第6節(jié)函數的冪級數展開

1、1 * *第六節(jié)第六節(jié) 函數的冪級數展開函數的冪級數展開 nnnxaxf 0)( 求冪級數求冪級數, 在其收斂域內以在其收斂域內以 f (x) 為和函數為和函數函數的冪級數展開函數的冪級數展開.問題問題:2.如果能展開如果能展開, 是什么是什么?na3.展開式是否唯一展開式是否唯一?1. f (x)在什么條件下才能展開成冪級數在什么條件下才能展開成冪級數?nnnxxaxf)()( 00 或或麥克勞林展開式麥克勞林展開式 泰勒展開式泰勒展開式 2一、泰勒級數一、泰勒級數設設函函數數)(xf能能在在0 x的的一一個個鄰鄰域域內內展展開開成成冪冪級級數數，即即 ),( ,)()(0000 xxxxx

2、axfnnn上式兩端逐項求導，得上式兩端逐項求導，得 203021)(3)(2)(xxaxxaaxf )(!3!2)(032xxaaxf )(! )1(!)(01)(xxananxfnnn3 )(! )1(!)(01)(xxananxfnnn即得即得令令,0 xx ), 2 , 1 , 0( )(!10)( kxfkakk定理定理 如果函數如果函數)(xf在在)(0 xu 內具有任意階導數內具有任意階導數, , 且在且在)(0 xu 內能展開成內能展開成)(0 xx 的冪級數的冪級數, , 即即 nnnxxaxf)()(00 ， 則則其其系系數數 ), 2 , 1 , 0()(!10)( nx

3、fnann 且展開式是唯一的且展開式是唯一的. . ),(00 xxx4), 2 , 1 , 0( )(!10)( kxfkakk),( ,)()(0000 xxxxxaxfnnn定義定義稱稱 000)()(!)(nnnxxnxf為為)(xf在在0 xx 處處 的的泰勒級數泰勒級數. . 特特別別地地，若若00 x，則則稱稱 0)(!)0(nnnxnf為為)(xf 的的麥克勞林級數麥克勞林級數. .5若若)(xf在在),(ba內內具具有有直直至至1 n階階導導數數, ,),(0bax , ,則則當當),(bax 時時, ,)(xf可可表表示示成成 200000)(2)()()()(xxxfxx

4、xfxfxf )()(! )(00)(xrxxnxfnnn , , 其其中中 10)1()(! ) 1()()( nnnxxnfxr , , 在在x與與 0 x之之間間. . 二、泰勒公式二、泰勒公式上上述述公公式式稱稱為為)(xf按按0 xx 的的冪冪展展開開的的n階階泰泰勒勒公公式式, , )(xrn稱稱為為拉拉格格朗朗日日余余項項. . 6其其中中 10)1()(! ) 1()()( nnnxxnfxr , , 在在x與與 0 x之之間間. . 特特別別地地, ,取取00 x, ,得得到到公公式式 )(! )0(2)0()0()0()()(2xrxnfxfxffxfnnn , , 其其中

5、中 1)1(! ) 1()()( nnnxnfxr , , 在在x與與 0 0 之之間間, , )()(! )()(000)(xrxxkxfxfnnkkk 上述公式稱為上述公式稱為n階階麥克勞林麥克勞林(maclaurin)公式公式. .證略證略. .7三、函數的泰勒展開三、函數的泰勒展開定理定理 設函數設函數)(xf在點在點0 x的某一鄰域內具有各階導的某一鄰域內具有各階導數數, ,則則)(xf在該鄰域內能展開成泰勒級數的充分必要在該鄰域內能展開成泰勒級數的充分必要條件是條件是)(xf的泰勒公式中的余項的泰勒公式中的余項)(xrn當當 n時時趨向于零趨向于零, , 此此時時有有 nnnxxn

6、xfxf)(! )()(000)( . . 證證由泰勒公式由泰勒公式其其中中 10)1()(! ) 1()()( nnnxxnfxr , , 在在x與與 0 x之之間間. . )()(! )()(000)(xrxxkxfxfnnkkk 證明是顯然的證明是顯然的. .81 1. . 求求出出0 x處處的的函函數數值值及及各各階階導導數數值值 )0(f, ,)0(f , ,)0(f , ,),0(,)(nf； 0)(!)0(nnnxnf函數函數 f( (x) ) 展開成冪級數展開成冪級數 的具體的具體步驟：步驟：2. 2. 寫出寫出冪冪級數級數 ，并求其收斂域，并求其收斂域 d. . 0)(!)0

