數(shù)列極限存在的條件64282

1、 在研究比較復(fù)雜的數(shù)列極限問題時在研究比較復(fù)雜的數(shù)列極限問題時, ,通常先考察該通常先考察該數(shù)列是否有極限數(shù)列是否有極限( (極限的存在性問題極限的存在性問題););若有極限若有極限, ,再考再考慮如何計算此極限慮如何計算此極限( (極限值的計算問題極限值的計算問題).).這是極限理論這是極限理論的兩個基本問題的兩個基本問題. .在實際應(yīng)用中在實際應(yīng)用中, ,解決了數(shù)列解決了數(shù)列an存在性存在性問題之后問題之后, ,即使極限值的計算較為復(fù)雜即使極限值的計算較為復(fù)雜, ,但由于當(dāng)?shù)捎诋?dāng)n充分充分大時大時, ,an能充分接近其極限能充分接近其極限a, ,故可用故可用an作為作為a的近似值的近似值

2、. .本節(jié)將重點討論極限的存在性問題本節(jié)將重點討論極限的存在性問題. . 為了確定某個數(shù)列是否有極限，當(dāng)然不可能將每一為了確定某個數(shù)列是否有極限，當(dāng)然不可能將每一個實數(shù)依定義一一加以驗證，根本的辦法是直接從數(shù)列個實數(shù)依定義一一加以驗證，根本的辦法是直接從數(shù)列本身的特征來作出判斷。本身的特征來作出判斷。數(shù)列極限存在的條件注: 如果xnxn+1 nn+ 就稱數(shù)列xn是單調(diào)增加的 如果xnxn+1 nn+ 就稱數(shù)列xn是單調(diào)減少的 單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列 v定理1(單調(diào)有界定理) 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 提問: 收斂的數(shù)列是否一定有界？ 有界的數(shù)列是否一定收斂？mv定理1(單調(diào)有界定理)

3、 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 定理1的幾何解釋x1 x5 x4 x3 x2 xn a 以單調(diào)增加數(shù)列為例 數(shù)列的點只可能向右一個方向移動 或者無限向右移動 或者無限趨近于某一定點a 而對有界數(shù)列只可能后者情況發(fā)生 數(shù)列極限存在的條件數(shù)列極限存在的條件v定理1(單調(diào)有界定理) 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 .為有上界的遞增數(shù)列不妨設(shè)na ,sup.nnaaa由確界原理 數(shù)列有上確界 記 .的極限就是下證naa證明 .,nnnaaanna時有當(dāng)?shù)倪f增性又由 .,+aaaaaannn都有故的一個上界是而.+aaannn時有所以當(dāng).limaann即.數(shù)列必有極限同理可證有下界的遞減 ., 0nnnaaaa，$使得按

4、上確界定義事實上1111,1,2,23nnanna +例1 設(shè) 其中實數(shù)2.證明數(shù)列收斂.證nnaa顯然數(shù)列是遞增的,下證有界.事實上,11111111231 22 3(1)nann n + +111111 (1)()()2231nn +122,1,2,nn,na于是由單調(diào)有界數(shù)列定理收斂.,22,222 ,.+例2 證明數(shù)列 2收斂 并求其極限證222 ,na +記.na易見數(shù)列是遞增的.na現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法來證有上界12,a 顯然22,na 假設(shè)12nnaa+則有222,+,2,nna 從而對一切有.na即有上界,na由單調(diào)有界定理 數(shù)列有極限, a記為 由于212,nnaa+22,aa+兩

5、邊取極限得12aa 即有或,1,a 由數(shù)列極限的保不等式性是不可能的:故有l(wèi)im2222n+例例3 3證證,1nnxx + +顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假定假定kkxx+ + + +3133+ + , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx+ + + +,321nnxx+ + + +),3(limlim21nnnnxx+ + + + ,32aa+ + 2131,2131 + + aa解得解得(舍去舍去).2131lim+ + nnx.)(333的極限存在的極限存在式式重根重根證明數(shù)列證明數(shù)列nxn+ + + + l4例sup

