已知的半徑為，的度數(shù)是，則弦的長(zhǎng)是_8如果一條弦將圓周分成兩段弧，它們的度數(shù)之比為，那么此弦的弦心距的長(zhǎng)度與此弦的長(zhǎng)度的比是_9已知：在直徑是10的O中，的度數(shù)是6

10、0°求弦AB的弦心距10已知：如圖，O中，AB是直徑，COAB，D是CO的中點(diǎn)，DEAB，求證：=211如圖，內(nèi)兩條相等的弦與相交于，求證：12如圖，和是等圓，是兩圓心的中點(diǎn)，過(guò)任作一直線分別交于，交于，求證：=13如圖，已知的直徑為，的度數(shù)為，求弦的弦心距的長(zhǎng)。例 如圖，已知：在O中，=2，試判斷AOB與COD，AB與2CD之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.分析：根據(jù)條件確定圖形，觀察、分析、猜想，特別是兩條線段的不等關(guān)系，常常把兩條線段放到一個(gè)三角形中.解：AOB=2COD， AB<2CD，理由如下：如圖，在O上取一點(diǎn)C ，使=.COD=DOC=2，=+=.AB=CC. AOB=CO

11、 C=COD+DOC=2COD又在CD C中，CD+DC> CC，CC <2CD，即AB<2CD.說(shuō)明：此題進(jìn)一步理解定理及其推論的應(yīng)用條件，在“相等”問(wèn)題中的不等量.由=2可得AOB=2COD是正確的，但由=2得出AB=2CD，是錯(cuò)誤的，培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的遷移能力.例 如圖，已知：AB是O直徑，M、N分別是AO、BO的中點(diǎn)，CMAB，DNAB，求證：=.分析：要證弧相等，可以證弧對(duì)應(yīng)的弦相等，弧對(duì)應(yīng)的圓心角相等.證法一：連結(jié)AC、OC、OD、BD，M、N分別是AO、BO的中點(diǎn)，CMAB，DNAB，AC= OC、OD=BD又OC=OD，AC= BD，=.證法二：連結(jié)OC、OD

12、，M、N分別是AO、BO的中點(diǎn)，OM=AO，ON=BO，OA=OB，OM=ON，CMAB，DNAB，OC=OD，RtCOMRtDON，COA=DOB，=.證法三、如圖，分別延長(zhǎng)CM、DN交O于E、F，M、N分別是AO、BO的中點(diǎn)，OM=AO，ON=BO，OA=OB，OM=ON，又CMAB，DNAB，CE=DF，=，=，=.說(shuō)明：此題是利用本節(jié)定理及推論應(yīng)用的優(yōu)秀題目，題目不難，但方法靈活，培養(yǎng)學(xué)生靈活解決問(wèn)題的能力和基本的輔助線的作法.例 如圖，已知：在O中，OAOB，A=35°，求和的度數(shù).分析：連結(jié)OC，通過(guò)求圓心角的度數(shù)求解.解：連結(jié)OC，在RtAOB中，A=35°B

13、=55°，又OC=OB，COB=180°-2B=70°，的度數(shù)為70°，COD=90°-COB=90°-70°=20°，的度數(shù)為20°.說(shuō)明：此題是基本題目，目的是鞏固基礎(chǔ)知識(shí).例 如圖，C是O直徑AB上一點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)作弦DE，使CDCO，若的度數(shù)為40°，求的度數(shù)分折： 要求的度數(shù)，可求它所對(duì)的圓心角BOE的度數(shù)，如圖作輔助線，通過(guò)等量轉(zhuǎn)換得出結(jié)果解： 連OE、OD并延長(zhǎng)DO交O于F 的度數(shù)為40°，AOD=40° CDCO， ODEAOD40° ODOE， EOD

14、E40° EOF=E+ODE=80°，BOF= AOD40°， 則BOE=EOF +BOF =80°+40°=120°，的度數(shù)為120°說(shuō)明：此題充分體現(xiàn)了圓中的等量轉(zhuǎn)換以及圓中角度的靈活變換典型例題五例 （北京市朝陽(yáng)區(qū)試題，2002）已知：如圖，內(nèi)接于，是的直徑，點(diǎn)、分別在、的延長(zhǎng)線上，交于點(diǎn)、，交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，設(shè)，和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. （1）求和的長(zhǎng)；（2）求的長(zhǎng).解： （1）依題意，有一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，得， ， 又. 由、得 . 當(dāng)時(shí)，成立. 把代入原方程解得 ,，. （2）解法一：連結(jié)，. 是的直徑，.