7、(nnnxnf3 3. . 考考察察0)(lim xrnn在在 d 上上是是否否成成立立。 0)(!)0()(nnnxnfxf)(dx 如果是如果是, ,則則 f( (x) )在在 d上可展開成上可展開成麥克勞林級數麥克勞林級數 9將將xxfe)( 展展開開成成x的的冪冪級級數數. . xnxfe)()( , ,), 2, 1( n, , 所所以以1)0()( nf, , 即即xe在在0 x處處的的泰泰勒勒級級數數為為 0! nnnx, , 在在 0 0 與與x之之間間, , 考考察察余余項項 1! ) 1(e)( nnxnxr , , 對對任任意意固固定定的的x, ,級級數數 01! )1(

8、|nnnx收收斂斂, , 例例1 1解解|! )1(e| )(|1 nnxnxr ! )1(|e1| nxnx10( (02|limlim 1 nxuunnnn) ) 故通項故通項)(0! )1(|1 nnxn, , 而而|ex有有限限, , 故故0)(lim xrnn, , ! ! 21! e20nxxxnxnnnx,),( x 對對任任意意固固定定的的x, ,級級數數 01! )1(|nnnx收收斂斂, , |! )1(e| )(|1 nnxnxr ! )1(|e1| nxnx即證得即證得11 ! ! 21! e20nxxxnxnnnx 12將將xxfsin)( 展展開開成成x的的冪冪級級

9、數數. . )2sin()()( nxxfn ), 2, 1( n, , kn2 , ,0)0()( nf； 即即xsin在在0 x處處的的泰泰勒勒級級數數為為 012! )12()1(nnnnx, , 12 kn, ,knf) 1() 0()( . . 它它的的收收斂斂半半徑徑 r. . 考考察察余余項項 1! ) 1(2) 1(sin)( nnxnnxr , , 在在 0 0 與與x之之間間, , 例例2 2解解13于于是是得得xsin的的展展開開式式為為 ! 5! 3! )12()1(sin53012xxxnxxnnn, 因因此此, , 考考察察余余項項 1! ) 1(2) 1(sin)

10、( nnxnnxr , , 在在 0 0 與與x之之間間, , ),( x! )1(|1 nxn|! )1(2)1(sin| )(|1 nnxnnxr )(0 n14 )1()(xxf 的的麥麥克克勞勞林林級級數數為為 例例3 3收斂域為：收斂域為：0 ： 1, 1 01 ： 1, 1( 1 ： )1, 1( 2! 2)1(1)1(xxx nxnn! )1()1( ( ( n 不為正整數不為正整數) )特別，特別，,110 nnxx)1, 1( x牛頓二項展開式牛頓二項展開式15 一般用間接法：一般用間接法：根據展開式的唯一性根據展開式的唯一性, 利用已知利用已知展開式展開式, 通過通過變量代

11、換變量代換、 四則運算四則運算、 恒等變形恒等變形、 逐逐項求導項求導、 逐項積分逐項積分等方法等方法, 求展開式求展開式 .例例4 4將將2e)(xxf 展展開開成成x的的冪冪級級數數. . ,! e0 nnxnx),( x所以所以 02! )(e2nnxnx,! )1(02 nnnxn),( x16),( x 53012!51!31! )12()1(sinxxxnxxnnn將將xxfcos)( 展展開開成成x的的冪冪級級數數. . 兩邊求導兩邊求導, 得得,! 4! 21! )2()1(cos4202 xxnxxnnn例例5 5),( x17將將)1ln()(xxf 展展開開成成x的的冪冪

12、級級數數. . 因因為為xxf 11)( 兩兩邊邊從從 0 0 到到x積積分分, ,得得 上上式式對對1 x也也成成立立, ,故故收收斂斂域域為為1 , 1( x, , 例例6 6解解， 0)(nnx1| x,32)1()1ln(3211 xxxnxxnnn1 , 1( x 011)1()1ln(nnnnxx 11)1(nnnnx18將將xxfarctan)( 展展開開成成x的的冪冪級級數數. . 因因為為 211)(xxf 兩兩邊邊從從 0 0 到到x積積分分, ,得得 上上述述冪冪級級數數在在1 x處處也也收收斂斂, ,且且xarctan在在1 x處處有有定定義義且且連連續(xù)續(xù), ,所所以以

