人教版高中數(shù)學(xué)選修11：2.1 橢 圓 課時(shí)提升作業(yè)九 2.1.1 Word版含解析

1、起課時(shí)提升作業(yè)(九)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.a=6,c=1的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()a.x236+y235=1b.y236+x235=1c.x236+y21=1d.以上都不對(duì)【解析】選d.由a=6,c=1,所以b2=a2-c2=35,當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),方程為x236+y235=1;當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),方程為y236+x235=1.2.已知f1,f2是定點(diǎn),|f1f2|=8,動(dòng)點(diǎn)m滿足|mf1|+|mf2|=8,則動(dòng)點(diǎn)m的軌跡是()a.橢圓b.直線c.圓d.線段【解析】選d.因?yàn)閨mf1|+|mf2|=8=|f1f2|,所以點(diǎn)m的軌跡是線段f1f2.3.

2、(2015·漳州高二檢測(cè))如果方程x2a2+y2a+6=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()a.a>3b.a<-2c.a>3或a<-2d.a>3或-6<a<-2【解析】選d.由于橢圓焦點(diǎn)在x軸上,所以a2>a+6,a+6>0,即(a+2)(a-3)>0,a>-6.a>3或-6<a<-2.【誤區(qū)警示】本題在求解時(shí),常因忽略a+6>0導(dǎo)致錯(cuò)誤.4.已知橢圓x225+y29=1上的點(diǎn)m到該橢圓一個(gè)焦點(diǎn)f的距離為2,n是mf的中點(diǎn),o為坐標(biāo)原點(diǎn),那么線段on的長是()a.2b.4c.8d.

3、32【解題指南】借助三角形中位線的性質(zhì)求解.【解析】選b.設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為e,如圖,則|mf|+|me|=10,所以|me|=8.又on為mef的中位線,所以|on|=12|me|=4.5.(2015·荊州高二檢測(cè))已知橢圓的兩焦點(diǎn)為f1(-2,0),f2(2,0),p為橢圓上的一點(diǎn),且|f1f2|是|pf1|與|pf2|的等差中項(xiàng).該橢圓的方程是()a.x212+y264=1b.x216+y212=1c.x24+y216=1d.x24+y212=1【解析】選b.因?yàn)閨pf1|+|pf2|=2|f1f2|=2×4=8,所以2a=8,所以a=4,所以b2=a2-c2=16

4、-4=12,所以橢圓方程是x216+y212=1.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知a=4,b=3,橢圓焦點(diǎn)在x軸上,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【解析】由題意可知,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216+y29=1.答案:x216+y29=17.(2015·廣東高考改編)已知橢圓x225+y2m2=1(m>0)的左焦點(diǎn)為f1(-4,0),則m=.【解題指南】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì),根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上,判斷出m2<25,進(jìn)而根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo),a2的值及m>0求得m.【解析】由題意得:m2=25-42=9,因?yàn)閙>0,所以m=3.答案:38.已知a(0,-1),b(0,1)兩點(diǎn),

5、abc的周長為6,則abc的頂點(diǎn)c的軌跡方程是.【解析】因?yàn)?c=|ab|=2,所以c=1,所以|ca|+|cb|=6-2=4=2a,所以頂點(diǎn)c的軌跡是以a,b為焦點(diǎn)的橢圓(a,b,c不共線).因此,頂點(diǎn)c的軌跡方程為y24+x23=1(y±2).答案:y24+x23=1(y±2)【誤區(qū)警示】本題在求解時(shí),常因?yàn)楹雎詀,b,c不共線導(dǎo)致增解.三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2015·臨沂高二檢測(cè))設(shè)p是橢圓x225+y2754=1上一點(diǎn),f1,f2是橢圓的焦點(diǎn),若f1pf2=60°,求f1pf2的面積.【解析】由橢圓方程知,a2=25,b2=7

6、54,所以c2=254,所以c=52,2c=5.在pf1f2中,|f1f2|2=|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|·|pf2|cos60°,即25=|pf1|2+|pf2|2-|pf1|·|pf2|.由橢圓的定義得10=|pf1|+|pf2|,即100=|pf1|2+|pf2|2+2|pf1|·|pf2|.-,得3|pf1|·|pf2|=75,所以|pf1|·|pf2|=25,所以sf1pf2=12|pf1|·|pf2|·sin60°=2534.10.已知?jiǎng)訄Am過定點(diǎn)a(-3,0),并且內(nèi)切于定圓b

7、:(x-3)2+y2=64.求動(dòng)圓圓心m的軌跡方程.【解析】設(shè)動(dòng)圓m的半徑為r,則|ma|=r,|mb|=8-r,所以|ma|+|mb|=8,且8>|ab|=6,所以動(dòng)點(diǎn)m的軌跡是橢圓,且焦點(diǎn)分別是a(-3,0),b(3,0),且2a=8,所以a=4,c=3,所以b2=a2-c2=16-9=7.所求動(dòng)圓圓心m的軌跡方程是x216+y27=1.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共10分)1.(2015·重慶高二檢測(cè))設(shè)f1,f2是橢圓x29+y24=1的兩個(gè)焦點(diǎn),p是橢圓上的點(diǎn),且|pf1|pf2|=21,則pf1f2的面積等于()a.5b.4c.3d.1【解析】選b.由

