第六章微分方程第五節(jié)常系數(shù)線性方程

1、第五節(jié)第五節(jié) 常系數(shù)線性方程常系數(shù)線性方程1常系數(shù)齊次線性方程通解的求法常系數(shù)齊次線性方程通解的求法2常系數(shù)非齊次線性方程的通解求法常系數(shù)非齊次線性方程的通解求法3歐拉方程歐拉方程)(1)1(1)(xfypypypynnnn n階階常系數(shù)線性微分方程常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的標(biāo)準(zhǔn)形式0 qyypy二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式nppp,21其中其中為常數(shù)。為常數(shù)。0)( xf常系數(shù)齊次線性方程常系數(shù)齊次線性方程0)( xf常系數(shù)非齊次線性方程常系數(shù)非齊次線性方程qp,其

2、中其中為常數(shù)。為常數(shù)。一一 常系數(shù)齊次線性方程通解的求法常系數(shù)齊次線性方程通解的求法二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程:),(0為常數(shù)為常數(shù)qpyqypy xrey 和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入代入得得0)(2 xre qprr02qrpr稱稱為微分方程為微分方程的的特征方程特征方程,1. 當(dāng)當(dāng)042qp有兩個相異實根有兩個相異實根,21r ,r方程有兩個線性無關(guān)的特解方程有兩個線性無關(guān)的特解:,11xrey ,22xrey 因此方程的通解為因此方程的通解為xrxrececy2121 ( r 為待定常數(shù)為待定常數(shù) ),為常數(shù)時為常數(shù)時因為因為r所以令所以

3、令的解為的解為 則微分則微分其根稱為其根稱為特征根特征根.xre函數(shù)函數(shù)時時,2. 當(dāng)當(dāng)042 qp特征方程有兩個相等實根特征方程有兩個相等實根21rr 則微分方程有一個特解則微分方程有一個特解)(12xuyy 設(shè)另一特解設(shè)另一特解( u (x) 待定待定)代入方程得代入方程得:1xre)(1urup 0 uq)2(211ururu 1r注意注意是特征方程的重根是特征方程的重根0 u取取 u = x ,12xrexy 因此原方程的通解為因此原方程的通解為xrexccy1)(21 ,2p .11xrey )(1xuexr 0)()2(1211 uqrprupru則得則得時時,3. 當(dāng)當(dāng)042 q

4、p特征方程有一對共軛復(fù)根特征方程有一對共軛復(fù)根 irir 21,這時原方程有兩個復(fù)數(shù)解這時原方程有兩個復(fù)數(shù)解:xiey)(1 )sin(cosxixex xiey)(2 )sin(cosxixex 利用解的疊加原理利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關(guān)特解得原方程的線性無關(guān)特解:)(21211yyy )(21212yyyi xex cos xex sin 因此原方程的通解為因此原方程的通解為)sincos(21xcxceyx 時時,例例1求下列微分方程的通解。求下列微分方程的通解。; 023)1( yyy0134)2( yyy解解(1)特征方程為特征方程為0232 rr特征根為特征根為, 1

5、1 r微分方程通解為微分方程通解為22 rxexe21c2c y(2)特征方程為特征方程為01342 rr特征根為特征根為,321ir 微分方程通解為微分方程通解為ir322 xex3cos2 xex3sin2 1c2c y例例2 2, 109600 xxyyyyy求解微分方程初始值問題求解微分方程初始值問題解解特征方程為特征方程為0962 rr特征根為特征根為, 321 rr微分方程通解為微分方程通解為xe3 xxe3 1c2c y01 xy1c y )33(323231xxxxececec 0 x0 x 2213cc , 11 c52 c所求解為所求解為xxxeey335 若特征方程含若特

6、征方程含k重復(fù)根重復(fù)根, ir 若特征方程含若特征方程含k重實根重實根r , , xrkkexcxcc)(121 xxcxccekkx cos)( 121sin)(121xxdxddkk 則其通解中必含則其通解中必含對應(yīng)項對應(yīng)項)(01)1(1)(均為常數(shù)均為常數(shù)knnnnayayayay 特征方程特征方程: : 0111 nnnnararar),(均為任意常數(shù)均為任意常數(shù)以上以上iidc推廣推廣: :則其通解中必含對應(yīng)項則其通解中必含對應(yīng)項例例3052)4( yyy求方程求方程的通解的通解. 解解:, 052234 rrr特征根特征根:irrr21, 04,321 因此原方程通解為因此原方程

