高中數(shù)學(xué)解題的理論與技巧第一篇理論篇

1、高中數(shù)學(xué)解題方法與技巧專題研究高中數(shù)學(xué)解題方法與技巧專題研究 數(shù)學(xué)究竟是由什么組成的？定理嗎？證明數(shù)學(xué)究竟是由什么組成的？定理嗎？證明嗎？概念？定義？理論？公式？誠然，沒嗎？概念？定義？理論？公式？誠然，沒有這些組成部分，數(shù)學(xué)就不存在，這些都有這些組成部分，數(shù)學(xué)就不存在，這些都是數(shù)學(xué)的必要組成部分，但是，它們中的是數(shù)學(xué)的必要組成部分，但是，它們中的任何一個都不是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)家存在任何一個都不是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)家存在的主要理由就是解決問題。因此，數(shù)學(xué)的的主要理由就是解決問題。因此，數(shù)學(xué)的真正的組成部分是問題和解，問題才是數(shù)真正的組成部分是問題和解，問題才是數(shù)學(xué)的心臟。學(xué)的心臟。 哈爾莫斯哈爾

2、莫斯 掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題，解題就是在掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題，解題就是在原先是隔開的事物或想法（已有的事物與原先是隔開的事物或想法（已有的事物與要求的事物、已知量和未知量、假設(shè)與結(jié)要求的事物、已知量和未知量、假設(shè)與結(jié)論）之間去找出聯(lián)系論）之間去找出聯(lián)系 這種聯(lián)系就像一這種聯(lián)系就像一座橋座橋 像是一條由一系列結(jié)論組成的鏈。像是一條由一系列結(jié)論組成的鏈。解題是一種本領(lǐng)，不僅要能解決普通的問解題是一種本領(lǐng)，不僅要能解決普通的問題，而且要能解決需要某種程度的獨立思題，而且要能解決需要某種程度的獨立思考、判斷力、獨創(chuàng)性和想象力的問題。考、判斷力、獨創(chuàng)性和想象力的問題。 波利亞波利亞 美國全國數(shù)學(xué)管

3、理者大會在美國全國數(shù)學(xué)管理者大會在21世紀世紀的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（1988）中指出：學(xué)習(xí)）中指出：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的在于問題解決。并把數(shù)學(xué)的主要目的在于問題解決。并把“問題解決問題解決”定義為定義為“將先前已獲得將先前已獲得的知識用于新的、不熟悉的情境的過的知識用于新的、不熟悉的情境的過程。這就是說，問題解決是一個發(fā)現(xiàn)程。這就是說，問題解決是一個發(fā)現(xiàn)的過程、探索的過程、創(chuàng)新的過程。的過程、探索的過程、創(chuàng)新的過程。 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強解中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強解題能力的訓(xùn)練。解題是一種實踐性的題能力的訓(xùn)練。解題是一種實踐性的技能，沒有萬能的方法，只能采用探技能，沒有萬能的方法

4、，只能采用探索、嘗試或試驗的方法，只能通過模索、嘗試或試驗的方法，只能通過模仿和實踐來學(xué)到。仿和實踐來學(xué)到。 波利亞波利亞 尋找題解不能教會，而只能靠自己學(xué)尋找題解不能教會，而只能靠自己學(xué)會。會。 弗里德曼弗里德曼 學(xué)數(shù)學(xué)如同下圍棋，必須實踐學(xué)數(shù)學(xué)如同下圍棋，必須實踐(做習(xí)題做習(xí)題)，必須和較高水平的人切磋必須和較高水平的人切磋(做有一定難做有一定難度的題度的題)，棋力，棋力(數(shù)學(xué)水平數(shù)學(xué)水平)才有長才有長進此外，還需揣摩成局進此外，還需揣摩成局(學(xué)習(xí)定理的學(xué)習(xí)定理的證明或著名問題的解法證明或著名問題的解法)，領(lǐng)會其精髓，領(lǐng)會其精髓(深刻的數(shù)學(xué)思想深刻的數(shù)學(xué)思想) 。 單墫單墫 開設(shè)數(shù)學(xué)課程的

5、主要目的是教會學(xué)生如何開設(shè)數(shù)學(xué)課程的主要目的是教會學(xué)生如何思考。思考。 “教會思考教會思考”意味著數(shù)學(xué)教師不僅僅應(yīng)該意味著數(shù)學(xué)教師不僅僅應(yīng)該傳授知識，而且也應(yīng)當去發(fā)展學(xué)生運用所傳授知識，而且也應(yīng)當去發(fā)展學(xué)生運用所傳授的知識的能力傳授的知識的能力 數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)第二卷第二卷 教師必須通曉他所要講授的內(nèi)容。他應(yīng)該教師必須通曉他所要講授的內(nèi)容。他應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生如何解題。但是，如果連他自己指導(dǎo)學(xué)生如何解題。但是，如果連他自己都搞不清楚，又怎么能教他的學(xué)生呢？教都搞不清楚，又怎么能教他的學(xué)生呢？教師應(yīng)該提高學(xué)生們的才智和推理能力；教師應(yīng)該提高學(xué)生們的才智和推理能力；教師應(yīng)該能發(fā)現(xiàn)并鼓勵創(chuàng)造性的見解。

