第八章二元函數(shù)的定義

1、微積分莫興德莫興德廣西大學(xué)廣西大學(xué)數(shù)信學(xué)院數(shù)信學(xué)院rxdtdxemail:微微 積積 分分微積分鏈接目錄第一章第一章 函數(shù)函數(shù)第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)第三章第三章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分第四章第四章 中值定理中值定理, ,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第五章第五章 不定積分不定積分第六章第六章 定積分定積分第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)( (不要求不要求) )第八章第八章 多元函數(shù)多元函數(shù)第九章第九章 微分方程微分方程復(fù)習(xí)微積分參考書參考書1趙樹嫄趙樹嫄. 微積分微積分. 中國人民出版社中國人民出版社2同濟(jì)大學(xué)同濟(jì)大學(xué). 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué). 高等教育出版社高等教育出版社微積分第八章第八章二元函數(shù)

2、的定義二元函數(shù)的定義微積分（1）鄰域）鄰域0p ),(0 pu |0ppp .)()(| ),(2020 yyxxyx一、多元函數(shù)的概念 微積分（2）區(qū)域）區(qū)域.)(的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)為為則稱則稱，的某一鄰域的某一鄰域一個(gè)點(diǎn)如果存在點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)如果存在點(diǎn)是平面上的是平面上的是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，設(shè)設(shè)epepuppe .ee 的內(nèi)點(diǎn)屬于的內(nèi)點(diǎn)屬于ep .為開集為開集則稱則稱的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，如果點(diǎn)集如果點(diǎn)集ee41),(221 yxyxe例如，例如，即為開集即為開集微積分的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn)為為），則稱），則稱可以不屬于可以不屬于，也，也本身可以屬于本身可以屬于的點(diǎn)（點(diǎn)的點(diǎn)（點(diǎn)也有

3、不屬于也有不屬于的點(diǎn)，的點(diǎn)，于于的任一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬的任一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬如果點(diǎn)如果點(diǎn)epeepeepep 的邊界的邊界的邊界點(diǎn)的全體稱為的邊界點(diǎn)的全體稱為 ee是連通的是連通的開集開集，則稱，則稱且該折線上的點(diǎn)都屬于且該折線上的點(diǎn)都屬于連結(jié)起來，連結(jié)起來，任何兩點(diǎn)，都可用折線任何兩點(diǎn)，都可用折線內(nèi)內(nèi)是開集如果對于是開集如果對于設(shè)設(shè)dddd 微積分連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo開開區(qū)區(qū)域域連連同同它它的的邊邊界界一一起起稱稱為為閉閉區(qū)區(qū)域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo微積分0| ),( yxyx有界閉區(qū)域；

4、有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域無界開區(qū)域xyo例如，例如，則稱為無界點(diǎn)集則稱為無界點(diǎn)集為有界點(diǎn)集，否為有界點(diǎn)集，否成立，則稱成立，則稱對一切對一切即即，不超過不超過間的距離間的距離與某一定點(diǎn)與某一定點(diǎn)，使一切點(diǎn)，使一切點(diǎn)如果存在正數(shù)如果存在正數(shù)對于點(diǎn)集對于點(diǎn)集eepkapkapaepke 41| ),(22 yxyx微積分（3）聚點(diǎn)）聚點(diǎn) 設(shè)設(shè) e 是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集，p 是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，如如果果點(diǎn)點(diǎn) p 的的任任何何一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)總總有有無無限限多多個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)屬屬于于點(diǎn)點(diǎn)集集 e，則則稱稱 p 為為 e 的的聚聚點(diǎn)點(diǎn). 內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)； 邊界點(diǎn)

5、可能是聚點(diǎn)；邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)微積分 點(diǎn)集點(diǎn)集e的聚點(diǎn)可以屬于的聚點(diǎn)可以屬于e，也可以不屬于，也可以不屬于e10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚點(diǎn)但不屬于集合是聚點(diǎn)但不屬于集合1| ),(22 yxyx例如例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合微積分（4）n維空間維空間 n維空間的記號為維空間的記號為;nr n維空間中兩點(diǎn)間距離公式維空間中兩點(diǎn)間距離公式 微積分),(21nxxxp),(21nyyyq.)()()(|2222211nnxyxyxypq n維空間中鄰域、區(qū)域

6、等概念維空間中鄰域、區(qū)域等概念 nrpppppu ,|),(00 特殊地當(dāng)特殊地當(dāng) 時(shí)，便為數(shù)軸、平面、時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離空間兩點(diǎn)間的距離3, 2, 1 n內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義鄰域：鄰域：設(shè)兩點(diǎn)為設(shè)兩點(diǎn)為微積分（5）二元函數(shù)的定義）二元函數(shù)的定義當(dāng)當(dāng)2 n時(shí)時(shí)，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù). 多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、因變量等概念因變量等概念.類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)微積分例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arc

