趣味數(shù)學(xué)—數(shù)陣圖與幻方

1、-作者xxxx-日期xxxx趣味數(shù)學(xué)數(shù)陣圖與幻方【精品文檔】 三年級(jí)奧數(shù) -數(shù)陣圖與幻方知識(shí)框架一、數(shù)陣圖定義及分類：定義：把一些數(shù)字按照一定的要求，排成各種各樣的圖形，這類問(wèn)題叫數(shù)陣圖.數(shù)陣：是一種由幻方演變而來(lái)的數(shù)字圖.數(shù)陣圖的種類繁多，這里只向大家介紹三種數(shù)陣圖：即封閉型數(shù)陣圖、輻射型數(shù)陣圖和復(fù)合型數(shù)陣圖.二、解題方法：解決數(shù)陣類問(wèn)題可以采取從局部到整體再到局部的方法入手：第一步：區(qū)分?jǐn)?shù)陣圖中的普通點(diǎn)(或方格)和關(guān)鍵點(diǎn)(或方格)；第二步：在數(shù)陣圖的少數(shù)關(guān)鍵點(diǎn)(一般是交叉點(diǎn))上設(shè)置未知數(shù)，計(jì)算這些關(guān)鍵點(diǎn)與相關(guān)點(diǎn)的數(shù)量關(guān)系，得到關(guān)鍵點(diǎn)上所填數(shù)的范圍；第三步：運(yùn)用已經(jīng)得到的信息進(jìn)行嘗試這個(gè)步驟

2、并不是對(duì)所有數(shù)陣題都適用，很多數(shù)陣題更需要對(duì)數(shù)學(xué)方法的綜合運(yùn)用三、幻方起源：幻方也叫縱橫圖，也就是把數(shù)字縱橫排列成正方形，因此縱橫圖又叫幻方幻方起源于我國(guó)，古人還為它編撰了一些神話傳說(shuō)在大禹治水的年代，陜西的洛水經(jīng)常大肆泛濫，無(wú)論怎樣祭祀河神都無(wú)濟(jì)于事，每年人們擺好祭品之后，河中都會(huì)爬出一只大烏龜，烏龜殼有九大塊，橫著數(shù)是3行，豎著數(shù)是3列，每塊烏龜殼上都有幾個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，正好湊成1至9的數(shù)字，可是誰(shuí)也弄不清這些小點(diǎn)點(diǎn)是什么意思一次，大烏龜又從河里爬上來(lái)，一個(gè)看熱鬧的小孩驚叫起來(lái)：“瞧多有趣啊，這些點(diǎn)點(diǎn)不論橫著加、豎著加還是斜著加，結(jié)果都等于十五！”于是人們趕緊把十五份祭品獻(xiàn)給河神，說(shuō)來(lái)也怪，河水果

3、然從此不再泛濫了這個(gè)神奇的圖案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三階幻方”，這個(gè)相等的和叫做“幻和”“洛書”就是幻和為15的三階幻方如下圖： 我國(guó)北周時(shí)期的數(shù)學(xué)家甄鸞在算數(shù)記遺里有一段注解：“九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央”這段文字說(shuō)明了九個(gè)數(shù)字的排列情況，可見幻方在我國(guó)歷史悠久三階幻方又叫做九宮圖，九宮圖的幻方民間歌謠是這樣的：“四海三山八仙洞，九龍五子一枝連；二七六郎賞月半，周圍十五月團(tuán)圓”幻方的種類還很多，這節(jié)課我們將學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)了解它們四、幻方定義：幻方是指橫行、豎列、對(duì)角線上數(shù)的和都相等的數(shù)的方陣，具有這一性質(zhì)的的數(shù)陣稱作三階幻方，的數(shù)陣稱作四階幻方，的

4、稱作五階幻方如圖為三階幻方、四階幻方的標(biāo)準(zhǔn)式樣， 。五、解決這幻方常用的方法：適用于所有奇數(shù)階幻方的填法有羅伯法口訣是：一居上行正中央，后數(shù)依次右上連上出框時(shí)往下填，右出框時(shí)往左填排重便在下格填，右上排重一個(gè)樣 適用于三階幻方的三大法則有：求幻和： 所有數(shù)的和÷行數(shù)（或列數(shù)）求中心數(shù)：我們把幻方中對(duì)角線交點(diǎn)的數(shù)叫“中心數(shù)”，中心數(shù)幻和÷3角上的數(shù)=與它不同行、不同列、不同對(duì)角線的兩數(shù)和÷2六、數(shù)獨(dú)簡(jiǎn)介：數(shù)獨(dú)前身為“九宮格”，最早起源于中國(guó)。數(shù)千年前，我們的祖先就發(fā)明了洛書，其特點(diǎn)較之現(xiàn)在的數(shù)獨(dú)更為復(fù)雜，要求縱向、橫向、斜向上的三個(gè)數(shù)字之和等于15，而非簡(jiǎn)單的九個(gè)數(shù)

