第6節(jié)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開

1、1 * *第六節(jié)第六節(jié) 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開 nnnxaxf 0)( 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù), 在其收斂域內(nèi)以在其收斂域內(nèi)以 f (x) 為和函數(shù)為和函數(shù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開.問題問題:2.如果能展開如果能展開, 是什么是什么?na3.展開式是否唯一展開式是否唯一?1. f (x)在什么條件下才能展開成冪級(jí)數(shù)在什么條件下才能展開成冪級(jí)數(shù)?nnnxxaxf)()( 00 或或麥克勞林展開式麥克勞林展開式 泰勒展開式泰勒展開式 2一、泰勒級(jí)數(shù)一、泰勒級(jí)數(shù)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf能能在在0 x的的一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)展展開開成成冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，即即 ),( ,)()(0000 xxxxx

2、axfnnn上式兩端逐項(xiàng)求導(dǎo)，得上式兩端逐項(xiàng)求導(dǎo)，得 203021)(3)(2)(xxaxxaaxf )(!3!2)(032xxaaxf )(! )1(!)(01)(xxananxfnnn3 )(! )1(!)(01)(xxananxfnnn即得即得令令,0 xx ), 2 , 1 , 0( )(!10)( kxfkakk定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在在)(0 xu 內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), , 且在且在)(0 xu 內(nèi)能展開成內(nèi)能展開成)(0 xx 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù), , 即即 nnnxxaxf)()(00 ， 則則其其系系數(shù)數(shù) ), 2 , 1 , 0()(!10)( nx

3、fnann 且展開式是唯一的且展開式是唯一的. . ),(00 xxx4), 2 , 1 , 0( )(!10)( kxfkakk),( ,)()(0000 xxxxxaxfnnn定義定義稱稱 000)()(!)(nnnxxnxf為為)(xf在在0 xx 處處 的的泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù). . 特特別別地地，若若00 x，則則稱稱 0)(!)0(nnnxnf為為)(xf 的的麥克勞林級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù). .5若若)(xf在在),(ba內(nèi)內(nèi)具具有有直直至至1 n階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,),(0bax , ,則則當(dāng)當(dāng)),(bax 時(shí)時(shí), ,)(xf可可表表示示成成 200000)(2)()()()(xxxfxx

4、xfxfxf )()(! )(00)(xrxxnxfnnn , , 其其中中 10)1()(! ) 1()()( nnnxxnfxr , , 在在x與與 0 x之之間間. . 二、泰勒公式二、泰勒公式上上述述公公式式稱稱為為)(xf按按0 xx 的的冪冪展展開開的的n階階泰泰勒勒公公式式, , )(xrn稱稱為為拉拉格格朗朗日日余余項(xiàng)項(xiàng). . 6其其中中 10)1()(! ) 1()()( nnnxxnfxr , , 在在x與與 0 x之之間間. . 特特別別地地, ,取取00 x, ,得得到到公公式式 )(! )0(2)0()0()0()()(2xrxnfxfxffxfnnn , , 其其中

5、中 1)1(! ) 1()()( nnnxnfxr , , 在在x與與 0 0 之之間間, , )()(! )()(000)(xrxxkxfxfnnkkk 上述公式稱為上述公式稱為n階階麥克勞林麥克勞林(maclaurin)公式公式. .證略證略. .7三、函數(shù)的泰勒展開三、函數(shù)的泰勒展開定理定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的某一鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)的某一鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則)(xf在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件是條件是)(xf的泰勒公式中的余項(xiàng)的泰勒公式中的余項(xiàng))(xrn當(dāng)當(dāng) n時(shí)時(shí)趨向于零趨向于零, , 此此時(shí)時(shí)有有 nnnxxn

6、xfxf)(! )()(000)( . . 證證由泰勒公式由泰勒公式其其中中 10)1()(! ) 1()()( nnnxxnfxr , , 在在x與與 0 x之之間間. . )()(! )()(000)(xrxxkxfxfnnkkk 證明是顯然的證明是顯然的. .81 1. . 求求出出0 x處處的的函函數(shù)數(shù)值值及及各各階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)值值 )0(f, ,)0(f , ,)0(f , ,),0(,)(nf； 0)(!)0(nnnxnf函數(shù)函數(shù) f( (x) ) 展開成冪級(jí)數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) 的具體的具體步驟：步驟：2. 2. 寫出寫出冪冪級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) ，并求其收斂域，并求其收斂域 d. . 0)(!)0

