第十一章第1節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)

1、 第一節(jié)第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念2第十一章第十一章 無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù) 無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)研究性質(zhì)數(shù)值計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)付氏級(jí)數(shù):問題問題?,)(問此人能走多遠(yuǎn)問此人能走多遠(yuǎn)半半以后每天走前一天的一以后每天走前一天的一公里公里一個(gè)人第一天走了一個(gè)人第一天走了101?,)(問問此此人人能能走走多多遠(yuǎn)遠(yuǎn)公公里里走走了了天天第第公公里里第第二二天天走走了了公公里里一一個(gè)個(gè)人人第第一一天天走走了了nn121123第一節(jié)第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)一一. 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念引例引例. 用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正)

2、,2, 1,0(23nn邊形, 時(shí), 這個(gè)和逼近于圓的面積 a.0a1a2ana它們的面積可表示為n即naaaaa21041.定義定義： 給定一個(gè)數(shù)列,321nuuuu將各項(xiàng)依次相加，簡記為,1nnu即1nnunuuuu321稱上式為無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)，其中第 n 項(xiàng)nu叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)一般項(xiàng),2.級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)和nkknus1稱為級(jí)數(shù)的部分和部分和 .如果ssnnlim存在 ,1nnu記作,1nnus否則稱為發(fā)散發(fā)散 .收斂收斂 ,并稱 s 為級(jí)數(shù)的和和,則稱無窮級(jí)數(shù)nuuuu321,1s,2sns.稱為部分和數(shù)列稱為部分和數(shù)列5例如例如,122121211n數(shù)列數(shù)列可可組組成成一一無無窮窮

3、級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)1121nn121nnu通項(xiàng)通項(xiàng)niins11211212211211nn2nnslim收斂收斂1121nn22111nn且且6例例1. 討論等比級(jí)數(shù) (又稱幾何級(jí)數(shù)又稱幾何級(jí)數(shù))0(20aqaqaqaaqannn( q 稱為公比 ) 的斂散性. 解解: 1) 若,1q12nnqaqaqaasqqaan1當(dāng)1q時(shí),0limnnq從而qasnn1lim因此級(jí)數(shù)收斂 ,;1qa當(dāng)1q時(shí),limnnq從而,limnns因此則部分和級(jí)數(shù)發(fā)散 .由于其和為由于72). 若,1q當(dāng)1qansn因此級(jí)數(shù)發(fā)散 ;當(dāng)1q時(shí),aaaaan 1) 1(因此nsn 為奇數(shù)n 為偶數(shù)從而nnslim)0(20a

4、qaqaqaaqannn綜合 1)、2)可知,1q時(shí), 等比級(jí)數(shù)收斂 ;1q時(shí), 等比級(jí)數(shù)發(fā)散 .則時(shí),級(jí)數(shù)成為,a,0不存在 , 因此級(jí)數(shù)發(fā)散.8例例2. 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性. .) 1(1)2( ;1ln) 1 (11nnnnnn解解: (1) 12lnnsnnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln) 1ln( n）n(所以級(jí)數(shù) (1) 發(fā)散 ;技巧技巧:利用 “拆項(xiàng)相消拆項(xiàng)相消” 求和23ln34lnnn1ln9例例2. 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性. .) 1(1)2( ;1ln) 1 (11nnnnnn(2) ) 1(1431321211nnsn211111n）n(1所以級(jí)數(shù)

5、(2) 收斂, 其和為 1 .31214131111nn技巧技巧:利用 “拆項(xiàng)相消拆項(xiàng)相消” 求和10例例 3 3 判判別別無無窮窮級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) )12()12(1531311nn 的的收收斂斂性性. . 解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn11)1211(21limlim nsnnn),1211(21 n,21 .21, 和為和為級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂124例例.,)(,121也收斂證明級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂設(shè)數(shù)列nnnnnnaaanna:證明證明,limanann記,)(21saannn

6、n121)(nkkkaak)(1)( 3)(212312nnaanaaaa）（1111nnkkanaa）（13121111)(1nkkknnkkaakanaa）（121111)(lim1limlimnkkknnnnkknaakanaa）（即saa1.收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)1nna145例例證明調(diào)和級(jí)數(shù)證明調(diào)和級(jí)數(shù).發(fā)散發(fā)散nnn13121111:證明證明,積積由到所圍曲邊梯形的面由到所圍曲邊梯形的面考慮曲線考慮曲線xy11a2ana由圖知由圖知nsn1211naaa21dxxn111)ln(n1.級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散15二二. 無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1. 若級(jí)數(shù)1nnu收斂于 s