6、,lim.nnnssasxsxa設(shè) 為有界數(shù)集.證明:若則存在嚴(yán)格遞增數(shù)列使得證,as因 是 的上確界0,xs$ 故對任給的使得.xa,asxa因故從而有axa11,現(xiàn)取111,.xsaxa則存在使得211min ,0,2ax再取2,xs則存在使得22axa2211().xaaaxx且有1,nxs一般地 按上述步驟得到之后11min ,nnaxn取,nnnxsaxa則存在使得11().nnnnxaaaxx且有,nxs上述過程無限地進(jìn)行下去 得到數(shù)列它是嚴(yán)格遞增數(shù)列 且滿足nnnaxaa+1,1,2,.nnxannlim.nnxa這就證明了例5 證明 nnn)11 (lim+ 存在。 先看一下數(shù)

7、列的變化的圖像, 該數(shù)列單調(diào)有界(小于所以極限存在，且由圖象看出：隨著n 的增大, nnna)11 ( + 逐漸接近一個718.2的無理數(shù)e.3）0510152025303540455022.12.22.32.42.52.62.72.8證證 先先證證明：明： 對對 ba 0和正整數(shù)和正整數(shù)n，有不等式，有不等式 .) 1(11nnnbnabab+ + + + +事事 實實上，上， + + + + + + + +aba )baabbabababnnnnnn1111)(ll nnnnabaabb+ + + + + 11ll +在此不等式中在此不等式中, , 取取則則 有有 ,0ba 就有就有 11

8、1,1,1abnn + +11(1)(1) 111nanbnnnn+1取取 又有又有 11,1,2abn +11(1)(1)1,22nanbnnn+111122nn+故有2114.2nn+n對一切正整數(shù) 都成立.11111.1nnnn+故有11.nn+114.nnn+即對一切偶數(shù) 有,聯(lián)系到該數(shù)列的單調(diào)性114nnn+可知對一切正整數(shù) 都有11.nn+即數(shù)列有上界11nn+由單調(diào)有界定理可知數(shù)列是收斂的.,e常用拉丁字母 代表該數(shù)列的極限 即1lim 1,nnen+,2.718281828459.ee 是一個無理數(shù)例5 任何數(shù)列都存在單調(diào)子列 定理2.10（致密性定理）任何有界數(shù)列必有收斂的子

9、列證明 設(shè)數(shù)列 有界， 由例5可知： 存在單調(diào)且有界的子列 再由單調(diào)有界定理，證得此子列是收斂的。 nanakna數(shù)列極限存在的條件v定理2(柯西收斂準(zhǔn)則) 定理2的幾何解釋 柯西準(zhǔn)則說明收斂數(shù)列各項的值越到后邊,彼此越是接近,以至充分后面的任何兩項之差的絕對值可小于預(yù)先給定的任意小正數(shù).或形象地說,收斂數(shù)列的各項越到后面越是擠在一起. . , , 0 , 0 : $ m n n a a n m n n a 時有 當(dāng) 收斂的充要條件是收斂的充要條件是 數(shù)列數(shù)列 x1 x2 x3 x4 x5 cauchy收收斂斂準(zhǔn)準(zhǔn)則則： thth 2 2 .10.10 數(shù)列數(shù)列na 收收斂斂，. , , ,

10、, 0 $ $ nmaannmn ( ( 或數(shù)列或數(shù)列na收收斂斂， . ,p , , , 0 $ $ + +npnaannnn ) ) 說明說明:(1)auchy收斂準(zhǔn)則從理論上完全解決了數(shù)列極限的存在性問題。收斂準(zhǔn)則從理論上完全解決了數(shù)列極限的存在性問題。(2) auchy收斂準(zhǔn)則的條件稱為收斂準(zhǔn)則的條件稱為auchy條件，它反映這樣的事實：條件，它反映這樣的事實：收斂數(shù)列各項的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的收斂數(shù)列各項的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何兩項之差的絕對值可以小于預(yù)先給定的任意小正數(shù)?；蛘呷魏蝺身椫畹慕^對值可以小于預(yù)先給定的任意小正數(shù)?；蛘咝蜗蟮卣f，收