7、sin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?, 42| ),(222yxyxyxd 微積分（6） 二元函數(shù)二元函數(shù) 的圖形的圖形),(yxfz （如下頁圖）（如下頁圖）微積分二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.微積分xyzoxyzsin 例如例如,圖形如右圖圖形如右圖.2222azyx 例如例如,左圖球面左圖球面.),(222ayxyxd 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支:微積分二、多元函數(shù)的極限微積分說明：說明：（1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0pp （2）二元函數(shù)的極限也

8、叫二重極限）二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似微積分例例2 2 求證求證 證證01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原結(jié)論成立原結(jié)論成立微積分例例3 3 求極限求極限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)

9、sin(limuuusinlim0, 1 222yxyxx21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 微積分例例4 4 證明證明 不存在不存在 證證26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在微積分不存在不存在.觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 播放播放微積分（2） 找兩種不同趨近方式，使找兩種不同趨近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但兩者不相等，此時(shí)也可斷言但兩者

10、不相等，此時(shí)也可斷言),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(000yxp處極限不存在處極限不存在確定極限確定極限不存在不存在的方法：的方法：微積分n元元函函數(shù)數(shù)的的極極限限利用點(diǎn)函數(shù)的形式有利用點(diǎn)函數(shù)的形式有微積分 設(shè)設(shè)n元函數(shù)元函數(shù))(pf的定義域?yàn)辄c(diǎn)集的定義域?yàn)辄c(diǎn)集0, pd是其聚點(diǎn)且是其聚點(diǎn)且dp 0，如果，如果)()(lim00pfpfpp 則稱則稱n元函數(shù)元函數(shù))(pf在點(diǎn)在點(diǎn)0p處連續(xù)處連續(xù). .三、多元函數(shù)的連續(xù)性定義定義3 3微積分例例5 5 討論函數(shù)討論函數(shù) )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)處的連續(xù)性處的連續(xù)性解解 取取,c

11、os x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 微積分 2)0 , 0(),(fyxf故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處連續(xù)處連續(xù).),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx , 0 ,2 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 220yx微積分例例6 6 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)微積分閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)

12、函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域d d上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在d d上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域d d上的多元連續(xù)函數(shù)，如上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在果在d d上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在d d上上取得介于這兩值之間的任何值至少一次取得介于這兩值之間的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理微積分（3）一致連續(xù)性定理）一致連續(xù)性定理 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域d d上的多元連續(xù)函數(shù)必定上的多元連續(xù)函數(shù)必定在在d d上一致連續(xù)上一致連續(xù)多元初等

13、函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域微積分例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 ).()(lim)()()()(lim00000pfpfppfpfppfpfpp

14、pp 處連續(xù)，于是處連續(xù)，于是點(diǎn)點(diǎn)在在的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則是是數(shù)，且數(shù)，且是初等函是初等函時(shí)，如果時(shí)，如果一般地，求一般地，求微積分多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的（注意趨近方式的任意性任意性）四、小結(jié)多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義微積分 若點(diǎn)若點(diǎn)),(yx沿著無數(shù)多條平面曲線趨向于沿著無數(shù)多條平面曲線趨向于點(diǎn)點(diǎn)),(00yx時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)),(yxf都趨向于都趨向于 a，能否，能否斷定斷定ayxfyxyx ),(lim),(),(00？思考題思考題微積分思考題解答思考題解答不能

15、不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因?yàn)槿羧≡驗(yàn)槿羧?2yx 244262)(),(yyyyyyf .41微積分一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若yxxyyxyxftan),(22 , ,則則),(tytxf= =_. .2 2、 若若xyyxyxf2),(22 , ,則則 )3, 2(f_; ; ), 1(xyf_. .3 3、 若若)0()(22 yyyxxyf, ,則則 )(xf_. .4 4、 若若22),(y

16、xxyyxf , , 則則 ),(yxf_. .函數(shù)函數(shù))1ln(4222yxyxz 的定義域是的定義域是_. .練練 習(xí)習(xí) 題題微積分 6 6、函數(shù)、函數(shù)yxz 的定義域是的定義域是_. . 7 7、函數(shù)、函數(shù)xyzarcsin 的定義域是的定義域是_. . 8 8、函數(shù)、函數(shù)xyxyz2222 的間斷點(diǎn)是的間斷點(diǎn)是_. .二二、 求求下下列列各各極極限限: :1 1、 xyxyyx42lim00 ；2 2、 xxyyxsinlim00；3 3、 22222200)()cos(1limyxyxyxyx . .微積分三、三、 證明：證明：0lim2200 yxxyyx. .四、四、 證明極限證

17、明極限yxxyyx 11lim00不存在不存在 . .微積分一、一、 1 1、 ),(2yxft； 2 2、1213 , , ),(yxf； 3 3、 xx21 ； 4 4、 yyx 112； 5 5、 xyyxyx4, 10),(222 ； 6 6、 yxyxyx 2, 0, 0),(； 7 7、 xyxxyx , 0),( xyxxyx , 0),(； 8 8、 02),(2 xyyx. .二、二、1 1、41 ； 2 2、0 0； 3 3、 . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案微積分不存在不存在.觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 微積分觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.微積分觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.微積分觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.微積分觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.微積分觀察觀察26300limyxyxyx ,2