第四章中值定理與導數(shù)應用習題課

1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、二、 導數(shù)應用導數(shù)應用習題課一、一、 微分中值定理及其應用微分中值定理及其應用中值定理及導數(shù)的應用 第三三章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xyoab)(xfy 拉格朗日中值定理 )()(bfaf一、一、 基本內(nèi)容基本內(nèi)容1. 微分中值定理及其相互關系微分中值定理及其相互關系 羅爾定理 0)(fxyoab)(xfy )()()()()()(ffafbfafbfabafbff)()()(xxf)()()()(bfafxxf 柯西中值定理 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2、1) lim( )lim( )0( )f xf x( )3) lim( )fxf x存在 (

2、或為 )( )( )limlim( )( )f xfxf xf x2)( )( ),f xf x與可導0)( xf且洛必達法則洛必達法則(洛必達法則) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 可導函數(shù)單調(diào)性判別ixxf,0)()(xf在 i 上單調(diào)遞增ixxf,0)()(xf在 i 上單調(diào)遞減4.曲線凹凸與拐點的判別ixxf ,0)(上向上凹在曲線ixfy)(ixxf ,0)(+上向上凸在曲線ixfy)(拐點 連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點目錄 上頁 下頁 返回 結束 5. 連續(xù)函數(shù)的極值(1) 極值疑似點 : 使導數(shù)為0 或不存在的點(2) 第一充分條件)(xf 過0 x由正正變負負)(0 xf為

3、極大值)(xf 過0 x由負負變正正)(0 xf為極小值(3) 第二充分條件0)(,0)(00 xfxf)(0 xf為極大值)(0 xf為極小值0)(,0)(00 xfxf定理3 最值點應在極值點和邊界點上找 ;應用題可根據(jù)問題的實際意義判別 .6. 連續(xù)函數(shù)的最值目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1.1.eelimaxaxax求為 型，由洛必達法則有00解)()ee (limeelimaxaxaxaxaxax.e1elimaxax二、典型例題二、典型例題目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2 2 求求0lim02xxxee202limxxxeexx為 型，由洛必達法則有00解02lim2xxx

4、eex202limxxxeexx目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3 3 求求2lim0 xxe21limxxxe2limxxxe為 型，由洛必達法則有解21limxxxe目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4 40limln (0)xxx求.lnlimlnlim2100 xxxxxx解解230211limxxx. 0lim2210 xx目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5 5 求求)( 111lim0 xxex) 1(1lim111lim00 xxxxxexxeexxxxxxeee11lim021lim0 xxxxxexeee目錄 上頁 下頁 返回 結束 函數(shù))(xf在區(qū)間)0 ,(與), 2

5、(上單調(diào)減少，在區(qū)間)2 , 0(單調(diào)增加 解323)(xxxf定義域為：)(，)2(336)( 2xxxxxf 0)( xf01x22x，得駐點，令沒有 不存在的點.)(xf 列表：x)0 ,(0)2,0(),2(2)(xf )(xf+目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例7 7 討論討論3223)(xxxf的單調(diào)性及極值2112344321定義域 (,) 13331( )10, 1xfxxxx 又 0 x 導數(shù)不存在 + 函數(shù)單增區(qū)間為 (,0)及 (1,)單減區(qū)間為 (0,1)極大值為0，極小值為-1/2 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例8 8討論21yxx的凹向及拐點。 解：函數(shù)定義域為

6、 (,0)(0,)23122,2yxyxx；令 0,1yx x (, 1) -1 ( 1,0) (0,) ( )fx + 0 - + ( )f x 0 即( )f x在(, 1) 及(0,)上凹，在( 1,0)下凹， 拐點為（-1，0） 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例9 設某商品的需求函數(shù)為 2( )75qq pp，求： （1）當 4p 時的需求彈性，并說明其經(jīng)濟意義； （2）當 4p 時，若價格 p分之幾？ 上漲1%，總收益將變化百（3）當 6p 時，若價格 p分之幾？ 上漲1%，總收益將變化百2222( )2( )7575eqpppq ppepq ppp 3( )75r pqppp223

7、2375( )(753)( )7575erpppr ppepr pppp目錄 上頁 下頁 返回 結束 22275eqpepp2237575erpepp解：（1） 4320.542459peqep價格每增加1%，需求量降低0.5424%。4p （2） 4230.389859perep價格每增加1%，4,p 價格每增加1%，收益增加0.3898% （3） 6330.846239perep 價格每增加1%，6,p 收益減少0.8462% 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例10 某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，產(chǎn)量為 q件時，總成本 21418002c qqq元，市場對該商品的需求規(guī)律 2802qp（價格 p的單位：元/件）， 試求：（1）產(chǎn)量 q是多少時，收益最大？ （2）產(chǎn)量 q是多少時，平均成本最?。?（3）產(chǎn)量 q是多少時，利潤最大？最大利潤是多少？ 解：（1） 211402r qpqqq 140=0 =140r qqq， 10rq max(140)9800rr目錄 上頁 下頁 返回 結束 （2） 1180042c qqq 2118000