第五節(jié)平面及其方程

1、第五節(jié)一、平面的點法式方程平面的點法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 平面及其方程 第七七章 zyxo0mn一、平面的點法式方程一、平面的點法式方程),(0000zyxm設一平面通過已知點且垂直于非零向0)()()(000zzcyybxxam稱式為平面的點法式方程點法式方程,求該平面的方程.,),(zyxm任取點),(000zzyyxx法向量.量, ),(cban nmm000nmmmm0則有 故的為平面稱n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 kji例例1.1.求過三點,1m又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(

2、14zyx015914zyx即1m2m3m解解: 取該平面 的法向量為),2,3, 1(),4, 1,2(21mm)3,2,0(3m的平面 的方程. 利用點法式得平面 的方程346231nn3121mmmm機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 此平面的三點式方程三點式方程也可寫成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情況一般情況 : 過三點)3,2, 1(),(kzyxmkkkk的平面方程為說明說明:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 特別特別, ,當平面與三坐標軸的交點分別為此式稱為平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(,

3、 )0 , 0(, )0 , 0 ,(crbqap1czbyax時,)0,(cbabcax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程為 pozyxrq分析:利用三點式 按第一行展開得 即0ax yzab0a0c機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、平面的一般方程二、平面的一般方程設有三元一次方程 以上兩式相減 , 得平面的點法式方程此方程稱為平面的一般平面的一般0dzcybxa任取一組滿足上述方程的數(shù),000zyx則0)()()(000zzcyybxxa0000dzcybxa顯然方程與此點法式方程等價, )0(222cba),(cban 的平面, 因此方程的圖形是法向量為 方程

4、方程.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 特殊情形特殊情形 當 d = 0 時, a x + b y + c z = 0 表示 通過原點通過原點的平面; 當 a = 0 時, b y + c z + d = 0 的法向量平面平行于 x 軸; a x+c z+d = 0 表示 a x+b y+d = 0 表示 c z + d = 0 表示 a x + d =0 表示 b y + d =0 表示0dczbyax)0(222cba平行于 y 軸的平面;平行于 z 軸的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,), 0(icbn機動 目錄 上頁 下頁

5、返回 結束 例例2. 求通過 x 軸和點( 4, 3, 1) 的平面方程.例例3. .用平面的一般式方程導出平面的截距式方程.解解: 因平面通過 x 軸 ,0 da故設所求平面方程為0zcyb代入已知點) 1,3,4(得bc3化簡,得所求平面方程03 zy(p327 例4 , 自己練習) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角設平面1的法向量為 平面2的法向量為則兩平面夾角 的余弦為 cos即212121ccbbaa222222cba212121cba兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.122n1n),(1111cban ),(2222cban 212

6、1cosnnnn 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2特別有下列結論：特別有下列結論：21) 1 (0212121ccbbaa21/)2(212121ccbbaa),(:),(:2222211111cbancban1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 因此有例例4. 一平面通過兩點垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: 設所求平面的法向量為,020cba即ca2的法向量,0cbaccab)()0(0) 1() 1() 1(2czcycxc約去c , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0)

7、1() 1() 1(zcybxa)1, 1, 1(1m, )1, 1,0(2m和則所求平面故, ),(cban方程為 n21mmn且機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 外一點,求),(0000zyxp0dzcybxa例例5. 設222101010)()()(cbazzcyybxxa222000cbadzcybxad0111dzcybxa解解: :設平面法向量為),(1111zyxp在平面上取一點是平面到平面的距離d .0p,則p0 到平面的距離為01prjppdnnnpp010p1pnd, ),(cban (點到平面的距離公式)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xyzo0m例例6.解解: 設

8、球心為求內切于平面 x + y + z = 1 與三個坐標面所構成則它位于第一卦限,且2220001111zyx00331xx , 1000zyxrzyx000因此所求球面方程為000zyx633331, ),(0000zyxm四面體的球面方程.從而)(半徑r2222)633()633(633)633(zyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結1.平面平面基本方程:一般式點法式截距式0dczbyax)0(222cba1czbyax三點式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzcyybxxa)0(abc機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 0212121ccbbaa212121ccbbaa2.平面與平面之間的關系平面平面垂直:平行:夾角公式:2121cosnnnn 021nn021 nn, 0:22222dzcybxa),(2222cban , 0:11111dzcybxa機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ),(1111cban 思考與練習思考與練習p330 題4 , 5, 8第六節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 作業(yè)作業(yè)p330 2 , 6 , 7 , 9)5,15,10(0) 1(5) 1(15) 1(10zyx