5、字不能重復(fù)。中國(guó)古籍易經(jīng)中的“九宮圖”也源于此，故稱“洛書九宮圖”。而“九宮”之名也因易經(jīng)在中華文化發(fā)展史上的重要地位而保存、沿用至今。 1783年，瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉發(fā)明了一種當(dāng)時(shí)稱作“拉丁方塊”（Latin Square）的游戲，這個(gè)游戲是一個(gè)n×n的數(shù)字方陣，每一行和每一列都是由不重復(fù)的n個(gè)數(shù)字或者字母組成的。 19世紀(jì)70年代，美國(guó)的一家數(shù)學(xué)邏輯游戲雜志戴爾鉛筆字謎和詞語(yǔ)游戲（Dell Puzzle Mgzines）開始刊登現(xiàn)在稱為“數(shù)獨(dú)”的這種游戲，當(dāng)時(shí)人們稱之為“數(shù)字拼圖”（Number Place），在這個(gè)時(shí)候，9×9的81格數(shù)字游戲才開始成型

6、。填充完整后1984年4月，在日本游戲雜志字謎通訊Nikoil（通信）上出現(xiàn)了“數(shù)獨(dú)”游戲，提出了“獨(dú)立的數(shù)字”的概念，意思就是“這個(gè)數(shù)字只能出現(xiàn)一次”或者“這個(gè)數(shù)字必須是唯一的”，并將這個(gè)游戲命名為“數(shù)獨(dú)”（sudoku）。 一位前任香港高等法院的新西蘭籍法官高樂(lè)德（Wayne Gould）在1997年3月到日本東京旅游時(shí)，無(wú)意中發(fā)現(xiàn)了。他首先在英國(guó)的泰晤士報(bào)上發(fā)表，不久其他報(bào)紙也發(fā)表，很快便風(fēng)靡全英國(guó)，之后他用了6年時(shí)間編寫了電腦程式，并將它放在網(wǎng)站上，使這個(gè)游戲很快在全世界流行。從此，這個(gè)游戲開始風(fēng)靡全球。后來(lái)更因數(shù)獨(dú)的流行衍生了許多類似的數(shù)學(xué)智力拼圖游戲，例如：數(shù)和、殺手?jǐn)?shù)獨(dú)。 中國(guó)大

7、陸是在2007年2月28日正式引入數(shù)獨(dú). 2007年2月28日，北京晚報(bào)智力休閑數(shù)獨(dú)俱樂(lè)部(數(shù)獨(dú)聯(lián)盟sudokufederation前身)在新聞大廈舉行加入世界謎題聯(lián)合會(huì)的頒證儀式，會(huì)上謎題聯(lián)合會(huì)秘書長(zhǎng)皮特-里米斯特和俱樂(lè)部會(huì)長(zhǎng)在證書上簽字，這標(biāo)志著北京晚報(bào)智力休閑俱樂(lè)部成為世界謎題聯(lián)合會(huì)的39個(gè)成員之一，這也標(biāo)志著俱樂(lè)部走向國(guó)際舞臺(tái)，它將給數(shù)獨(dú)愛好者帶來(lái)更多與世界數(shù)獨(dú)愛好者們交流的機(jī)會(huì)。七、解題技巧：數(shù)獨(dú)游戲中最常規(guī)的辦法就是利用每一個(gè)空格所在的三個(gè)單元中已經(jīng)出現(xiàn)的數(shù)字（大小數(shù)獨(dú)一個(gè)空格只位于兩個(gè)單元之內(nèi)，但是同時(shí)多了一個(gè)大小關(guān)系作為限制條件）來(lái)縮小可選數(shù)字的范圍。總結(jié)4個(gè)小技巧：1、 巧選

8、突破口：數(shù)獨(dú)中未知的空格數(shù)目很多，如何尋找突破口呢？首先我們要通過(guò)規(guī)則的限制來(lái)分析每一個(gè)空格的可選數(shù)字的個(gè)數(shù)，然后選擇可選數(shù)字最少的方格開始，一般來(lái)說(shuō)，我們會(huì)選擇所在行、所在列和所在九宮格中已知數(shù)字比較多的方格開始，盡可能確定方格中的數(shù)字；而大小數(shù)獨(dú)中已知的數(shù)字往往非常少，這個(gè)時(shí)候大小關(guān)系更加重要，我們除了利用已知數(shù)字之外更加需要考慮大小關(guān)系的限制。2、 相對(duì)不確定法：有的時(shí)候我們不能確定2個(gè)方格中的數(shù)字，卻可以確定同一單元其他方格中肯定不會(huì)出現(xiàn)什么數(shù)字，這個(gè)就是我們說(shuō)的相對(duì)不確定法。舉例說(shuō)明，A1可以填入1或者2，A2也可以填入1或者2，那么我們可以確定，1和2必定出現(xiàn)在A1和A2兩者之中，