7、通解為xcc21 )2sin2cos(43xcxcex 例例4.0)4()5( yy解方程解方程解解:, 045 rr特征根特征根 :1, 054321 rrrrr原方程通解原方程通解: 1c xc2 23xc34xcxec5(不難看出不難看出, 原方程有特解原方程有特解), 132xexxx y y 特征方程特征方程特征方程特征方程:222222)(rr 例例5 . )0(0dd444 wxw解方程解方程解解:44 r即即0)2)(2(2222 rrrr其根為其根為),1(22,1ir )1(24,3ir 方程通解方程通解 :xe2 )2sin2cos(21xcxc xe2 )2sin2co

8、s(43xcxc w 特征方程特征方程:0 例例6,2cos,2,321xyexyeyxx 求一個以求一個以xy2sin34 為特解的為特解的 4 階常系數(shù)線性齊次微分方程階常系數(shù)線性齊次微分方程,并求其通解并求其通解 .解解: 根據(jù)給定的特解知特征方程有根根據(jù)給定的特解知特征方程有根 :,121 rrir24 , 3 因此特征方程為因此特征方程為2)1( r0)4(2 r即即04852234 rrrr04852)4( yyyyy故所求方程為故所求方程為其通解為其通解為xcxcexccyx2sin2cos)(4321 二二 常系數(shù)非齊次線性方程通解的求法常系數(shù)非齊次線性方程通解的求法)(xfy

9、qypy ),(為為常常數(shù)數(shù)qp二階常系數(shù)線性非齊次微分方程二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為其通解為yy *y 非齊次方程特解非齊次方程特解齊次方程通解齊次方程通解求特解的方法求特解的方法根據(jù)根據(jù) f (x) 的特殊形式的特殊形式 ,*y給出特解給出特解的待定形式的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù)代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) . 待定系數(shù)法待定系數(shù)法)(xqex )()2(xqp )()(2xqqp )(xpemx 型型)()(xpexfmx 為實數(shù)為實數(shù) ,)(xpm設(shè)特解為設(shè)特解為, )(*xqeyx 其中其中 為待定

10、多項式為待定多項式 , )(xq )()(*xqxqeyx )()(2)(*2xqxqxqeyx 代入原方程代入原方程 , 得得 )(xq (1) 若若 不是特征方程的根不是特征方程的根, , 02 qp 即即則取則取),(xqm從而得到特解從而得到特解形式為形式為. )(*xqeymx )()2(xqp )()(2xqqp )(xpm 為為 m 次多項式次多項式 .q (x) 為為 m 次待定系數(shù)多項式次待定系數(shù)多項式1(2) 若若 是特征方程的是特征方程的單根單根 , , 02 qp ,02 p )(xq 則則為為m 次多項式次多項式, 故特解形式為故特解形式為xmexqxy )(* (3

11、) 若若 是特征方程的是特征方程的重根重根 , , 02 qp ,02 p )(xq 則則是是 m 次多項式次多項式,故特解形式為故特解形式為xmexqxy )(*2 小結(jié)小結(jié) 對方程對方程,)2, 1, 0()(* kexqxyxmk 此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .)(xq )()2(xqp )(xpm )()(2xqqp 即即即即當(dāng)當(dāng) 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 時時,可設(shè)可設(shè)特解特解例例7寫出下列微分方程特解的形式寫出下列微分方程特解的形式(1)xexyyy22134 解解2 由于對應(yīng)的齊次方程的特征方程由于對應(yīng)的齊次方程的特征方

12、程01342 rr的根的根.32,3221irir 所以所以不是特征方程不是特征方程的根，的根，因此因此. 0 k,)(2xxpm , 2 m因此特解形式為因此特解形式為 y0 x)(2cbxax xe2 xecbxax22)( (2)xexyyy2282 解解2 由于對應(yīng)的齊次方程的特征方程由于對應(yīng)的齊次方程的特征方程0822 rr的根的根. 4, 221 rr所以所以是特征方程的單根，是特征方程的單根，此此. 1 k,)(2xxpm , 2 m因此特解形式為因此特解形式為 y1x)(2cbxax xe2 xecbxaxx22)( 因因(3)xexyyy2244 解解2 由于對應(yīng)的齊次方程的

13、特征方程由于對應(yīng)的齊次方程的特征方程0442 rr的根的根.221rr 所以所以是特征方程的二重根，是特征方程的二重根，此此. 2 k,)(2xxpm , 2 m因此特解形式為因此特解形式為 y2x)(2cbxax xe2 因因(4)xxeyyyy 33解解1 對應(yīng)的特征方程對應(yīng)的特征方程, 013323 rrr特征根為特征根為, 1321 rrr所以所以是特征方程的三重根，是特征方程的三重根，此此. 3 k,)(xxpm , 1 m因此特解形式為因此特解形式為 y3x)(bax xe 因因例例8求微分方程求微分方程1332 xyyy的通解。的通解。解解特征方程特征方程. 0322 rr特征根