6、但是，師應(yīng)該能發(fā)現(xiàn)并鼓勵創(chuàng)造性的見解。但是，教師往往對自己所學(xué)的課程并沒有充分掌教師往往對自己所學(xué)的課程并沒有充分掌握，而且也沒有考慮到如何發(fā)揚他自己的握，而且也沒有考慮到如何發(fā)揚他自己的技能、推理能力、解題能力以及創(chuàng)造性。技能、推理能力、解題能力以及創(chuàng)造性。依我看，這就是現(xiàn)在對中學(xué)數(shù)學(xué)教師的培依我看，這就是現(xiàn)在對中學(xué)數(shù)學(xué)教師的培養(yǎng)中存在的最大缺陷。養(yǎng)中存在的最大缺陷。 波利亞波利亞 應(yīng)當給學(xué)生以適合他們程度的問題去應(yīng)當給學(xué)生以適合他們程度的問題去引起他們的好奇心，并且用一些吸引引起他們的好奇心，并且用一些吸引人的問題來幫助他們解題，這樣做會人的問題來幫助他們解題，這樣做會引起學(xué)生們對獨立思考

7、的興趣并教給引起學(xué)生們對獨立思考的興趣并教給他們一些方法。他們一些方法。 波利亞波利亞 數(shù)學(xué)解題案例滲透著對特定數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)解題案例滲透著對特定數(shù)學(xué)問題的深刻反思的深刻反思,反映了數(shù)學(xué)解題實踐的經(jīng)反映了數(shù)學(xué)解題實踐的經(jīng)驗與方法驗與方法,蘊涵著一定程度的理論原理蘊涵著一定程度的理論原理,是了解解題教學(xué)的窗口是了解解題教學(xué)的窗口,數(shù)學(xué)問題解決數(shù)學(xué)問題解決的源泉的源泉,是數(shù)學(xué)解題理論的故鄉(xiāng)是數(shù)學(xué)解題理論的故鄉(xiāng),是數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)教師發(fā)展的階梯教師發(fā)展的階梯. 1995年北京文科高考狀元段楠說年北京文科高考狀元段楠說:“我我能學(xué)好數(shù)學(xué)是背例題背出來的能學(xué)好數(shù)學(xué)是背例題背出來的.我不喜我不喜歡題海戰(zhàn)術(shù)歡題海戰(zhàn)

8、術(shù),我喜歡從每一種類型的題我喜歡從每一種類型的題中找出一兩道典型中找出一兩道典型“背背”下來下來.剛開始剛開始的例題可能不會的例題可能不會,但但“背背”過一兩次過一兩次,理理解之后解之后,再看到這種類型就拿著再看到這種類型就拿著“例題例題”往里套了往里套了.” 成功的數(shù)學(xué)家大都有樂而不疲多做題的經(jīng)歷成功的數(shù)學(xué)家大都有樂而不疲多做題的經(jīng)歷. 解題就是把題歸結(jié)為已經(jīng)解過的題解題就是把題歸結(jié)為已經(jīng)解過的題. 前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家雅諾夫斯卡婭前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家雅諾夫斯卡婭 尋找題解就好像去抓石堆里的老鼠尋找題解就好像去抓石堆里的老鼠.這有兩這有兩種方法種方法:一種是可以把這個石堆的石頭一塊一種是可以把這個石

9、堆的石頭一塊接一塊地逐漸地搬開接一塊地逐漸地搬開,直到露出老鼠來直到露出老鼠來.這時這時,再撲上去再撲上去,抓住它抓住它.另一種就是圍繞石堆不停另一種就是圍繞石堆不停止地來回走動止地來回走動,并留心觀察并留心觀察,看看什么地方露看看什么地方露出老鼠尾巴沒有出老鼠尾巴沒有.一旦發(fā)現(xiàn)老鼠尾巴一旦發(fā)現(xiàn)老鼠尾巴,就用手就用手抓住它抓住它,并把老鼠從石堆里拖出來并把老鼠從石堆里拖出來. 前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家塔爾塔科夫斯基前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家塔爾塔科夫斯基 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，出于鞏固知識內(nèi)容和在數(shù)學(xué)教學(xué)中，出于鞏固知識內(nèi)容和 熟練常規(guī)思路的目的，大多使用結(jié)構(gòu)熟練常規(guī)思路的目的，大多使用結(jié)構(gòu) 良好的封閉題，其內(nèi)容是熟知

10、的，形良好的封閉題，其內(nèi)容是熟知的，形 式是標準的，方法是現(xiàn)成的，答案是式是標準的，方法是現(xiàn)成的，答案是確定的，條件恰好不多不少，學(xué)生通確定的，條件恰好不多不少，學(xué)生通過對教材的模仿和操作性練習(xí)，基本過對教材的模仿和操作性練習(xí)，基本上就能完成的常規(guī)性上就能完成的常規(guī)性“練習(xí)題練習(xí)題”。例例1: (1995年全國高考數(shù)學(xué)理科題年全國高考數(shù)學(xué)理科題) 在復(fù)平面上在復(fù)平面上,一個正方形的四個頂點按照逆一個正方形的四個頂點按照逆 時針方向依次為時針方向依次為z1,z2,z3,o(其中其中o是原點是原點), 已知已知z2復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)數(shù)對應(yīng) ,求求z1和和z3對應(yīng)對應(yīng)的復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù). y z2 z3 z1 o

