計(jì)算空間曲線積分的“向量點(diǎn)積法”

1、 may 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛11.7 斯托克斯公式 1空間曲線積分的空間曲線積分的向量點(diǎn)積法向量點(diǎn)積法 may 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛11.7 斯托克斯公式 2空間曲線積分的空間曲線積分的“向量點(diǎn)積法向量點(diǎn)積法”是斯是斯托克斯公式的一種改進(jìn)的方法。托克斯公式的一種改進(jìn)的方法。在計(jì)算空間曲線積分時，通常是先利在計(jì)算空間曲線積分時，通常是先利用斯托克斯公式把曲線積分化為曲面用斯托克斯公式把曲線積分化為曲面積分，再將曲面積分化為二重積分。積分，再將曲面積分化為二重積分。而而“向量點(diǎn)積法向量點(diǎn)積法”則是直接將曲線積則是直接將曲線積分化為二重積分，減少了中間環(huán)節(jié)。分化為二重積分，

2、減少了中間環(huán)節(jié)。 may 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛11.7 斯托克斯公式 3當(dāng)當(dāng):( , ),( , )zz x yx yd且且 l 是是的正向邊界曲線的正向邊界曲線，則有以下公式：則有以下公式： 取上（下）側(cè)時，取正（負(fù)）號取上（下）側(cè)時，取正（負(fù)）號空間曲線積分的向量點(diǎn)積法空間曲線積分的向量點(diǎn)積法rot,1dzzdxdyxy dlrrotdsa n斯托克斯公式lnlnd may 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛11.7 斯托克斯公式 4證明證明2222,1rot11xyxydxyzz dxzdyzzz原式dlrrotdsa n由斯托克斯公式由斯托克斯公式22,11xyxyzzzzn

3、其中單位法向量其中單位法向量 （教材（教材98頁）頁）再利用對面積的曲面積分的再利用對面積的曲面積分的計(jì)算公式（教材計(jì)算公式（教材217頁）頁）rot,1xydzdxdyzlnd may 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛11.7 斯托克斯公式 5 取上（下）側(cè)時，取正（負(fù)）號取上（下）側(cè)時，取正（負(fù)）號1 dzzxydxdyxyzpqrpdxqdyrdzl以上公式可以寫成行列式的形式：以上公式可以寫成行列式的形式： may 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛11.7 斯托克斯公式 6zxy111o111xyxyzddxdyzxy例例1 計(jì)算積分計(jì)算積分dddzxxyyz其中其中 為平面為平面 x

4、+ y+ z = 1 被三坐標(biāo)面所截三角形的整被三坐標(biāo)面所截三角形的整解解: 記三角形域?yàn)橛浫切斡驗(yàn)?, 取上側(cè)取上側(cè)個邊界個邊界, 方向如圖所示方向如圖所示. dddzxxyyzyxd11,1zzzxyxy 由前面的公式由前面的公式(1 1 1)xyddxdy 33=2xy3xyddxdy1(2xyxyd是的面積） may 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛11.7 斯托克斯公式 7解解取取為為平平面面23 zyx的的上上側(cè)側(cè)被被 所所圍圍成成的的部部分分. .zxyo n 31,12zzzxyxy may 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛11.7 斯托克斯公式 8222222111xyddxdyxyzyzzxxyxyd23 yx21 yx( 22 )( 22 )( 22 )xydyzzzxy dxdy 4()xydxyz dxdy 342xyddxdy 6