奧數(shù)中的巧數(shù)圖形講義及習(xí)題

1、數(shù)學(xué)競賽中常遇到數(shù)圖形問題。這類問題一般都要先尋求規(guī)律，而后按照這個規(guī)律去數(shù)圖形。數(shù)圖形時要有次序、有條理，才能不遺漏、不重復(fù)。因此，一般步驟應(yīng)是：仔細(xì)觀察、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)津。運(yùn)用規(guī)律常能使解法簡便。 例1 下面兩根線段中各有多少條線段？ 解 （1）由一條基本線段構(gòu)成的線段有： AB、BC、CD、DE，共4條； 由兩條基本線段構(gòu)成的線段有：AC、BD、CE，共3條；由三條基本線段構(gòu)成的線段有：AD、BE，共2條； 由四條基本線段構(gòu)成的線段只有AE1條。 因此共有線段：4+3+2+1 =（4+1）×4÷2 =10（條） （2）可以采用（1）同樣的解法： 由一條基本線段組成的

2、線段有6條， 由兩條基本線段組成的線段有5條， 由三條基本線段組成的線段有4條， 由四條基本線段組成的線段有3條， 由五條基本線段組成的線段有2條， 由六條基本線段組成的線段有1條， 共有線段：6+5+4+3+2+1 =（6+1）×6÷2 =21（條） 答 （1）中有10條線段。（2）中有21條線段。這種先分類再排序的方法稱為分類排序法。這樣排序，不易遺漏和重復(fù)。由以上例子可以推知，如果線段上有五個點，就構(gòu)成了四條基本線段，總線段數(shù)為四個連續(xù)自然數(shù)的和：4+3+2+1。如果有n個點，線段總數(shù)為（n-1）+（n-2）+3+2+1=n×（n-1）÷2（條）。

3、找到了這個規(guī)律，我們就可以運(yùn)用這個公式來解答這類問題。例2 在AOB（圖62）內(nèi)有8條從O點引出的射線，可組成各種大小不同的角一共有多少個？解 這問題類似于例1， 10×9÷2=45（個） 答 圖中有45個角。解3 數(shù)一數(shù)，圖63一共有幾個長方形？分析 可以按照順序去數(shù)長方形的個數(shù)，也可以通過分析研究，找出數(shù)長方形的規(guī)律。長方形是由長和寬組成的，圖中共有3個長（橫向線段）、3個寬（豎向線段），解3×39（個）答 圖中共有9個長方形。這一類型的問題在后面還要專門討論。例4 如圖64。（1）如上圖這樣的形狀，如果最底層有11個三角形，那么這堆小三角形共有多少個？ （2

4、）現(xiàn)在共有169個小三角形，按上圖排列，那么最底層三角形有幾個？ 分析 根據(jù)圖示可以得到規(guī)律，底層與總數(shù)有“24，39， 416”的關(guān)系。而 224，33=9，44 16，就是：“底層的個數(shù)的平方正好等于總數(shù)”。所以可得： （1）下層有11個小三角形，共有 11×11= 121（個） （2）因為13 ×13 169，所以 169個小三角形如上圖排列，底層有13個小三角形。 練     習(xí) 1線段AB上除兩端外有49個點，問這條線段上共有多少條線段？ 2下圖中共有多少個三角形？ 3把長2厘米、寬1 厘米的長方形硬紙片按照下圖一層層疊起來

5、。 （1）如果疊5層，周長是（ ）厘米。 （2）如果周長是120厘米，共有（ ）層。 知識要點：數(shù)圖形時我們要按照一定的順序、有條理、有計劃、有方法的去解答題目，可由單個圖形數(shù)起，再數(shù)兩個圖形合成的圖形，依此規(guī)律一個一個往下數(shù)。 例1 數(shù)一數(shù)圖中共有幾條線段？                       D     &

6、#160;   A B            C這樣想：數(shù)之前，先將每條線段寫上字母，寫好后，先數(shù)AB這條線段上有4條小線段，再數(shù)兩條合并成的有3條，再數(shù)三條合并成的有2條，最后數(shù)四條合并成的有1條，4+3+2+1=10條。同樣CD這條線段上也有10條，和起來一共有20條。例2 數(shù)一數(shù)圖中共有幾個小長方體？            

7、0;  這樣想：從上面先數(shù)，第一排有2個小長方體，再數(shù)第二排有4個小長方體，最后數(shù)第三排有6個小長方體，所以2+4+6=12，有12個小長方體。例3 數(shù)一數(shù)圖中共有幾個三角形？            這樣想：數(shù)之前，先將每個圖形編號，編好后，先數(shù)單個三角形共10個。再數(shù)兩個圖形合成的三角形，按順序兩個兩個合并，共8個三角形。所以10+8=18，共18個三角形。例4 數(shù)一數(shù)圖中共有幾個三角形？      &#

8、160;      這樣想：先數(shù)單個三角形共4個。再數(shù)兩個三角形合成的三角形，按順序兩個兩個合并，共2個三角形。最后數(shù)由3個小三角形組成的大三角形，有1個。所以4+2+1=7，共7個三角形。例5 數(shù)一數(shù)圖中共有幾個三角形？            這樣想：先數(shù)每個角上三角形共5個，再數(shù)由兩個不靠著的角和中間五邊形合成的三角形，按順序數(shù)共3個三角形，所以5+3=8，共8個三角形。知識要點：同學(xué)們，在數(shù)圖形時，一定要按順序仔細(xì)數(shù)，如

9、果給圖形編個號，這樣數(shù)起來就更方便，不會重復(fù)，也不會遺漏。例1 數(shù)一數(shù)圖中共有幾個三角形？          這樣想： 數(shù)之前，先將每個圖形編號，編好后，先數(shù)單個三角形1、4、3號，共3個。再數(shù)兩個圖形合成的三角形，1+2號，2+3號，3+4號，4+1號，按順序兩個兩個合并，共4個三角形。最后數(shù)由1+2+3+4號組成的大三角形，有1個。所以3+4+1=8，共8個三角形。例2 數(shù)一數(shù)圖中有西紅柿的正方形有幾個？        &

10、#160;     這樣想：先數(shù)單個正方形，有西紅柿的正方形有1個。再數(shù)四個正方形合成的大正方形，有西紅柿的大正方形有4個。最后數(shù)由9個小正方形組成的大正方形，有1個。所以1+4+1=6，有西紅柿的正方形共6個。例3 數(shù)一數(shù)圖中共有幾個正方形？               這樣想：先數(shù)單個正方形1、2、3、4、5、6號，共6個。再數(shù)四個正方形合成的大正方形，1+2+4+5號，2+3+5+6號，按順

11、序四個四個合并，共2個正方形。所以6+2=8，共8個正方形。例4 數(shù)一數(shù)圖中共有幾個正方形？               這樣想： 先數(shù)小正方形，共4個。再數(shù)稍大的正方形，共5個。最后數(shù)大正方形，有1個。4+5+1=10，所以圖中共有10個正方形。例5 數(shù)一數(shù)圖中共有幾個圓形？             這樣想：先數(shù)小圓，共5個。

12、再數(shù)大圓有1個。圖中共有6個圓。題目1：數(shù)一數(shù)圖中共有幾個三角形？圖1     A.6      B.5 窗體頂部·題目2：數(shù)一數(shù)圖中共有幾個三角形？圖1     A.9      B.8 窗體頂部·題目3：數(shù)一數(shù)圖中共有幾個三角形？圖1     A.10      B.12 窗體頂部