13、上上述述展展開開式式成成立立的的范范圍圍為為 例例7 7解解 5312)1(arctan53012xxxnxxnnn1 , 1 x1| x,)(02 nnx19基本展開式基本展開式,! 5! 3! ) 12() 1(sin53012 xxxnxxnnn,! ! 21! e20 nxxxnxnnnx),( x),( x,! 4! 21! )2()1(cos4202 xxnxxnnn),( x,32)1()1ln(3211 xxxnxxnnn1, 1( x20 2! 2)1(1)1(xxx nxnn! )1()1( ( ( n 不為正整數不為正整數) )特別特別,110 nnxx)1, 1( x)

14、1, 1( x 5312)1(arctan53012xxxnxxnnn1 , 1 x21將將2ee)(xxxf 展展開開成成x的的冪冪級級數數. . ),( x),( x),( x例例8 8解解,! ! 21e2 nxxxnx,! )1(! 21e2 nxxxnnx2ee)(xxxf 所以所以 ! )2(!4!21242nxxxn,! )2(02 nnnx22將將xxf2cos)( 展展開開成成x的的冪冪級級數數. . 例例9 9解法解法1 1)2cos1(21cos2xx ,! 4! 21! )2()1(cos4202 xxnxxnnn),( x 02! )2()2()1(2121nnnnx

15、,! )2(2)1(11212 nnnnxn),( x23 012! )12()2()1(nnnnx, 兩兩邊邊從從 0 0 到到x積積分分, ,得得 0222! )22()2()1(211cosnnnnxx xx2sin)(cos2 所以所以解法解法2 2),( x 12! )2()2()1(21nnnnx,! )2(2)1(1212 nnnnxn,! )2(2)1(1cos12122 nnnnxnx),( x將將xxf2cos)( 展展開開成成x的的冪冪級級數數. . 例例9 924將將341)(2 xxxf展展開開成成x的的冪冪級級數數. . 例例1010解解341)(2 xxxf1|

16、x)3)(1(1 xx311121 xx3/1161)1(21xx 00)3()1(61)1(21nnnnnnxx,36121)1(0 nnnnx25將將)34ln()(2xxxf 展展開開成成x的的冪冪級級數數. . 例例1111解解)34ln()(2xxxf )1)(4ln(xx )1ln()4ln(xx )1ln()41ln(4lnxx ,32)1()1ln(3211 xxxnxxnnn1, 1( x 1111)1()4(1)1(4lnnnnnnnxnxn,4)4(14ln1 nnnnxn1, 1( x26已已知知xxxfe)(6 ，求求).0(),0()100()99(ff 例例121

17、2解解)(xf的的冪冪級級數數展展開開式式為為 )!94!93!3!21()(9493326 xxxxxxxf !94!93!3!2100999876xxxxxx由冪級數展開式的唯一性，由冪級數展開式的唯一性， ,!931!99)0()99( f,!941!100)0()100( f因此，因此，,!93!99)0()99( f.!94!100)0()100( fnnnxnfxf 0)(!)0()(27 以上討論的均為麥克勞林級數，下面討論一下以上討論的均為麥克勞林級數，下面討論一下一般的泰勒級數：一般的泰勒級數： 000)()(!)(nnnxxnxf其收斂域為其收斂域為d， 并并要要求求余余項

18、項0)(lim xrnx在在 d上上成成立立， nnxxnxfxf)(!)()(00)( )(dx 則則)(xf在在0 xx 處處的的泰泰勒勒展展開開式式為為 一般利用麥克勞林級數間接展開一般利用麥克勞林級數間接展開. .28將將xxf 41)(展展開開成成) 1( x的的冪冪級級數數. . 收收斂斂域域: : 5|1| x, , 即即)6, 4( x. . 例例1313解解x 41511151 x151 x 0)51(51nnx,)1(5)1(01 nnnnx29例例1414解解11 x，2111231)(2 xxxxxf， 03431nnx；1|34| x展展開開函函數數2312 xx為為( (4 x) )的的冪冪級級數數. . 而而341131 x， 02421241121)4(2121nnxxxx)4(31 x30， 011)4(3121)(nnnnxxf)2, 6( x11 x， 03431nnx；1|34| x， 02421241121)4(2121nnxxxx；1|24| x例例1414展展開開函函數數2312 x