14、特征根, 3, 121 rr對應(yīng)的齊次方程通解為對應(yīng)的齊次方程通解為.321xxececy , 13)( xxf0 不是特征根，不是特征根， 因此因此, 0 k, 13)( xxpm, 1 m因此設(shè)微分方程特解為因此設(shè)微分方程特解為)(baxy 代入原方程得代入原方程得baax323 , 13 x比較系數(shù)可知比較系數(shù)可知, 33 a132 ba因此因此, 1 a.31 bxy 31原方程通解為原方程通解為 yyyxxecec321 x 31xxebaxaey)( xebaax)( xebaaxy)2( 例例9求微分方程求微分方程xxeyyy 65的通解。的通解。解解特征方程特征方程. 0652

15、 rr特征根特征根, 3, 221 rr對應(yīng)的齊次方程通解為對應(yīng)的齊次方程通解為.3221xxececy ,)(xxexf 1 不是特征根，不是特征根， 因此因此, 0 k,)(xxpm , 1 m因此設(shè)微分方程特解為因此設(shè)微分方程特解為xebaxy)( 代入原方程消去代入原方程消去ax2,x 比較系數(shù)可知比較系數(shù)可知, 12 a023 ba因此因此,21 a.43 bxexy)4321( 原方程通解為原方程通解為 yyyxxecec321 xex)4321( xe得得ba23 xebaxy2)2( xebxbaax22)22(2( xebaaxy2)224( xebxbaax22)22(2(

16、2 xebaxabax22)42)84(4( xebxax22)(2 例例10 求微分方程求微分方程xxeyyy223 的通解。的通解。解解特征方程特征方程. 0232 rr特征根特征根, 2, 121 rr對應(yīng)的齊次方程通解為對應(yīng)的齊次方程通解為.221xxececy ,)(2xxexf 2 是單特征根，是單特征根， 因此因此, 1 k,)(xxpm , 1 m因此設(shè)微分方程特解為因此設(shè)微分方程特解為xxebxaxebaxxy222)()( 代入原方程消去代入原方程消去ax2 ,x 比較系數(shù)可知比較系數(shù)可知, 12 a02 ba因此因此,21 a. 1 bxexxy2)2(2 原方程通解為原

17、方程通解為 yyyxxecec221 xexx22)21( xe2 得得ba 2例例11 求微分方程求微分方程122 xeyyyx的通解。的通解。解解特征方程特征方程. 022 rr特征根特征根, 2, 121 rr對應(yīng)的齊次方程通解為對應(yīng)的齊次方程通解為.221xxececy ,)(21xexf 2 是單特征根，是單特征根， 因此因此, 1 k, 1)( xpm, 0 m因此設(shè)微分方程特解為因此設(shè)微分方程特解為xaxey21 代入原方程消去代入原方程消去a3 , 1 所以所以,31 axxey2131 xe2 得得(1)(2) 求求xeyyy22 的特解。的特解。所以所以xeyyy22 的特

18、解為的特解為原方程通解為原方程通解為 21yyyyxxecec221 xxe231 (3) 求求12 xyyy的特解。的特解。, 1)(2 xxf0 不是特征根，不是特征根， 因此因此, 0 k, 1)( xxpm, 1 m設(shè)微分方程特解為設(shè)微分方程特解為baxy 2代入原方程得代入原方程得baax22 , 1 x比較系數(shù)得比較系數(shù)得,21 a43212 xy所以所以12 xyyy的特解為的特解為43 b(4)4321 x例例12設(shè)設(shè))(xf二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且且, 0)0(, 1)0( ff曲線積分曲線積分2(53 ( )( )2 ( )xlef xydxfxf x dy 與路徑與

19、路徑無關(guān)，無關(guān)，求求).(xf解解 由于曲線積分與路徑無關(guān)，由于曲線積分與路徑無關(guān)， 所以所以)(35(2yxfeyx )(2)(xfxfx )(52xfex)(2)(xfxf 因此因此)(xf滿足微分方程滿足微分方程xefff2532 0)0(, 1)0( ff特征方程特征方程. 0322 rr特征根特征根121,3,rr 對應(yīng)的齊次方程通解為對應(yīng)的齊次方程通解為.321xxececf 設(shè)非齊次方程的特解為設(shè)非齊次方程的特解為,2xaef 代入方程得代入方程得, 1 a,2xef xxxeececxf2321)( 因此方程通解為因此方程通解為由于由于)0(f 1121 cc)0(f 0232

