極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限65362

1、第六節(jié)第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限 一、極限存在準(zhǔn)則一、極限存在準(zhǔn)則 二、兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限 三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題一、極限存在準(zhǔn)則一、極限存在準(zhǔn)則1.夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)準(zhǔn)則則 如如果果數(shù)數(shù)列列nnyx ,及及nz滿(mǎn)滿(mǎn)足足下下列列條條件件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那末末數(shù)數(shù)列列nx的的極極限限存存在在, , 且且axnn lim. .證證,azaynn使得使得, 0, 0, 021 nn ,1 aynnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng),max21nnn 取取恒有恒有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),nn , ayan即即

2、,2 aznnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng), azan上兩式同時(shí)成立上兩式同時(shí)成立, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果當(dāng)如果當(dāng))(00 xux ( (或或mx ) )時(shí)時(shí), ,有有 ,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00axhaxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于a. . 注意注意: :.,的極限是容易求的的極限是容易求的與與并且并且與與鍵是構(gòu)造出鍵是構(gòu)造出利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)nn

3、nnzyzy準(zhǔn)則準(zhǔn)則 和和準(zhǔn)則準(zhǔn)則 稱(chēng)為稱(chēng)為夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則.例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnnx1x2x3x1 nxnx2.單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則滿(mǎn)足條件滿(mǎn)足條件如果數(shù)列如果數(shù)列nx,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列準(zhǔn)準(zhǔn)則則 單單調(diào)調(diào)有有界界數(shù)數(shù)列列必必有有極極限限.幾何解釋幾何解釋:am例例2 2.)(333的極限存

4、在的極限存在式式重根重根證明數(shù)列證明數(shù)列nxn 證證,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假定假定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32aa 2131,2131 aa解得解得(舍去舍去).2131lim nnxac二、兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxaobo 圓心角圓心角設(shè)單位圓設(shè)單位圓,tan,sinacxabxbdx 弧弧于是有于是有xobd.aco ，得，得作單位圓的切線(xiàn)作單位圓的切線(xiàn),x

5、oab的圓心角為的圓心角為扇形扇形,bdoab的高為的高為 ,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式對(duì)于上式對(duì)于 x,20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 (2)exxx )11(lim定義定義ennn )11(

6、lim)71828. 2( ettxxtx)11(lim)1(lim10 . e ,1xt 令令exxx 10)1(lim例例4 4.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解1422)211()211(lim xxxx原式原式.2e 解解2 原式原式=46)21()31(lim23xxxxx 46)21(lim)31(lim23xxxxxx 46)21(lim)31(lim23xxxxxx 46ee 2e 三、小結(jié)三、小結(jié)1.兩個(gè)準(zhǔn)則兩個(gè)準(zhǔn)則2.兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有

7、界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 .; 1sinlim10 某過(guò)程某過(guò)程.)1(lim210e 某過(guò)程某過(guò)程,為某過(guò)程中的無(wú)窮小為某過(guò)程中的無(wú)窮小設(shè)設(shè) 思考題思考題求極限求極限 xxxx193lim 思考題解答思考題解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e._3cotlim40 xxx、一、填空題一、填空題:._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、練練 習(xí)習(xí) 題題._cotlim30 xxx、arcxxx2tan4)(tanlim2 、._)1(lim72 xxxx、._)11(lim8 xxx、xxxxsin2cos1lim10 、xxaxax)(lim3 、二、求下列各極限二、求下列各極限:nnnn)11(lim42 、 5 5、nnnn1)321(lim 三、三、 利用極限存在準(zhǔn)則證明數(shù)列利用極限存在準(zhǔn)則證明數(shù)列,.222,22, 2 的極限存在，并求的極限存在，并求出該極限出該極限 . .一、一、1 1、 ； 2 2、32； 3