7、,1nnus則各項(xiàng)乘以常數(shù) c 所得級(jí)數(shù)1nnuc也收斂 , 其和為 c s .證證：令,1nkknus則nkknuc1,nscnnlimsc這說明1nnuc收斂，其和為 c s . nnsclim說明說明：級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)非零常數(shù)后其斂散性不變 .即16性質(zhì)性質(zhì)2. 設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù),1nnus1nnv則級(jí)數(shù))(1nnnvu 也收斂, 其和為.s證證: 令,1nkknus,1nkknv則)(1knkknvu nns)(ns這說明級(jí)數(shù))(1nnnvu 也收斂, 其和為.s收斂收斂例如例如13121nnn)(17性質(zhì)性質(zhì)2. 設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)說明說明:(2) 若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散,則)

8、(1nnnvu 必發(fā)散. 但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散 , 則)(1nnnvu 不一定發(fā)散.例如 ,) 1(2nnu,) 1(12 nnv0nnvu,1nnus1nnv則級(jí)數(shù))(1nnnvu 也收斂, 其和為.s(1) 性質(zhì) 2 表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或減 .用反證法可證18性質(zhì)性質(zhì)3. 在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng)有限項(xiàng), 不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性.證證: 將級(jí)數(shù)1nnu的前 k 項(xiàng)去掉,1nnku的部分和為nllknu1knkss由于nnks時(shí)n斂散性相同. 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 其和的關(guān)系為.kss 類似可證前面加上有限項(xiàng)的情況 .與 極限狀況相同, 故新舊兩級(jí)數(shù)所得新級(jí)數(shù)19性質(zhì)性質(zhì)4. 收斂級(jí)數(shù)加括弧加括弧

9、后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和 .證證: 設(shè)收斂級(jí)數(shù)1nnus若它按某一規(guī)律加括弧 , 例如設(shè)為 54321uuuuu顯然, 新級(jí)數(shù)的部分和序列 ),2,1(mm為原級(jí)數(shù)部分和序列 ),2,1(nsn的一個(gè)子序列.nnmms limlims推論推論: 若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.注意注意:原級(jí)數(shù)發(fā)散,則加括號(hào)后不一定發(fā)散,)()(01111但但級(jí)數(shù)1111卻發(fā)散 .因此必有例如用反證法可證用反證法可證20三三. 級(jí)數(shù)收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件設(shè)收斂級(jí)數(shù),1nnus則必有0limnnu證證: 1nnnssu1limlimlimnnnnnnssu0ss由此可知: 若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不

10、趨于若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0, 則級(jí)數(shù)必發(fā)散則級(jí)數(shù)必發(fā)散 .例如,級(jí)數(shù)1) 1(544332211nnn其一般項(xiàng)為 ,1) 1(1nnunn當(dāng)n不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.時(shí)nu21注意：注意：0limnnu并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件 .例如，調(diào)和級(jí)數(shù)nnn13121111雖然，01limlimnunnn但此級(jí)數(shù)發(fā)散 .22例例3. 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性, 若收斂求其和:;!) 1 (1nnnnne解解: (1) 令;231)2(123nnnn.212)3(1nnn,!nnnnneu 則nnuu1nne)1 (1),2, 1(1n故euuunn11從而,0limnnu這說明級(jí)數(shù)1!nnnnne發(fā)散

11、.111)1 ()1 (nnnne11) 1(! ) 1(nnnnennnne!23123231)2(nnnn因nnn23123)2)(1()2(21nnnnn)2)(1(1) 1(121nnnn),2, 1(nnknkkks123231nkkkkk1)2)(1(1) 1(121進(jìn)行拆項(xiàng)相消進(jìn)行拆項(xiàng)相消,41limnns這說明原級(jí)數(shù)收斂 ,.41)2)(1(1nnn其和為)2)(1(121121nn24.212)3(1nnn級(jí)數(shù)的部分和為32252321ns,212nn 則nnss211432212252321nn2121221132121n1212nn21211211211n1212nn121121n1212nn,2122132nnnnsnn21225232132這說明原級(jí)數(shù)收斂 , 其和為 3 .,3