7、(nnnxnf3 3. . 考考察察0)(lim xrnn在在 d 上上是是否否成成立立。 0)(!)0()(nnnxnfxf)(dx 如果是如果是, ,則則 f( (x) )在在 d上可展開成上可展開成麥克勞林級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù) 9將將xxfe)( 展展開開成成x的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). . xnxfe)()( , ,), 2, 1( n, , 所所以以1)0()( nf, , 即即xe在在0 x處處的的泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為 0! nnnx, , 在在 0 0 與與x之之間間, , 考考察察余余項(xiàng)項(xiàng) 1! ) 1(e)( nnxnxr , , 對(duì)對(duì)任任意意固固定定的的x, ,級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 01! )1(

8、|nnnx收收斂斂, , 例例1 1解解|! )1(e| )(|1 nnxnxr ! )1(|e1| nxnx10( (02|limlim 1 nxuunnnn) ) 故通項(xiàng)故通項(xiàng))(0! )1(|1 nnxn, , 而而|ex有有限限, , 故故0)(lim xrnn, , ! ! 21! e20nxxxnxnnnx,),( x 對(duì)對(duì)任任意意固固定定的的x, ,級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 01! )1(|nnnx收收斂斂, , |! )1(e| )(|1 nnxnxr ! )1(|e1| nxnx即證得即證得11 ! ! 21! e20nxxxnxnnnx 12將將xxfsin)( 展展開開成成x的的冪冪級(jí)級(jí)

9、數(shù)數(shù). . )2sin()()( nxxfn ), 2, 1( n, , kn2 , ,0)0()( nf； 即即xsin在在0 x處處的的泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為 012! )12()1(nnnnx, , 12 kn, ,knf) 1() 0()( . . 它它的的收收斂斂半半徑徑 r. . 考考察察余余項(xiàng)項(xiàng) 1! ) 1(2) 1(sin)( nnxnnxr , , 在在 0 0 與與x之之間間, , 例例2 2解解13于于是是得得xsin的的展展開開式式為為 ! 5! 3! )12()1(sin53012xxxnxxnnn, 因因此此, , 考考察察余余項(xiàng)項(xiàng) 1! ) 1(2) 1(sin)

10、( nnxnnxr , , 在在 0 0 與與x之之間間, , ),( x! )1(|1 nxn|! )1(2)1(sin| )(|1 nnxnnxr )(0 n14 )1()(xxf 的的麥麥克克勞勞林林級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為 例例3 3收斂域?yàn)椋菏諗坑驗(yàn)椋? ： 1, 1 01 ： 1, 1( 1 ： )1, 1( 2! 2)1(1)1(xxx nxnn! )1()1( ( ( n 不為正整數(shù)不為正整數(shù)) )特別，特別，,110 nnxx)1, 1( x牛頓二項(xiàng)展開式牛頓二項(xiàng)展開式15 一般用間接法：一般用間接法：根據(jù)展開式的唯一性根據(jù)展開式的唯一性, 利用已知利用已知展開式展開式, 通過通過變量代

11、換變量代換、 四則運(yùn)算四則運(yùn)算、 恒等變形恒等變形、 逐逐項(xiàng)求導(dǎo)項(xiàng)求導(dǎo)、 逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分等方法等方法, 求展開式求展開式 .例例4 4將將2e)(xxf 展展開開成成x的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). . ,! e0 nnxnx),( x所以所以 02! )(e2nnxnx,! )1(02 nnnxn),( x16),( x 53012!51!31! )12()1(sinxxxnxxnnn將將xxfcos)( 展展開開成成x的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). . 兩邊求導(dǎo)兩邊求導(dǎo), 得得,! 4! 21! )2()1(cos4202 xxnxxnnn例例5 5),( x17將將)1ln()(xxf 展展開開成成x的的冪冪

12、級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). . 因因?yàn)闉閤xf 11)( 兩兩邊邊從從 0 0 到到x積積分分, ,得得 上上式式對(duì)對(duì)1 x也也成成立立, ,故故收收斂斂域域?yàn)闉? , 1( x, , 例例6 6解解， 0)(nnx1| x,32)1()1ln(3211 xxxnxxnnn1 , 1( x 011)1()1ln(nnnnxx 11)1(nnnnx18將將xxfarctan)( 展展開開成成x的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). . 因因?yàn)闉?211)(xxf 兩兩邊邊從從 0 0 到到x積積分分, ,得得 上上述述冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在1 x處處也也收收斂斂, ,且且xarctan在在1 x處處有有定定義義且且連連續(xù)續(xù), ,所所以以