8、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得a=3,b=2,c=5,所以|pf1|+|pf2|=6.又|pf1|pf2|=21,所以|pf1|=4,|pf2|=2,所以f1pf2為直角三角形,所以spf1f2=12×2×4=4.2.已知橢圓x216+y29=1的左、右焦點(diǎn)分別為f1,f2,點(diǎn)p在橢圓上.若p,f1,f2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則點(diǎn)p到x軸的距離為()a.95b.3c.977d.94【解析】選d.由題意,a2=16,b2=9,所以c2=7,c=7.因?yàn)閜f1f2為直角三角形.且b=3>7=c.所以f1或f2為直角三角形的直角頂點(diǎn),所以點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為±7,設(shè)p(

9、7;7,|y|),把x=±7代入橢圓方程,知716+y29=1,所以y2=8116,所以|y|=94.二、填空題(每小題5分,共10分)3.(2015·山師附中高二檢測(cè))已知方程x2m-1+y22-m=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則m的取值范圍是.【解題指南】解答本題應(yīng)注意,方程表示橢圓,分母應(yīng)取正值,焦點(diǎn)在y軸上,含y2項(xiàng)的分母較大,二者缺一不可.【解析】由題意得m-1>0,2-m>0,2-m>m-1.即m>1,m<2,m<32.所以1<m<32.答案:1<m<324.(2015·長沙高二檢測(cè))在平面直角

10、坐標(biāo)系中,a(4,0),b(-4,0),且sina+sinbsinc=54,則abc的頂點(diǎn)c的軌跡方程為.【解題指南】應(yīng)用正弦定理及橢圓的定義求解.【解析】由正弦定理,得|bc|+|ac|ab|=54,又|ab|=8,所以|bc|+|ac|=10.由橢圓定義可知,點(diǎn)c的軌跡是以點(diǎn)a,b為焦點(diǎn)的橢圓.又因?yàn)閍=12×10=5,c=12×8=4,所以b2=a2-c2=25-16=9.又因?yàn)辄c(diǎn)a,b,c不共線,所以點(diǎn)c的軌跡方程為x225+y29=1(y0).答案:x225+y29=1(y0)【誤區(qū)警示】本題解答常因忽略了隱含條件點(diǎn)a,b,c不共線導(dǎo)致忘記對(duì)x或y加以限制.三、解

11、答題(每小題10分,共20分)5.(2015·安陽高二檢測(cè))已知點(diǎn)p(6,8)是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點(diǎn),f1(-c,0),f2(c,0)為橢圓的兩焦點(diǎn),若pf1·pf2=0.試求(1)橢圓的方程.(2)sinpf1f2的值.【解析】(1)因?yàn)閜f1·pf2=0,所以-(c+6)(c-6)+64=0,所以c=10,所以f1(-10,0),f2(10,0),所以2a=|pf1|+|pf2|=(6+10)2+82+(6-10)2+82=125,所以a=65,b2=80.所以橢圓方程為x2180+y280=1.(2)因?yàn)閜f1pf2,所

12、以spf1f2=12|pf1|·|pf2|=12|f1f2|·yp=80,所以|pf1|·|pf2|=160,又|pf1|+|pf2|=125,且點(diǎn)p(6,8)在第一象限內(nèi),所以|pf2|=45,所以sinpf1f2=|pf2|f1f2|=4520=55.6.(2015·東莞高二檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xoy中,點(diǎn)b與點(diǎn)a(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)o對(duì)稱,p是動(dòng)點(diǎn),且直線ap與bp的斜率之積等于-13.(1)求動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程.(2)設(shè)直線ap和bp分別與直線x=3交于點(diǎn)m,n,問:是否存在點(diǎn)p,使得pab與pmn的面積相等?若存在,求出點(diǎn)p的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)

13、說明理由.【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)b與點(diǎn)a(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)o對(duì)稱,所以點(diǎn)b的坐標(biāo)為(1,-1).設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(x,y),由題意得y-1x+1·y+1x-1=-13,化簡(jiǎn)得x2+3y2=4(x±1).故動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程為x2+3y2=4(x±1).(2)方法一:設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(x0,y0),點(diǎn)m,n的坐標(biāo)分別為(3,ym),(3,yn),則直線ap的方程為y-1=y0-1x0+1(x+1),直線bp的方程為y+1=y0+1x0-1(x-1),令x=3得ym=4y0+x0-3x0+1,yn=2y0-x0+3x0-1.于是pmn的面積spmn=12|ym-yn|(3-

14、x0)=|x0+y0|(3-x0)2|x02-1|,又直線ab的方程為x+y=0,|ab|=22,點(diǎn)p到直線ab的距離d=|x0+y0|2.于是pab的面積spab=12|ab|·d=|x0+y0|,當(dāng)spab=spmn時(shí),得|x0+y0|=|x0+y0|(3-x0)2|x02-1|,又|x0+y0|0,所以(3-x0)2=|x02-1|,解得x0=53.因?yàn)閤02+3y02=4,所以y0=±339.故存在點(diǎn)p使得pab與pmn的面積相等,此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為53,±339.方法二:若存在點(diǎn)p使得pab與pmn的面積相等,設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(x0,y0),則12|pa|·|pb|sinapb=12|pm|·|pn|sinmpn.因?yàn)閟inapb=sinmpn,所以|pa|pm|=|pn|pb|,所以|x0+1|3-x0|=|3-x0|x0-1|,即(3-x0)2=|x02-1|,解得x0=53.因?yàn)閤02+3y02=4,所以y0=±339,故存在點(diǎn)p使得pab與pmn的面積相等,此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為53,±339.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在rtabc中,cab=90°,