20、1 cc所以所以,211 c212 cxxxeeexf232121)( 型型xxpxxpexfnlx sin)(cos)()( 2為實數(shù)，為實數(shù)，)0(, )(),(xpxpnl分別為分別為l ，n 次多項式。次多項式。 xxpxxpenlx sin)(cos)( 對非齊次方程對非齊次方程yqypy ),(為為常常數(shù)數(shù)qp xrxrexymmxk sincos* 則可設(shè)特解則可設(shè)特解:其中其中 為特征方程的為特征方程的 k 重根重根 ( k = 0, 1), i lnm,max 上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.例例13寫出下列微分方程的特解形式。寫出下列微分方

21、程的特解形式。(1)xxeyyyx3cos32 解解 特征方程特征方程, 0322 rr特征根特征根1, 321 rr,3cos)(xxexfx , 3, 1 i 31 不是特征根，不是特征根，所以所以, 0 k, 0)(,)( xpxxpnl所以所以, 1,max nlm因此因此3sin)(3cos)(xdcxxbaxeyx (2)xxeyyyx3cos102 解解 特征方程特征方程, 01022 rr特征根特征根,312, 1ir ,3cos)(xxexfx , 3, 1 i 31 是單特征根，是單特征根，所以所以, 1 k, 0)(,)( xpxxpnl所以所以, 1,max nlm因此

22、因此3sin)(3cos)(xdcxxbaxxeyx (3)xxyyy2sin168)4( 解解 特征方程特征方程, 016824 rr特征根特征根,221irr ,2sin)(xxxf , 2, 0 ii2 是二重特征根，是二重特征根，所以所以, 2 k, 0)( xpl所以所以, 1,max nlm因此因此2sin)(2cos)(2xdcxxbaxxy ,243irr ,)(xxpn xcbaxxadcxy2sin)22(2cos)22( xadcxxcbaxy2sin)(42cos)(4 例例14xxyy2cos 求方程求方程的一個特解的一個特解 .解解:特征方程特征方程, 2, 0 故

23、設(shè)特解為故設(shè)特解為xdxcxbxay2sin)(2cos)(* 不是特征方程的根不是特征方程的根,ii2 代入方程得代入方程得xcbxa2cos)433( 012 r,)(xxpl , 0)( xpn比較系數(shù)比較系數(shù) , 得得9431, da.2sin2cos*9431xxxy 于是求得一個特解于是求得一個特解13 a043 cb03 c043 ad0 cb本題本題 xadxc2sin)433( xx2cos )sin)(cos)(xabxbaeyx )sin2cos2(xaxbeyx 例例15xeyyyxcos422 求方程求方程的通解的通解 .解解特征方程為特征方程為, 0222 rr特征

24、根特征根,12, 1ir ,cos4)(xexfx , 1, 1 i 1不是特征根，不是特征根，所以所以, 0 k, 0)(, 4)( xpxpnl所以所以, 0,max nlm所以對應(yīng)的齊次方程的通解為所以對應(yīng)的齊次方程的通解為)sincos(21xcxceyx 故設(shè)特解為故設(shè)特解為)sincos(xbxaeyx 代入方程得代入方程得xebaxcos)44( xeabxsin)44( xexcos4 所以所以, 1 ba, 0 ab,2121 ba),sin(cos21xxeyx 通解為通解為)sincos(21xcxcex y),sin(cos21xxex xbaxxabxy3sin)3(

25、3cos)3( xabxxbaxy3sin)69(3cos)69( 例例16 xxyy3sin303cos189 求方程求方程的通解的通解. 解解: 特征方程為特征方程為, 092 r其根為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為對應(yīng)齊次方程的通解為xcxcy3sin3cos21 )3sin3cos(*xbxaxy 比較系數(shù)比較系數(shù), 得得,5 a,3 b因此特解為因此特解為)3sin33cos5(*xxxy ir32,1 代入方程代入方程:xb3cos6所求通解為所求通解為xcxcy3sin3cos21 為特征方程的單根為特征方程的單根 ,i3 )3sin33cos5(xxx xx3sin303cos18 因此設(shè)非齊次方程特解為因此設(shè)非齊次方程特解為xa3sin6 三三 歐拉方程歐拉方程n 階階歐拉方程歐拉方程的一般形式為的一般形式為 )(1)1(11)(xfypyxpyxp