13、上上述述展展開開式式成成立立的的范范圍圍為為 例例7 7解解 5312)1(arctan53012xxxnxxnnn1 , 1 x1| x,)(02 nnx19基本展開式基本展開式,! 5! 3! ) 12() 1(sin53012 xxxnxxnnn,! ! 21! e20 nxxxnxnnnx),( x),( x,! 4! 21! )2()1(cos4202 xxnxxnnn),( x,32)1()1ln(3211 xxxnxxnnn1, 1( x20 2! 2)1(1)1(xxx nxnn! )1()1( ( ( n 不為正整數(shù)不為正整數(shù)) )特別特別,110 nnxx)1, 1( x)

14、1, 1( x 5312)1(arctan53012xxxnxxnnn1 , 1 x21將將2ee)(xxxf 展展開開成成x的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). . ),( x),( x),( x例例8 8解解,! ! 21e2 nxxxnx,! )1(! 21e2 nxxxnnx2ee)(xxxf 所以所以 ! )2(!4!21242nxxxn,! )2(02 nnnx22將將xxf2cos)( 展展開開成成x的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). . 例例9 9解法解法1 1)2cos1(21cos2xx ,! 4! 21! )2()1(cos4202 xxnxxnnn),( x 02! )2()2()1(2121nnnnx

15、,! )2(2)1(11212 nnnnxn),( x23 012! )12()2()1(nnnnx, 兩兩邊邊從從 0 0 到到x積積分分, ,得得 0222! )22()2()1(211cosnnnnxx xx2sin)(cos2 所以所以解法解法2 2),( x 12! )2()2()1(21nnnnx,! )2(2)1(1212 nnnnxn,! )2(2)1(1cos12122 nnnnxnx),( x將將xxf2cos)( 展展開開成成x的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). . 例例9 924將將341)(2 xxxf展展開開成成x的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). . 例例1010解解341)(2 xxxf1|

16、x)3)(1(1 xx311121 xx3/1161)1(21xx 00)3()1(61)1(21nnnnnnxx,36121)1(0 nnnnx25將將)34ln()(2xxxf 展展開開成成x的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). . 例例1111解解)34ln()(2xxxf )1)(4ln(xx )1ln()4ln(xx )1ln()41ln(4lnxx ,32)1()1ln(3211 xxxnxxnnn1, 1( x 1111)1()4(1)1(4lnnnnnnnxnxn,4)4(14ln1 nnnnxn1, 1( x26已已知知xxxfe)(6 ，求求).0(),0()100()99(ff 例例121

17、2解解)(xf的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開開式式為為 )!94!93!3!21()(9493326 xxxxxxxf !94!93!3!2100999876xxxxxx由冪級(jí)數(shù)展開式的唯一性，由冪級(jí)數(shù)展開式的唯一性， ,!931!99)0()99( f,!941!100)0()100( f因此，因此，,!93!99)0()99( f.!94!100)0()100( fnnnxnfxf 0)(!)0()(27 以上討論的均為麥克勞林級(jí)數(shù)，下面討論一下以上討論的均為麥克勞林級(jí)數(shù)，下面討論一下一般的泰勒級(jí)數(shù)：一般的泰勒級(jí)數(shù)： 000)()(!)(nnnxxnxf其收斂域?yàn)槠涫諗坑驗(yàn)閐， 并并要要求求余余項(xiàng)

18、項(xiàng)0)(lim xrnx在在 d上上成成立立， nnxxnxfxf)(!)()(00)( )(dx 則則)(xf在在0 xx 處處的的泰泰勒勒展展開開式式為為 一般利用麥克勞林級(jí)數(shù)間接展開一般利用麥克勞林級(jí)數(shù)間接展開. .28將將xxf 41)(展展開開成成) 1( x的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). . 收收斂斂域域: : 5|1| x, , 即即)6, 4( x. . 例例1313解解x 41511151 x151 x 0)51(51nnx,)1(5)1(01 nnnnx29例例1414解解11 x，2111231)(2 xxxxxf， 03431nnx；1|34| x展展開開函函數(shù)數(shù)2312 xx為為( (4 x) )的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). . 而而341131 x， 02421241121)4(2121nnxxxx)4(31 x30， 011)4(3121)(nnnnxxf)2, 6( x11 x， 03431nnx；1|34| x， 02421241121)4(2121nnxxxx；1|24| x例例1414展展開開函函數(shù)數(shù)2312 x