11、斂數(shù)列的各項越到后面越是形象地說，收斂數(shù)列的各項越到后面越是“擠擠”在一起。在一起。(3)auchy準(zhǔn)則把準(zhǔn)則把 n定義中定義中na與與a的之差換成的之差換成na與與ma之差。之差。 其好處在于無需借助數(shù)列以外的數(shù)其好處在于無需借助數(shù)列以外的數(shù)a，只要根據(jù)數(shù)列本身的特征，只要根據(jù)數(shù)列本身的特征就可以鑒別其（收）斂（發(fā)）散性。就可以鑒別其（收）斂（發(fā)）散性。證證 例例4 4 證證明明：任一無限十任一無限十進(jìn)進(jìn)小數(shù)小數(shù) ) 10( . 021 nbbb的不足近似的不足近似值值所所組組成的數(shù)列成的數(shù)列 ,101010 , ,1010 ,102212211nnbbbbbb+ + + + + 收收斂斂.

12、 . 其中其中) 9 , 2 , 1 ( ibi是是 9 , 1 , 0 中的數(shù)中的數(shù) . . 122.101010nnnbbba +記,nm不妨設(shè)則有1212101010mmnnmmmnbbbaa+119111101010mn m+1111010mn m110m1.m10,nnmn 對取則對一切有.nmaa這就證明了該數(shù)列滿足柯西條件.證法一 （ riemann最先 給出這一證法 ） 設(shè) .11nnnx+應(yīng)用二 項式展 開，得 +nnxn11+321! 3) 2)(1(1! 2) 1(nnnnnnnnnnnn1!123) 1( +nnnnnnnn112111!12111! 3111! 211

13、1， ! 21111+nx+121111! 31111nnn+ + )!1(1+n;11111+nnn 注意到 ,11111+nn ,12121+nn 數(shù)列+nn11單調(diào)有界證法欣賞: cauchy (1789 1857 ) 最先給出這一極限， riemann （18261866）最先給出.11111 ,+nnnnl 且1+nx比nx 多一項)!1(1+n, 011111+nnnl , 1nnxx+ 即nx . nnnxn) 1(132121111!1! 31! 21110+ll nxnnn . 31111111312121111+l 有界.。綜上, 數(shù)列nx 單調(diào)有界. 證法二 ( 利用be

14、rnoulli不等式 ) 注意到bernoulli不等式 nxnxxn , 1( ,1)1 (+為正整數(shù) ), 有 +nnnnnnxx1111111nnnn+11111111nnnnnn+12211122 ,) 1(111112nnn+ 由 , 1) 1(12+n 利用bernoulli不等式,有 . 1133233) 1(1111232321+nnnnnnnnnxxnn nx . 為證nx 上方有界, 考慮數(shù)列 .111+nnny 可類證ny . 事實上, +1nnyy +2111111nnnn1111111111+nnnn12221221+nnnnnnn +nnnnnnnnnn211212

15、1121212 nynnnnnn , 1441442323+. 顯然有 , .nyxnn 有 . 41yyxnnl 即數(shù)列ny 有上界. 評註: 該證法的特點是驚而無險，恰到好處. 證法三 ( 利用均值不等式 ) 在均值不等式 ) 0( ,1121iniinnaanaaal 中, 令 , 1 ,111121+nnanaaal 就有 ,11111111) 1(1 111111nnnnnnnnxnnnnnnx+ , 1nnxx 即 nx . 令 , 1 ,111121nnanaaal 可仿上證得 3n 時 nn11。 ( 1n時無意義, 2n時諸ia =0, 不能用均值不等式. ) 當(dāng)2n時, 由 .11111 , 1