小學奧數(shù)系列訓練題-幾何計數(shù)通用版

1、2015年小學奧數(shù)計數(shù)專題幾何計數(shù)1用3根等長的火柴可以擺成一個等邊三角形如圖,用這樣的等邊三角形拼合成一個更大的等邊三角形如果這個大等邊三角形昀每邊由20根火柴組成，那么一共要用多少根火柴?2如圖，用長短相同的火柴棍擺成3×1996的方格網(wǎng)，其中每個小方格的邊都由一根火柴棍組成，那么一共需用多少根火柴棍? 3圖是一個跳棋棋盤，請你計算出棋盤上共有多少個棋孔?4如圖，在桌面上，用6個邊長為l的正三角形可以拼成一個邊長為1的正六邊形如果在桌面上要拼出一個邊長為6的正六邊形，那么，需要邊長為1的正三角形多少個？5如圖，其中的每條線段都是水平的或豎直的，邊界上各條線段的長度依次為5厘米、7

2、厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米求圖中長方形的個數(shù)，以及所有長方形面積的和6 如圖，18個邊長相等的正方形組成了一個3×6的方格表，其中包含“*”的長方形及正方形共有多少個?7圖是由若干個相同的小正方形組成的那么，其中共有各種大小的正方形多少個? 8 圖中共有多少個三角形?9 圖是由18個大小相同的小正三角形拼成的四邊形，其中某些相鄰的小正三角形可以拼成較大的正三角形那么，圖中包含“*”的各種大小的正三角形一共有多少個? 10 如圖，AB，CD，EF，MN互相平行，則圖中梯形個數(shù)與三角形個數(shù)的差是多少? 11 在圖中，共有多少個不同的三角形? 12 如圖，一塊木板

3、上有13枚釘子用橡皮筋套住其中的幾枚釘子，可以構(gòu)成三角形、正方形、梯形等等，如圖那么，一共可以構(gòu)成多少個不同的正方形? 13 如圖，用9枚釘子釘成水平和豎直間隔都為1厘米的正方陣用一根橡皮筋將3枚不共線的釘子連結(jié)起來就形成一個三角形在這樣得到的三角形中，面積等于1平方厘米的三角形共有多少個?14 如圖，木板上釘著12枚釘子，排成三行四列的長方陣那么用橡皮筋共可套出多少個不同的三角形?15 如圖，正方形ACEG的邊界上有A，B，C，D，E，F(xiàn)，G這7個點，其中B，D，F(xiàn)分別在邊AC，CE，EG上以這7個點中的4個點為頂點組成的不同四邊形的個數(shù)等于多少?16 數(shù)一數(shù)下列圖形中各有多少條線段.17數(shù)

4、出下圖中總共有多少個角.18數(shù)一數(shù)下圖中總共有多少個角？19如下圖中，各個圖形內(nèi)各有多少個三角形？20如下圖中，數(shù)一數(shù)共有多少條線段？共有多少個三角形？21如右圖中，共有多少個角？22在圖中(單位：厘米)： 一共有幾個長方形? 所有這些長方形面積的和是多少?23由20個邊長為1的小正方形拼成一個長方形中有一格有“”圖中含有“”的所有長方形(含正方形)共有 個，它們的面積總和是 。 24圖中共有多少個三角形？25一個圓上有12個點A1，A2，A3，A11，A12以它們?yōu)轫旤c連三角形，使每個點恰好是一個三角形的頂點，且各個三角形的邊都不相交問共有多少種不同的連法?試卷第3頁，總4頁本卷由系統(tǒng)自動生

5、成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。參考答案1630【解析】把大的等邊三角形分為20“層”分別計算火柴的根數(shù)：最上一“層”只用了3根火柴；從上向下數(shù)第二層用了3×26根火柴；從上向下數(shù)第三層用了3×39根火柴；從上向下數(shù)第20層用了3×2060根火柴所以，總共要用火柴3×(1+2+3+20)630根213975【解析】橫放需1996×4根，豎放需1997×3根，共需1996×4+1997×313975根3121【解析】把棋盤分割成一個平行四邊形和四個小三角形，如下圖平行四邊形中棋孔數(shù)為9×981，每個小三