11、 x 213zi 解法解法1: 如圖如圖,由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義有由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義有解法解法2:由復(fù)數(shù)運算的幾何意義有由復(fù)數(shù)運算的幾何意義有加減消元即得加減消元即得.1213131cos()sin()44222zzi3211313(cossin)44222zzi31213zzzi3123zzz ii 例例2: （1999年全國理科高考題）年全國理科高考題）若若則則 ( ) a. 1 b. -1 c. 0 d. 2 例例3: (2004年天津理科高考題年天津理科高考題)若若則則例例4: (2007年安徽高考數(shù)學(xué)題年安徽高考數(shù)學(xué)題)已知已知則則 ( )423401234(23),xaa xa x

12、a xa x2202413()()aaaaa2004220040122004(1 2 )()xaax a xaxx r01020302004()()()()aaaaaaaa52345012345(1) xaax a xa xa xa x024135()()aaaaaa例例5: 已知點已知點p在橢圓在橢圓b2x2+a2y2=a2b2上上,f,f 為這曲線的焦點為這曲線的焦點, , 的的 面積為面積為s,求證求證:解解: 由由 , 得得 ,則則fpffpf2tan2sb2pfpfa22242coscpfpfpf pf222()1 cosacpf pf 22211 2()sinsintan22 1

13、cos2acspf pfb 例例6：“糖水加糖變甜了糖水加糖變甜了”，請以這一生活，請以這一生活常識為背景提煉出一個數(shù)學(xué)命題，然后給常識為背景提煉出一個數(shù)學(xué)命題，然后給出嚴格的數(shù)學(xué)證明。出嚴格的數(shù)學(xué)證明。答案：若答案：若ba0,m0，則，則a/ba10, b2a20,則有則有a1/b1a2/b2 a1/b1a1+a2/b1+b2a2/b2.拓展情境拓展情境3:取濃度不等的兩杯糖水，它們有取濃度不等的兩杯糖水，它們有一個平均濃度，合在一起后又有一個濃度，一個平均濃度，合在一起后又有一個濃度，這兩個濃度哪個大？這兩個濃度哪個大？答案：這是答案：這是 一個有挑戰(zhàn)性的問題，需比較一個有挑戰(zhàn)性的問題，需

14、比較 與與 的大小。的大小。12121()2aabb1212aabb變式變式2：（：（1989年廣東數(shù)學(xué)高考題）年廣東數(shù)學(xué)高考題） 如果如果0mbb0),自中心作兩自中心作兩條互相垂直的弦條互相垂直的弦ac,bd.順次連結(jié)順次連結(jié)a,b,c,d得得一四邊形一四邊形,記其面積為記其面積為s,在所有這樣的四邊形在所有這樣的四邊形中中,求求s的最大值的最大值.解解:由對稱性知由對稱性知,只須求出只須求出aob的面積的面積.設(shè)設(shè)a的坐標的坐標為為 ,( ),由由oaob得得b的坐標為的坐標為則則s=4saob=2oaoboa2+ob2=(a2cos2+ b2sin2)+ (a2sin2+ b2cos2

15、)=a2 + b222221xyab11cossinxaayb02 22cos()sin2sin()cos2xaabybb 例例8:求函數(shù)求函數(shù) (a0)的最大值與最小值的最大值與最小值. 解解:題目的結(jié)構(gòu)像斜率公式題目的結(jié)構(gòu)像斜率公式,故取故取a(a2x2,ax), b(-2,1),則則a在拋物線在拋物線y2=x上上,問題轉(zhuǎn)化為求問題轉(zhuǎn)化為求拋物線上動點拋物線上動點a與定點與定點b的連線的斜率的最大的連線的斜率的最大值與最小值值與最小值.設(shè)過設(shè)過b(-2,1)的直線方程為的直線方程為y=k(x+2)+1,代入代入拋物線方程拋物線方程y2=x得得 其判別式非負其判別式非負解得解得 ,所以最大值

16、為所以最大值為 ,最小值最小值為為2212axya x211(2)0yykk2114(2)0kk 131344k 134 134例例9:設(shè)設(shè),是已知的復(fù)數(shù)是已知的復(fù)數(shù)(|(| |1),解關(guān)于解關(guān)于z的方程的方程解解:對已知式求共軛復(fù)數(shù)對已知式求共軛復(fù)數(shù)與上式聯(lián)立可解得與上式聯(lián)立可解得zzzz21z例例10:(1995年數(shù)學(xué)高考題年數(shù)學(xué)高考題) 等差數(shù)列等差數(shù)列an, bn的前的前n項和分別為項和分別為sn與與tn,若若 ,則則 等于等于( )解解:由極限的性質(zhì)有由極限的性質(zhì)有231nnsntnlimnnnab 1111()limlimlim()nnnnnnnnnaaan aabbbn bb22