15、， . 即. . 在中，又. . 由勾股定理得. 在中，由勾股定理得. 在中，. 設(shè)，則，由勾股定理得. 是的中點(diǎn)，. . 解得. . 11分，. . . 14分解法二：同解法一求出，. 連結(jié). ，且，為直徑，. . 11分以下同解法一可求得.說(shuō)明：這是一道綜合性較強(qiáng)的題目，主要考查一元二次方程的韋達(dá)定理和圓的一些知識(shí)。典型例題六例 如圖，在中，直徑垂直于并交于；直徑交于，且，求的度數(shù).解連結(jié).于，且.，又.，的度數(shù)是.說(shuō)明：由于圓心角的度數(shù)與它所對(duì)的弧的度數(shù)相等，而我們對(duì)角是比較熟悉的，所以求弧的度數(shù)的問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為求它所對(duì)的圓心角度數(shù)的問(wèn)題.典型例題七例如圖，已知中，、分別交、于點(diǎn)，求證：

16、是等腰三角形.分析：由，應(yīng)得：，因此，只要證明就可以證明是等腰三角形.說(shuō)明：在本題中，請(qǐng)注意垂徑定理基本圖形在證明中的作用.典型例題八例 已知：如圖，、分別是的弦、的中點(diǎn)，求證：.分析：由弦，想到利用弧，圓心角、弦、弦心距之間的關(guān)系定理，又、分別為、的中點(diǎn)，如連結(jié)，則有，故易得結(jié)論.證明連結(jié)、，為圓心，、分別為弦、的中點(diǎn)，.說(shuō)明：有弦中點(diǎn)，常用弦心距利用垂徑定理及圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系定理來(lái)證題.典型例題九例 如圖，已知為的弦，從圓上任一點(diǎn)引弦，作的平分線交于點(diǎn)，連接. 求證：.證明：連結(jié). . 是的平分線， . . 說(shuō)明：本題考查在同圓中等弧對(duì)等弦及垂徑定理的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是連結(jié)

17、，證.易錯(cuò)點(diǎn)是囿于用全等三角形的辦法證明與相等而使思維受阻或證明繁雜.典型例題十例 如圖1，四邊形內(nèi)接于，（1）若把和交換了位置，的大小是否變化？為什么？（2）求證：。解（1）由圓的旋轉(zhuǎn)不變性知：與交換位置后，它們的和仍等于，故的大小不發(fā)生變化。（2）當(dāng)交換位置以后（如圖2），則四邊形變?yōu)樯系诪?，下底為9，兩腰為8的等腰梯形。作于， 圖1于。則。在中， 。即。說(shuō)明：本題考查了圓的旋轉(zhuǎn)不變性，解題關(guān)鍵是透徹理解題意并正確畫出變化后 圖2的圖形，易錯(cuò)點(diǎn)是畫錯(cuò)或畫不出變化后的圖形。選擇題1、如圖在ABC中，A=70°，O截ABC的三邊所得的弦長(zhǎng)相等，則BOC=（ ）（A）140°

18、; （B）135°（C）130° （D）125°2、下列語(yǔ)句中，正確的有（ ） （1）相等的圓心角所對(duì)的弧相等；（2）平分弦的直徑垂直于弦； （3）長(zhǎng)度相等的兩條弧是等??； （4）經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是圓的對(duì)稱軸 （A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè)3.在同圓或等圓中，如果圓心角等于另一圓心角的2倍，則下列式子中能成立的是（）4.在同圓或等圓中，如果，則與的關(guān)系是（）ABCD5.在中，圓心角，點(diǎn)到弦的距離為4，則的直徑的長(zhǎng)為（）ABC24D166.在同圓或等圓中，若的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）的度數(shù)等于；所對(duì)的圓心角等于所對(duì)的圓心角；和是等

19、?。凰鶎?duì)的弦心距等于所對(duì)的弦心距。A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)7.在中，兩弦，分別為這兩條弦的弦心距，則，的關(guān)系是（）ABCD無(wú)法確定8.如圖，在兩半徑不同的同心圓中，則（）ABC的度數(shù)=的度數(shù)D的長(zhǎng)度=的長(zhǎng)度答案:1、D； 2、A； 3. B 4. C 5. B 6. D 7. A 8. C填空題1、已知弦AB把圓周分成1:5的兩部分，這弦AB所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為 2、在O中，的度數(shù)240°，則的長(zhǎng)是圓周的 3、已知：O的半徑為4cm，弦AB所對(duì)的劣弧為圓的，則弦AB的長(zhǎng)為 cm，AB的弦心距為 cm4、如圖，在O中，ABCD，的度數(shù)為45°，則COD的度數(shù)為 5、如圖在ABC中，A=70°，O截ABC的三邊所得的弦長(zhǎng)相等，則BOC=（ ）（A）140° （B）135°（C）130° （D）125°6. 已知的半徑為，弦的長(zhǎng)也為，則=_，弦心距是_7. 在中，弦所對(duì)的劣弧為圓的，圓的半徑為，則=_8. 圓的一條弦把圓分為度數(shù)的比為的兩條弧，如果圓的半徑為，則弦長(zhǎng)為_(kāi)，該弦的弦心距為_(kāi)9. 如圖，直