6、角形中有10個棋孔，所以棋孔共有81+10×4121個或直接數(shù)出有121個4216【解析】如圖AB6，組成AOB需要邊長為1的正三角形共：1+3+5+7+9+1136個，而拼成邊長為6的正六邊形需要6個AOB，因此總共需要邊長為1的正三角形36×6216個5100，10664【解析】確定好長方形的長和寬，長方形就唯一確定，而圖中只需確定好橫向線段，豎向線段，即可于是橫向線段有(1+2+3+4)10種選法，豎向線段也有(1+2+3+4)10種選法，則共有10×10100個長方形這些長方形的面積和為：(5+7+9+2+12+16+11+21+18+23)×(

7、4+6+5+1+10+11+6+15+12+16)124×8610664(平方厘米)636【解析】我們把所求的長、正方形按占有的行數(shù)分為三類，每類的長、正方形的個數(shù)相等其中只占有下面一行的有如下12種情況：于是共有12×336個正、長方形包含“*” 7130【解析】每個4×4正方形中有：邊長為1的正方形4×4個；邊長為2的正方形3×3個；邊長為3的正方形2×2個，邊長為4的正方形1×1個總共有4×4+3×3+2×2+1×130個正方形現(xiàn)在5個4×4的正方形，它們重疊部分是4個

8、2×2的正方形因此，圖中正方形的個數(shù)是30×55×4130822【解析】邊長為1的正三角形，有16個邊長為2的正三角形，尖向上的有3個，尖向下的也有3個因此共有16+3+322個96【解析】設(shè)小正三角形的邊長為1，分三類計算計數(shù)包含*的三角形中，邊長為1的正三角形有1個；邊長為2的正三角形有4個，邊長為3的正三角形有1個；因此，圖中包含“*”的所有大、小正三角形一共有1+4+16個1020【解析】圖中共有三角形(1+2+3+4)×440個，梯形(1+2+3+4)×(1+2+4)60個，梯形比三角形多604020個1185【解析】下圖中共有35個

9、三角形，兩個疊加成題中圖形時，又多出5+5×215個三角形，共計35×2+1585個三角形1211【解析】按正方形的面積分類，設(shè)最小的正方形面積為1，面積為1的正方形有5個，如圖a所示；面積為2的正方形有4個，如圖b所示；面積為4的正方形有1個，如圖c所示；還有1個面積比4大的正方形，如圖d所示；于是，一共可以構(gòu)成5+4+1+111個不同的正方形1332【解析】我們分三種情況來找面積為1平方厘米的三角形，這些三角形的底與高分別為1厘米或2厘米，利用正方形的對稱性：(1)等腰直角三角形，如下圖a所示有AOC，COE，EOG，GOA，BOH，DFB，F(xiàn)HD，HBF，共計8個，其

10、中以AC，CF，F(xiàn)G，GA為底的各一個，以BF，DH為底的各兩個(2)直角三角形，如圖b所示有ACH，CHD，ACD，DHA，BEF，BCE，CEF，CFB，DEG，DGH，EGH，EHD，GAB，GBF，F(xiàn)AB，F(xiàn)GA，共計16個，其中以AD、CH、BE、CF、DG、EH、FA、GB為斜邊的各兩個(3)鈍角三角形，如圖c所示有ABE，AHE，ADE，AFE，CBG，CFG，CDG，CHG共計8個，其中以AE、CG為邊的各四個于是，綜上所述，共有面積為1平方厘米的三角形32個14200【解析】我們先任意選取三個點，那么第1個點有12個位置可以選擇，第2個點有11個位置可以選擇，第3個點有10個