17、limlim23nnnnnnsstt 例例11: (1992年數(shù)學(xué)高考理科題年數(shù)學(xué)高考理科題)在在(x2+3x+2)5的展開式中的展開式中x的系數(shù)為的系數(shù)為( )a. 160 b. 240 c. 360 d. 800解解:因為因為x2乘以式中的另兩項不會產(chǎn)生一次項乘以式中的另兩項不會產(chǎn)生一次項x,故確定故確定x的系數(shù)與的系數(shù)與x2項無關(guān)項無關(guān),只須考慮只須考慮(3x+2)5展開式中的展開式中的x項就夠了項就夠了:c54(3x) 24=240 x,選選b.例例12: (1992年數(shù)學(xué)高考題年數(shù)學(xué)高考題)如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)=x2+bx+c對任意實數(shù)對任意實數(shù)t都有都有f(2+t)=f(2-t

18、),那么那么( )a. f(2)f(1)f(4) b. f(1)f(2)f(4)c. f(2)f(4)f(1) d. f(4)f(2)0, 根據(jù)橢圓的定義根據(jù)橢圓的定義,原點到兩焦點距離之和為原點到兩焦點距離之和為2a,則則2a= | 0-z1|+ | 0-z2|= | z1|+ | z2|= 2| z1| 1 11 2222z zzzq1z例例10: 已知已知abc0, , ,m,nz,且且 , 求證求證:證明證明: 已知表明不同的兩點已知表明不同的兩點都在直線都在直線ax+by=c上上,但但a,b又決定一條直線又決定一條直線方程方程即即因為兩點確定唯一一條直線因為兩點確定唯一一條直線,所以

19、所以,上述兩條上述兩條直線重合直線重合,得對應(yīng)系數(shù)成比例得對應(yīng)系數(shù)成比例,即得證即得證.cossincos222abcm n cossinabccossinabc(cos ,sin ), (cos ,sin )ab(coscos )(sin ) (sinsin )(cos )yxcossincos222xy 例例11: (2004年廣東數(shù)學(xué)高考題年廣東數(shù)學(xué)高考題)設(shè)直線設(shè)直線 與橢圓與橢圓 相交于相交于a、b兩點兩點,又與雙曲線又與雙曲線x2-y2=1相交于相交于c、d兩點兩點, c、d三等分線段三等分線段ab,求直線求直線 的方程的方程.解解:從題設(shè)的橢圓方程與雙曲線方程可知從題設(shè)的橢圓方程

20、與雙曲線方程可知,它們的圖形既關(guān)于它們的圖形既關(guān)于x軸軸,又關(guān)于又關(guān)于y軸對稱軸對稱,既然既然c、d三等分線段三等分線段ab,則有則有ac=cd=db,則直則直線線 也應(yīng)該關(guān)于也應(yīng)該關(guān)于x軸、軸、 y軸或坐標原點對稱軸或坐標原點對稱.設(shè)直線設(shè)直線 的方程為的方程為y=kx+b,則則l2212516xyllll(1)當當k=0時時,y=b,直線直線 軸軸.分別把分別把y=b代入代入橢圓與雙曲線的方程得橢圓與雙曲線的方程得因為因為ab=3cd,所以所以x2-x1=3(x4-x3),即即 ,從而從而 ,所以直線所以直線的方程為的方程為(2)當斜率當斜率k不存在時不存在時,直線直線 的方程的方程x=c

21、,直線直線 軸軸,類似類似(1)可得可得,直線直線 的方程為的方程為(3)當斜率當斜率k0時時,由圖形的對稱性可知由圖形的對稱性可知b=0,則則y=kx,此時直線此時直線 通過坐標原點通過坐標原點,類似類似(1)得得lx221,23,4516,14xbxb 221016614bb1613b l1613y llyl25241x l1,23,422201,16251xxkk根據(jù)根據(jù)x2-x1=3(x4-x3),可得可得 ,從而直線從而直線 的方程為的方程為1625k l1625yx例例12: 對對a,b,c,d,mr,m-1,且且(a-c)2+ (b-d)20,求證求證:證法證法1:由柯西不等式有

22、由柯西不等式有證法證法2:在坐標平面上取點在坐標平面上取點a(a,b),b(c,d),直線直線ab上上的其他點為的其他點為 又與又與ab平行且過原點的直線為平行且過原點的直線為l:(b-d)x-(a-c)y=0.則則m到到l的距離不大于的距離不大于om,得得 ,得證得證.2222()()11()()adbcamcbmdmmacbd2222()()()()()()1111bmdamcbmdamcadbcacdbacdbmmmm(,)11a mc b mdmmm2222()()11()()11()()amcbmdbdacamcbmdmmmmacbd例例13: (1994年全國數(shù)學(xué)高考文科試題年全國