9、A行其他位置不可能出現(xiàn)1或者2.3、 相對(duì)排除法：某一單元中出現(xiàn)好幾個(gè)空格無(wú)法確定，但是我們可以通過(guò)比較這幾個(gè)空格的可選數(shù)字進(jìn)行對(duì)比分析來(lái)確定它們中的某一個(gè)或者幾個(gè)空格。舉例說(shuō)明，A行中已經(jīng)確定5個(gè)數(shù)字，還有4個(gè)數(shù)字（我們假設(shè)是1、2、3、4）沒(méi)有填入，通過(guò)這4個(gè)空格所在的其他單元我們知道A1可以填入1、2、3、4，A2可以填入1、3，A3可以填入1、2、3，A4可以填入1、3，這個(gè)時(shí)候我們可以分析，數(shù)字4只能填入A1中，所以A1可以確定填入4，我們就可以不用考慮A1，這樣就可以發(fā)現(xiàn)2只能填入A3中，所以A3也能確定，A2和A4可以通過(guò)其他辦法進(jìn)行確定。4、 假設(shè)法：如果找不到能夠確定的空格，

10、我們不妨進(jìn)行假設(shè)，當(dāng)然，假設(shè)也是原則的，我們不能進(jìn)行無(wú)意義的假設(shè)，假設(shè)的原則是：如果通過(guò)假設(shè)一個(gè)空格的數(shù)字，可以確定和這個(gè)空格處在同一個(gè)單元內(nèi)的其它某一個(gè)或者某幾個(gè)空格的數(shù)字，那么我們就以選擇這樣的空格來(lái)假設(shè)為佳。舉例說(shuō)明，B3可以填入1或者2，A3可以填入2或者3，B4可以填入1或者2，這個(gè)時(shí)候我們就應(yīng)該假設(shè)B3填入2，這樣就可以確定A3填入3，B4填入1，然后以這個(gè)為基礎(chǔ)進(jìn)行推理。例題練習(xí)一、輻射型數(shù)陣圖【例 1】 把1991，1992，1993，1994，1995分別填入圖2的5個(gè)方格中，使得橫排的三個(gè)方格中的數(shù)的和等于豎列的三個(gè)方格中的數(shù)的和。則中間方格中能填的數(shù)是_?！纠?2】 請(qǐng)你

11、把17這七個(gè)自然數(shù)，分別填在下圖（1）的圓圈內(nèi)，使每條直線上的三個(gè)數(shù)的和都相等.應(yīng)怎樣填？【例 3】 將 111 十一個(gè)數(shù)字，填入下圖各中，使每條線段上的數(shù)字和相等。二、封閉型數(shù)陣【例 4】 把2、3、4、5、6、7六個(gè)數(shù)字，分別填入中，使三角形各邊上的數(shù)字和都是12。【例 5】 把19九個(gè)數(shù)字，分別填入下圖中，使每邊上四個(gè)數(shù)的和都是21。三、復(fù)合型數(shù)陣圖【例 6】 右邊的一排方格中，除、外，每個(gè)方格中的字都表示一個(gè)數(shù)(不同的字可以表示相同的數(shù))，已知其中任何個(gè)連續(xù)方格中的數(shù)相加起來(lái)都為，則“走”+“進(jìn)”+“數(shù)”+“學(xué)”+“花”+“園”= 【例 7】 如圖所示，圓圈中分別填人0到9這10個(gè)數(shù)，

12、且每個(gè)正方形頂點(diǎn)上的四個(gè)數(shù)之和都是18，則中間兩個(gè)數(shù)A與B的和是_?！纠?8】 把18的數(shù)填到下圖中，使每個(gè)四邊形中頂點(diǎn)的數(shù)字和相等。四、數(shù)陣圖與數(shù)論【例 9】 把09這十個(gè)數(shù)字填到右圖的圓圈內(nèi)，使得五條線上的數(shù)字和構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，而且這個(gè)等差數(shù)列的各項(xiàng)之和為55，那么這個(gè)等差數(shù)列的公差有種可能的取值五、數(shù)獨(dú)【例 10】 在下圖中的每個(gè)填入一位適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使每一行、每一列、每一宮中包含數(shù)字1到4，并且每個(gè)數(shù)字只出現(xiàn)一次。六、幻方【例 11】 的正方形中，在每個(gè)格子里分別填入的個(gè)數(shù)字，要求每行每列及對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)的和相等（請(qǐng)給出至少一種填法）【例 12】 在圖的九個(gè)方格里，每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)的和