11、位置可以選擇，但是每6種選法對應(yīng)的都是同一個圖形，如下圖，ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA均是同一個圖形所以有12×11×10÷6220種選法，但是如果這3點在同一條直線上就無法構(gòu)成三角形，其中每行有4種情況，共3×4；每列有1種情況，共1×4；2個邊長為2的正方形的4條對角線，共4種情況所以，可以套出2203×41×44200個不同的三角形1512【解析】如果暫時不考慮點之間的排列位置關(guān)系，從7個點中任取4個點，則第一個點有7個位置可選，第二個點有6個位置可選，第三個點有5個位置可選，第四個點有4個位置可選，

12、而不考慮先后，那么有4×3×2×124種選法的實質(zhì)是一樣的，所有可能的組合數(shù)目應(yīng)該是(7×6×5×4)÷2435我們只要從中減去不能構(gòu)成四邊形的情形對圖19-16而言，任取4個點而又不構(gòu)成四邊形的情形只能發(fā)生在所取的4個點中有3個來自正方形ACEG的一條邊，而另一個則任意選取的時候，例如選定A、B、C3點，第4個點無論如何選取都不能構(gòu)成四邊形正方形的4條邊中有3條都存在這樣的情況而每次這種情況發(fā)生時，第4個頂點的選取有4種可能所取的頂點只有4個，因此不可能出現(xiàn)同時選擇了2條有3點共線的邊的情況那么需要排除的情況有4×

13、;312種所以，滿足題意的四邊形個數(shù)有351223個1615【解析】要想使數(shù)出的每一個圖形中線段的總條數(shù)，不重復、不遺漏，就需要按照一定的順序、按照一定的規(guī)律去觀察、去數(shù).這樣才不至于雜亂無章、毫無頭緒.我們可以按照兩種順序或兩種規(guī)律去數(shù).第一種：按照線段的端點順序去數(shù)，如上圖（1）中，線段最左邊的端點是A，即以A為左端點的線段有AB、AC兩條以B為左端點的線段有BC一條，所以上圖（1）中共有線段213條.同樣按照從左至右的順序觀察圖（2）中，以A為左端點的線段有AB、AC、AD三條，以B為左端點的線段有BC、BD兩條，以C為左端點的線段有CD一條.所以上頁圖（2）中共有線段為3216條.第二

14、種：按照基本線段多少的順序去數(shù).所謂基本線段是指一條大線段中若有n個分點，則這條大線段就被這n個分點分成n1條小線段，這每條小線段稱為基本線段.如上頁圖（2）中，線段AD上有兩個分點B、C，這時分點B、C把AD分成AB、BC、CD三條基本線段，那么線段AD總共有多少條線段？首先有三條基本線段，其次是包含有二條基本線段的是：AC、BD二條，然后是包含有三條基本線段的是AD這樣一條.所以線段AD上總共有線段3216條，又如上頁圖（3）中線段AE上有三個分點B、C、D，這樣分點B、C、D把線段AE分為AB、BC、CD、DE四條基本線段，那么線段AE上總共有多少條線段？按照基本線段多少的順序是：首先有

15、4條基本線段，其次是包含有二條基本線段的有3條，然后是包含有三條基本線段的有2條，最后是包含有4條基本線段的有一條，所以線段AE上總共有線段是432110條.解：213（條）. 3216（條）. 432110（條）.小結(jié)：上述三例說明：要想不重復、不遺漏地數(shù)出所有線段，必須按照一定順序有規(guī)律的去數(shù)，這個規(guī)律就是：線段的總條數(shù)等于從1開始的連續(xù)幾個自然數(shù)的和，這個連續(xù)自然數(shù)的和的最大的加數(shù)是線段分點數(shù)加1或者是線段所有點數(shù)（包括線段的兩個端點）減1.也就是基本線段的條數(shù).例如右圖中線段AF上所有點數(shù)（包括兩個端點A、F）共有6個，所以從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和中最大的加數(shù)是615，或者線段AF上的