23、數(shù)學(xué)高考文科試題)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的前的前n項和為項和為sn,若對于所有的若對于所有的正整數(shù)正整數(shù)n,都有都有 ,證明證明: an是等是等差數(shù)列差數(shù)列.證明證明:當當n2時時,變形為變形為而為了證明而為了證明an是等差數(shù)列是等差數(shù)列,只須證只須證(1,a1),(n-1, an-1), (n,an)3點共線點共線,寫成表達式就是寫成表達式就是 ,只需將上式兩邊同時減去只需將上式兩邊同時減去(n-2)a1即得證即得證.即即1()2nnn aas111()(1)()22nnnn aanaaa11(1)(2)nnnaana1111(1)1nnaaaann11131211221nnaaaaaaaann例

24、例14:設(shè)設(shè)mn,mn 0,a1, 求求分析分析:由已知有由已知有 , ,代入求值式代入求值式,數(shù)字繁多數(shù)字繁多,運算復(fù)運算復(fù)雜雜,若用若用x表示表示a,則由已知有則由已知有 , ,則則得證得證.22(1)mnm nxaa111122()4mnmnxxa x122(1)nmm nxaa122(1)mnm nxaa112()2(1)m nm nm nxaa221mnmnaax221nmmnaax222m nn mmnmnaxx1 11 1112222222224()()()m nn mm nn mm nm nmnmnm nmnmnmnnma xxxxxxxxx例例15: 當正數(shù)當正數(shù)a為何值時為

25、何值時,拋物線拋物線 與橢圓與橢圓 有有4個不同的交點個不同的交點.解解:作出拋物線與橢圓的圖形如圖作出拋物線與橢圓的圖形如圖,拋物線與拋物線與 y o xx軸的交點為軸的交點為m(4,0), m1(-4,0);橢圓與橢圓與x軸的交軸的交點為點為a(a,0), a1(-a,0).要它們有要它們有4個交點個交點,須須a,a1位于位于m, m1之外之外,故得故得a4.244xy 222213xya評析評析:由于圖形未反映出精確的數(shù)量關(guān)系由于圖形未反映出精確的數(shù)量關(guān)系,直觀造成直觀造成了錯覺了錯覺,以為以為“a,a1位于位于m, m1之外之外”是兩曲線是兩曲線有有4個交點的充要條件個交點的充要條件.

26、其實其實,這只是充分而不必要條件這只是充分而不必要條件.事實上事實上,聯(lián)立兩方程消去聯(lián)立兩方程消去x得關(guān)于得關(guān)于y的二次方程的二次方程a2y2-36y+(144-9a2)=0.其兩根在其兩根在(-3,3)內(nèi)內(nèi).記記f(y)= a2y2-36y+(144-9a2),這是一個開口向上的這是一個開口向上的拋物線拋物線.方程方程f(y)= 0的兩根在的兩根在(-3,3)內(nèi)的充要條件為內(nèi)的充要條件為 , 解得解得22(3 )0(3 )01 8331 8()0ffafa 71a 例例16:已知橢圓已知橢圓 ,直線直線l: .p是是l上一點上一點,射線射線op交橢圓于點交橢圓于點r,又點又點q在在op上上且

27、滿足且滿足|oq|op|= |or|2.當點當點p在在l上移動時上移動時,求點求點q的軌跡的軌跡,并說明軌跡是什么曲線并說明軌跡是什么曲線.解解:問題的難度在于問題的難度在于q(x,y)同時受到兩個動點同時受到兩個動點p(xp,yp), r(xr,yr)的約束的約束,為了化解這個難點為了化解這個難點,我們引進輔助參數(shù)我們引進輔助參數(shù)(0,1),使使 則則 ,則則 ,2212416xy11 28xyoqororop2oqororoqoprrxxyy22ppxxyy分別代入所在的曲線方程得分別代入所在的曲線方程得相減即得相減即得q的軌跡方程的軌跡方程其中其中0知知,不包括原點不包括原點.22222

28、 41 61 28xyxy222416128xyxy例例17: 已知已知 ,求證求證:證法證法1:已知條件表明點已知條件表明點 在單位在單位圓上圓上,又由顯然的恒等式又由顯然的恒等式知知,a點在過點在過b(cos,sin)(也在單位圓上也在單位圓上)的的切線切線xcos+ysin=1上上.由切點的唯一性得由切點的唯一性得a,b重合重合.則則 ,即即代入則得證代入則得證.4422cossin1cossin4422cossin1cossin22cossin(,)cossina22cossincossin1cossin22coscoscossinsinsin2222coscossinsin證法證法2

29、: 由平均不等式有由平均不等式有則則所以所以代入即得證代入即得證.4222coscos2coscos4222sinsin2sinsin442222cossin2cossin2cossin422422coscoscossinsinsin 貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本題者的重要資本.解題所做的腦力工作就在解題所做的腦力工作就在于回憶他的經(jīng)驗中用得上的東西于回憶他的經(jīng)驗中用得上的東西,并且和他并且和他的解題思維聯(lián)系起來的解題思維聯(lián)系起來. 如果你希望從自己的努力中如果你希望從自己的努力中,取得最大的收取得最大的收獲獲,就要從已經(jīng)解決了的問題中

