高一數(shù)學(xué)必修2教案：2.2.2直線與圓的位置關(guān)系

1、§直線與圓的位置關(guān)系教學(xué)目標：1依據(jù)直線和圓的方程，能熟練求出它們的交點坐標2能通過比較圓心到直線的距離和半徑之間的大小關(guān)系判斷直線和圓的位置關(guān)系3理解直線和圓的三種位置關(guān)系與相應(yīng)的直線和圓的方程所組成的二元二次方程組的解的對應(yīng)關(guān)系4會初步處理直線與圓相交時所得的弦長有關(guān)的問題，滲透方程思想，鞏固基本量的求法教學(xué)重點：依據(jù)直線和圓的方程，求它們的交點坐標，理解直線和圓的三種位置關(guān)系與相應(yīng)的直線和圓的方程所組成的二元二次方程組的解的對應(yīng)關(guān)系教學(xué)難點：直線與圓相交時所得的弦長有關(guān)的問題教學(xué)過程：1問題情境(1) 情境：圓心到直線的距離決定直線與圓的位置關(guān)系，那么已知圓( x1)2( y2

2、)24 和直線l1 : x 4 ， l 2 : y 0 ， l3 : x y 1 0 (2) 問題：判斷該圓與三條直線的位置關(guān)系2直線 l 與圓 C 的方程分別為： Ax By C 0, x2y2DxEyF0如果直線 l 與圓 C 有公共點，由于公共點同時在 l 和 C 上，所以公共點的坐標一定是這兩個方程的公共解；反之，如果這兩個方程有公共解，那么以公共解為坐標的點必是 l 與 C 的公共點由 l 與 C 的方程聯(lián)立方程組AxByC0,我們有如下結(jié)論：x2y2DxEyF 0,位置關(guān)系：相離相切相交d rd rdr方程組無解方程組僅有一組解方程組有兩組不同的解rdd=rrd3例題講解例 1求直

3、線 4x3y40 和圓 x2y2100的公共點坐標，并判斷它們的位置關(guān)系解： 直線4x 3y和圓 224x3y40的解40xy的公共點坐標就是方程組100x2y2100x214(10,0),( 14 , 48) 解這個方程組，得x110 ，5所以公共點坐標為y10y248555所以，直線 4x 3y40 和圓 x2y2100 有兩個公共點，即直線和圓相交例 2自點 A(1,4) 作圓(x2)2( y3)21的切線,l求切線 l 的方程解法 1：當直線 l 垂直于 x 軸時，直線 l: x1與圓相離，不滿足條件，當直線 l不垂直于 x 軸時，可設(shè)直線 l 的方程為yy 4 k( x 1), 即

4、kx y ( k4) 0，如圖，因為直線與圓相切，A(-1,4)所以圓心(2,3)到直線 l 的距離等于圓的半徑，2k3( k4)1 解得 k0 或 k3故k214Ox因此，所求直線l 的方程是 y4或 3x4y13 0解法 2：當直線 l 垂直于 x 軸時，直線 l: x1與圓相離，不滿足條件當直線 l 不垂直于 x 軸時，可設(shè)直線 l 的方程為 y 4k( x1), 由于直線 l 與圓相切，所以方程組y4k (x 1)僅有一組解( x2) 2( y3)21由方程組消去y ，得關(guān)于 x 的一元二次方程 (1k 2 ) x2(2k 22k 4) xk 22k4 0 ，因為一元二次方程有兩個相等

5、實根，所以判別式(2k 22k 4) 24(1k 2 )( k 22k4)0 ，解得 k 0或 k3，l 的方程是 y4或 3x4y 13 0 4因此，所求直線結(jié)論：相離0 ；相切0 ；相離0 變式： (1) 當點A 的坐標為 (2, 2) 時，切線 l 的方程(2) 當點 A 的坐標為 (1,1)，切線 l 的方程解： (1)由題意得： A (2, 2) 在圓 ( x 2)2( y 3)21上所以直線 AO 的方程為 x 2 ，因為 AO 與切線 l 垂直，所以切線l 的方程為 y 2說明：求圓的切線方程首先應(yīng)判斷點是否在圓上(2) 由題意：當直線 l 垂直于 x 軸時，直線 l : x 1

6、與圓相切，滿足條件當 直 線 l 不 垂 直 于 x 軸 時 ， 可 設(shè) 直 線 l 的 方 程 為 y 1k( x 1) ， 即 k xy (1k) 0，kxy(1 k)0(k21)x22(k22k2)x(k24k7)0，( x2) 2( y3)214(k22k2)24( k21)(k 24k7)0k33，經(jīng)檢驗 k3 3練習：已知圓 C : x2y2444，直線 l : xyb ，(1) b 為何值時 l 與圓 C 相切，并求出切點坐標；(2) b 為何值時 l 與圓 C 相交，并求出弦長解答見蘇大教學(xué)與測試P105 例 1例 3求直線 x3y23 0 被圓 x2y24 截得的弦長解法 1

7、： x3y230 ，解得x13x20y2，2y1y22xy41即公共點坐標為(3,1),(0,2) ，BMAOx則弦長為(30) 2(12)22 解法2：如圖，設(shè)直線x3y2 30 與圓 x2y24交于 A, B 兩點，弦 AB 的中點為 M ，則 OMAB ( O 為坐標原點 )，所以 OM0023123,(3) 2所以 AB2 AM2OA2OM 22 22(3) 22 例4已知圓 C ：2(y2，直線 l ： (2m 1)x (m 1)y 7m 4 0 (mR) ，(x 1)2)25(1) 證明：不論 m 取什么實數(shù)，直線 l 與圓恒交于兩點；(2) 求直線被圓 C 截得的弦長最小時 l

8、的方程分析：若直線和圓相交，則圓心到直線的距離小于半徑；若直線過圓內(nèi)一點，則直線和圓相交，涉及相交弦問題，要注意運用弦長，半徑及弦心距三者之間的關(guān)系解： (1)由題意直線方程可變形為(2 xy7)m( xy4)0mR,2 xy70x3A(3,1) ，xy40，直線 l 必過定點y1又(3 1)2(12) 2525，點 (3,1) 在圓 C 內(nèi)，故 l 必與圓 C 相交(2) 要使弦長最小時，必須 l AC ,圓心 C (1,2) 和定點A(3,1)所在的直線 l1 的斜率 k11 ， l 的斜率 k2 ，2所以，直線 l 的方程為 2xy50 例 5已知圓 C : x2y22x4 y4 0 ，是否存在斜率為 1的直線 l ，使以 l 被圓 C 截得的弦 AB 為直徑經(jīng)過原點？若存在， 求出 l 的方程；若不存在，說明理由解答見蘇大教學(xué)與