16、分點有4個（B、C、D、E）.所以從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和中最大的加數(shù)是415.也就是線段AF上基本線段（AB、BC、CD、DE、EF）的條數(shù)是5.所以線段AF上總共有線段的條數(shù)是5432115（條）.1710【解析】在AOB內(nèi)有三條角分線OC1、OC2、OC3，AOB被這三條角分線分成4個基本角，那么AOB內(nèi)總共有多少個角呢？首先有這4個基本角，其次是包含有2個基本角組成的角有3個（即AOC2、C1OC3、C2OB），然后是包含有3個基本角組成的角有2個（即AOC3、C1OB），最后是包含有4個基本角組成的角有1個（即AOB），所以AOB內(nèi)總共有角：432110（個）.解：432110（個）

17、.小結(jié)：數(shù)角的方法可以采用例1數(shù)線段的方法來數(shù)，就是角的總數(shù)等于從1開始的幾個連續(xù)自然數(shù)的和，這個和里面的最大的加數(shù)是角分線的條數(shù)加1，也就是基本角的個數(shù).1855【解析】因為AOB內(nèi)角分線OC1、OC2OC9共有9條，即9+1=10個基本角.所以總共有角：10+9+8+4+3+2+1=55（個）.19（1）6（2）10【解析】可以采用類似例1數(shù)線段的兩種方法來數(shù)，如圖（2）：第一種方法：先數(shù)以AB為一條邊的三角形共有：ABD、ABE、ABF、ABC四個三角形.再數(shù)以AD為一條邊的三角形共有：ADE、ADF、ADC三個三角形.以AE為一條邊的三角形共有：AEF、AEC二個三角形.最后以AF為一

18、條邊的三角形共有AFC一個三角形.所以三角形的個數(shù)總共有4+3+2+1=10.第二種方法：先數(shù)圖中小三角形共有：ABD、ADE、AEF、AFC四個三角形.再數(shù)由兩個小三角形組合在一起的三角形共有：ABE、ADF、AEC三個三角形，以三個小三角形組合在一起的三角形共有：ABF、ADC二個三角形，最后數(shù)以四個小三角形組合在一起的只有ABC一個.所以圖中三角形的個數(shù)總共有：4+3+2+1=10（個）.解：3+2+1=6（個） 4+3+2+1=10（個）.答：圖（1）及圖（2）中各有三角形分別是6個和10個.小結(jié)：計算三角形的總數(shù)也等于從1開始的幾個連續(xù)自然數(shù)的和，其中最大的加數(shù)就是三角形一邊上的分點

19、數(shù)加1，也就是三角形這邊上分成的基本線段的條數(shù).2060,30【解析】分析在數(shù)的過程中應(yīng)充分利用上幾例總結(jié)的規(guī)律，明確數(shù)什么？怎么數(shù)？這樣兩個問題.數(shù)：就是要數(shù)出圖中基本線段（基本三角形）的條數(shù)，算：就是以基本線段（基本三角形）條數(shù)為最大加數(shù)的從1開始的連續(xù)幾個自然數(shù)的和.要數(shù)多少條線段：先看線段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2個分點，各分成3條基本線段，再看BC、MN、GH這3條線段上各有3個分點，各分成4條基本線段.所以圖中總共有線段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（條）.要數(shù)有多少個三角形，先看在AGH中，在GH上有3個分點，分成

20、基本小三角形有4個.所以在AGH中共有三角形4+3+2+1=10（個）.在AMN與ABC中，三角形有同樣的個數(shù)，所以在ABC中三角形個數(shù)總共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（個）.解：在ABC中共有線段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（條）在ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（個）.2113【解析】分析本題雖然與上幾例有區(qū)別，但仍可以采用上幾例所總結(jié)的規(guī)律去解決.1、2、3、4我們可視為4個基本角，由2個基本角組成的有：1與2、2與3、3與4、4與1，共4個角.由3個基本角組成的角有：1、2與3；2、3與4；3、4與1；4、1與2，共4個角，由4個基本角組成的角只有一個.所以圖中總共有角是：4×3+1=13（個）.解：所以圖中共有角是：4×3+1=13（個）.小結(jié)：由本題可以推出一般情況：若周角中含有n個基本角，那么它上面角的總數(shù)是 n（n-1）+1.22100,12384【解析】一共有(個