30、找出那些對就要從已經(jīng)解決了的問題中找出那些對將來的問題可能有用的特征將來的問題可能有用的特征.解題中解題中,一個好一個好念頭的基礎(chǔ)是過去的經(jīng)驗和已有的知識念頭的基礎(chǔ)是過去的經(jīng)驗和已有的知識. 波利亞波利亞 教學(xué)生解題是意志的教育教學(xué)生解題是意志的教育.當學(xué)生求解那些當學(xué)生求解那些對他來說并不太容易的題目時對他來說并不太容易的題目時,他學(xué)會了敗他學(xué)會了敗而不餒而不餒,學(xué)會了贊賞微小的進展學(xué)會了贊賞微小的進展,學(xué)會了等待學(xué)會了等待主要的念頭主要的念頭,學(xué)會了當主要念頭出現(xiàn)后全力學(xué)會了當主要念頭出現(xiàn)后全力以赴以赴.如果學(xué)生在學(xué)校里沒有機會嘗盡為求如果學(xué)生在學(xué)校里沒有機會嘗盡為求解而奮斗的喜怒哀樂解而

31、奮斗的喜怒哀樂,那么他的數(shù)學(xué)教育就那么他的數(shù)學(xué)教育就在最重要的地方失敗了在最重要的地方失敗了. 波利亞波利亞 “怎樣解題表怎樣解題表”弄清題意弄清題意擬定計劃擬定計劃執(zhí)行計劃執(zhí)行計劃檢驗回顧檢驗回顧變換變換, ,推廣推廣, ,類類比比, ,作出新的作出新的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn). .概括方法論因概括方法論因素素, ,建立數(shù)學(xué)建立數(shù)學(xué)模型模型. . 弄清問題弄清問題1) 已知是什么已知是什么? 2) 未知是什么未知是什么? 3) 題目要求你干什么題目要求你干什么? 4) 可否畫一個圖形可否畫一個圖形? 5) 可否數(shù)學(xué)化可否數(shù)學(xué)化?擬定計劃擬定計劃6)你能否一眼看出結(jié)果你能否一眼看出結(jié)果?7)是否見過形

32、式上稍有不同的題目是否見過形式上稍有不同的題目?8) 你是否知道與此有關(guān)的題目你是否知道與此有關(guān)的題目,是否知道用得上的是否知道用得上的定義定義,定理公式定理公式?9) 有一個與你現(xiàn)在的題目有關(guān)且你已解過的題目有一個與你現(xiàn)在的題目有關(guān)且你已解過的題目,你能利用它嗎你能利用它嗎?10) 已知條件已知條件a,b,c可否轉(zhuǎn)化可否轉(zhuǎn)化?可否建立一個可否建立一個等式或不等式等式或不等式?11) 你能否引入輔助元素你能否引入輔助元素?12) 如果你不能解這個題如果你不能解這個題,可先解一個有關(guān)的題可先解一個有關(guān)的題,你你能否想出一個較易下手的能否想出一個較易下手的,較一般的較一般的,特殊的特殊的,類似類似

33、的題的題?實現(xiàn)計劃實現(xiàn)計劃13)把你想好的解題過程具體地用術(shù)語把你想好的解題過程具體地用術(shù)語,符號符號,圖形圖形,式子表述出來式子表述出來.14)修正解題方向以及原來擬定的不恰當?shù)姆叫拚忸}方向以及原來擬定的不恰當?shù)姆桨赴?15)解題要求是解題要求是:嚴密具有邏輯性嚴密具有邏輯性.回顧反思回顧反思16)你能擬定其它解題方案嗎你能擬定其它解題方案嗎?17)你能利用它嗎你能利用它嗎?你能用它的結(jié)果嗎你能用它的結(jié)果嗎?你能你能用它的方法嗎用它的方法嗎?18)你能找到什么方法檢驗?zāi)愕慕Y(jié)果嗎你能找到什么方法檢驗?zāi)愕慕Y(jié)果嗎? 正如波利亞所說，這是正如波利亞所說，這是“領(lǐng)會方法的最佳領(lǐng)會方法的最佳時機時機”

34、，“當讀者完成了任務(wù)，而且他的當讀者完成了任務(wù)，而且他的體驗在頭腦中還是新鮮的時候，去回顧他體驗在頭腦中還是新鮮的時候，去回顧他所做的一切，可能有利于探究他剛才克服所做的一切，可能有利于探究他剛才克服困難的實質(zhì)，他可以對自己提出許多有用困難的實質(zhì)，他可以對自己提出許多有用的問題：的問題：關(guān)鍵在哪里？重要的困難是什關(guān)鍵在哪里？重要的困難是什么？什么地方我可以完成得更好些？我為么？什么地方我可以完成得更好些？我為什么沒有覺察到這一點？要看出這一點我什么沒有覺察到這一點？要看出這一點我必須具備哪些知識？應(yīng)該從什么角度去考必須具備哪些知識？應(yīng)該從什么角度去考慮？這里有沒有值得學(xué)習(xí)的訣竅可供下次慮？這里

35、有沒有值得學(xué)習(xí)的訣竅可供下次遇到類似問題時應(yīng)用？遇到類似問題時應(yīng)用？”怎樣解題怎樣解題表是波利亞在分解解題的思維表是波利亞在分解解題的思維過程得到的，看似很平常的解題步驟或方過程得到的，看似很平常的解題步驟或方法，其實卻已包含幾代人的智慧結(jié)晶和經(jīng)法，其實卻已包含幾代人的智慧結(jié)晶和經(jīng)驗總結(jié)。在這張包括驗總結(jié)。在這張包括“弄清問題弄清問題”、“擬擬定計劃定計劃”、“實現(xiàn)計劃實現(xiàn)計劃”和和“回顧反思回顧反思”四大步驟的解題全過程的解題表中，對第四大步驟的解題全過程的解題表中，對第二步即二步即“擬定計劃擬定計劃”的分析是最為引人入的分析是最為引人入勝的。勝的。 他把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過程分解為五他把

36、尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過程分解為五條建議和二十三個具有啟發(fā)性的問題，它條建議和二十三個具有啟發(fā)性的問題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過程進們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過程進行分解，使我們對解題的思維過程看得見，行分解，使我們對解題的思維過程看得見，摸得著，易于操作。摸得著，易于操作。 波利亞推崇探索法，他認為現(xiàn)代探索法力波利亞推崇探索法，他認為現(xiàn)代探索法力求了解解題過程，特別是解題過程中典型求了解解題過程，特別是解題過程中典型有用的智力活動。他說有用的智力活動。他說怎樣解題怎樣解題這本這本書就是實現(xiàn)這種計劃的初步嘗試，書就是實現(xiàn)這種計劃的初步嘗試，“怎樣怎樣解題表解題表”實質(zhì)上就是試圖誘發(fā)

37、靈感的實質(zhì)上就是試圖誘發(fā)靈感的“智智力活動表力活動表”。波利亞的。波利亞的怎樣解題怎樣解題表的表的精髓是啟發(fā)你去聯(lián)想。聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)精髓是啟發(fā)你去聯(lián)想。聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)想？讓我們看一看他在表中所提出的建議想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發(fā)性問題吧。和啟發(fā)性問題吧。 “你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定問題？你是否知道一個可能用得上的定理？理？”波利亞說他在寫這些東西時，腦波利亞說他在寫這些東西時，腦子里重現(xiàn)了他過去在研究數(shù)學(xué)時解決問題子里重現(xiàn)

38、了他過去在研究數(shù)學(xué)時解決問題的過程，實際上是他解決和研究問題時的的過程，實際上是他解決和研究問題時的思維過程的總結(jié)。這正是數(shù)學(xué)家在研究數(shù)思維過程的總結(jié)。這正是數(shù)學(xué)家在研究數(shù)學(xué)，特別是研究解題方法時的優(yōu)勢所在，學(xué)，特別是研究解題方法時的優(yōu)勢所在，絕非絕非“紙上談兵紙上談兵”。 我們表中的問題和建議并不直接提到念頭；我們表中的問題和建議并不直接提到念頭；但實際上，所有的問題和建議都與它有關(guān)。但實際上，所有的問題和建議都與它有關(guān)。了解問題是為好念頭的出現(xiàn)作準備；制定了解問題是為好念頭的出現(xiàn)作準備；制定計劃是試圖引發(fā)它；在引發(fā)之后，我們實計劃是試圖引發(fā)它；在引發(fā)之后，我們實現(xiàn)它；回顧此過程和求解的結(jié)果

39、，我們是現(xiàn)它；回顧此過程和求解的結(jié)果，我們是試圖更好地利用它。試圖更好地利用它。 波利亞波利亞 可能會有這樣的情況：一個學(xué)生想出了一可能會有這樣的情況：一個學(xué)生想出了一個異常好的念頭，于是跳過所有的預(yù)備步個異常好的念頭，于是跳過所有的預(yù)備步驟，解答就脫口而出了。如此幸運的念頭驟，解答就脫口而出了。如此幸運的念頭當然是求之不得的，但是也可能發(fā)生很不當然是求之不得的，但是也可能發(fā)生很不如愿和很不走運的事，即學(xué)生通過上述如愿和很不走運的事，即學(xué)生通過上述4階階段中的任何一個階段都沒有想出好念頭。段中的任何一個階段都沒有想出好念頭。老師為學(xué)生所能做的最大的好事是通過比老師為學(xué)生所能做的最大的好事是通過

40、比較自然的幫助，促使他自己想出一個好念較自然的幫助，促使他自己想出一個好念頭。頭。 波利亞波利亞 解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠從解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘。為了找出可以接近它的方向去攻擊堡壘。為了找出哪個方面是正確的方面，哪一側(cè)是好接近哪個方面是正確的方面，哪一側(cè)是好接近的一側(cè)，我們從各個方面、各個側(cè)面去試的一側(cè)，我們從各個方面、各個側(cè)面去試驗，我們變化命題。變化問題使我們引進驗，我們變化命題。變化問題使我們引進了新的內(nèi)容，從而產(chǎn)生了新的接觸，產(chǎn)生了新的內(nèi)容，從而產(chǎn)生了新的接觸，產(chǎn)生了和我們問題有關(guān)的元素接觸的新可能性。了和我們問題有關(guān)的元素接觸的新可

41、能性。如果我們不用如果我們不用“題目變更題目變更”，幾乎是不能，幾乎是不能有什么進展的。有什么進展的。 波利亞波利亞 “解題系統(tǒng)解題系統(tǒng)”是波利亞解題思想的整體輪廓，是波利亞解題思想的整體輪廓，“分析解題過程分析解題過程”是波利亞解題思想的內(nèi)是波利亞解題思想的內(nèi)在核心，在核心，“念頭誘發(fā)念頭誘發(fā)”是波利亞解題思想是波利亞解題思想的外在表現(xiàn)，的外在表現(xiàn)，“問題轉(zhuǎn)換問題轉(zhuǎn)換”是波利亞解題是波利亞解題思想的具體實現(xiàn)，這張表體現(xiàn)了解題過程思想的具體實現(xiàn)，這張表體現(xiàn)了解題過程是積極思維活動的實質(zhì)，也抓住了思維活是積極思維活動的實質(zhì)，也抓住了思維活動中最富于創(chuàng)造性的成分動中最富于創(chuàng)造性的成分提出問題，提出

42、問題，并且為不斷提出問題、不斷解決問題的積并且為不斷提出問題、不斷解決問題的積極思維活動提供了一個合理的框架。極思維活動提供了一個合理的框架。 對于多數(shù)中學(xué)教師來說對于多數(shù)中學(xué)教師來說,他們最缺乏的是主他們最缺乏的是主動的、創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)工作經(jīng)驗動的、創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)工作經(jīng)驗,而沒有一定而沒有一定的獨立思考、能動性和創(chuàng)新精神的獨立思考、能動性和創(chuàng)新精神,也就談不也就談不上才智上才智.在數(shù)學(xué)里在數(shù)學(xué)里,才智比起僅僅具有知識更才智比起僅僅具有知識更為重要為重要,而且重要得多而且重要得多.中學(xué)不僅應(yīng)當向?qū)W生中學(xué)不僅應(yīng)當向?qū)W生傳授知識傳授知識,而且應(yīng)當開發(fā)他們的才智而且應(yīng)當開發(fā)他們的才智,他們的他們的獨立性

43、、能動性和創(chuàng)新精神獨立性、能動性和創(chuàng)新精神.因此因此,教師更應(yīng)教師更應(yīng)當具有某種創(chuàng)造性工作的經(jīng)歷當具有某種創(chuàng)造性工作的經(jīng)歷. 不能要求一般的教師都去從事某個非常高不能要求一般的教師都去從事某個非常高深的課題的研究深的課題的研究.所謂適當水平的創(chuàng)造性工所謂適當水平的創(chuàng)造性工作作,對大多數(shù)教師來說對大多數(shù)教師來說,就是解題就是解題,尤其是解尤其是解非常規(guī)性的數(shù)學(xué)問題非常規(guī)性的數(shù)學(xué)問題.這種問題并不要求超這種問題并不要求超出中學(xué)水平的知識出中學(xué)水平的知識,卻要求一定程度的卻要求一定程度的(有時有時要求高度的要求高度的)精力集中和判斷能力精力集中和判斷能力,需要發(fā)揮需要發(fā)揮某種程度的主動性和創(chuàng)造性某種

44、程度的主動性和創(chuàng)造性.解這種問題時解這種問題時,不僅有機會獲得中學(xué)數(shù)學(xué)的全面知識不僅有機會獲得中學(xué)數(shù)學(xué)的全面知識,而且而且能享受到發(fā)現(xiàn)的喜悅能享受到發(fā)現(xiàn)的喜悅. “如果你沒有解過這樣的問題如果你沒有解過這樣的問題;如果你如果你沒有體驗過發(fā)現(xiàn)的緊張與勝利沒有體驗過發(fā)現(xiàn)的緊張與勝利;如果如果,在在多年執(zhí)教后多年執(zhí)教后,你還沒有在一個學(xué)生身上你還沒有在一個學(xué)生身上見到這種緊張與勝利見到這種緊張與勝利,那么那么,去尋找其他去尋找其他的職業(yè)吧的職業(yè)吧,別再教數(shù)學(xué)了別再教數(shù)學(xué)了.” 波利亞波利亞例例18:已知已知 , 為銳角為銳角,試證試證:證法證法1:將條件變形為將條件變形為兩邊同乘兩邊同乘 ,再移項得

45、再移項得 (1)而而 ,則則結(jié)合結(jié)合(1)式得式得 ,則則33sectan1sectan, 33csccot1csccot33333sectancossincos1sectancossincos3coscos33sincos1sincos32sinsinsin2sinsin32coscoscos2coscos33sincoscos()2sincoscos()1證法證法2:由已知得由已知得即即 (1) (2)易知易知 時結(jié)論顯然成立時結(jié)論顯然成立.若若 ,由由(2)/(1)并整理得并整理得即即即即 ,由于由于 為銳角得為銳角得 ,即即 ,即即這與這與 矛盾矛盾,因此因此 ,結(jié)論成立結(jié)論成立.3322sectansectansectan3322sectansectansectan22sec(secsec)tan(tantan)sectan3333s e cs e ct a nt a ns e ct a n222222secsecsecsectantantantansectan2222sectansectan0sectansectansectansectan()(1)0sectansectan, sectan0sectancossincos0cosc