數(shù)軸上的行程問題及其新的解法

1、數(shù)軸上的行程問題及其新的解法 指導(dǎo)老師；伍興友 將傳統(tǒng)的行程問題和數(shù)軸有機(jī)的結(jié)合，既體現(xiàn)了傳統(tǒng)行程問題的特點(diǎn)，又增加了數(shù)軸性質(zhì)在解題中的綜合運(yùn)用，賦予題目更多的靈性和想象空間。我們通過探索和研究得出了數(shù)軸上行程問題一些新的解法和思維方式，現(xiàn)表述如下；數(shù)軸上的行程問題離不開數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離。對于我們初一年級(jí)學(xué)生來說，要先明確以下幾個(gè)問題：1 如何用數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)表示兩點(diǎn)間的距離，數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)總有一個(gè)在左，一個(gè)在右，用右邊的點(diǎn)的坐標(biāo)減去左邊點(diǎn)的坐標(biāo)就可以表示這兩點(diǎn)間的距離了。也可以用左邊的點(diǎn)的坐標(biāo)減去右邊的點(diǎn)的坐標(biāo)的絕對值來表示。2 如何表示數(shù)軸上的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)一段距離后坐標(biāo)。由于數(shù)軸向右的方

2、向?yàn)檎较?，因此向右運(yùn)動(dòng)b個(gè)單位看作+b，而向左運(yùn)動(dòng)b個(gè)單位看著-b。這樣在起點(diǎn)坐標(biāo)的基礎(chǔ)上加上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程就可以直接得到運(yùn)動(dòng)后點(diǎn)的坐標(biāo)。如一個(gè)起始點(diǎn)的坐標(biāo)為a，向左運(yùn)動(dòng)b個(gè)單位后表示的數(shù)為ab；向右運(yùn)動(dòng)b個(gè)單位后所表示的數(shù)為a+b。3 數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，分析數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)形成的路徑可看作數(shù)軸上線段的和差關(guān)系。 數(shù)軸上的相遇問題；例1已知數(shù)軸上有A、B、兩點(diǎn)，分別代表24，10，它們同時(shí)相向而行，A每秒向右運(yùn)動(dòng)3個(gè)單位，B每秒向左運(yùn)動(dòng)2個(gè)單位。問多少秒后A與B相遇？相遇時(shí)的坐標(biāo)位置是多少？按傳統(tǒng)習(xí)慣解法是； 解； 設(shè)x秒后A與B相遇，依題意可列方程得； 3

3、x+2x=10-(-24) 解得；x=6.8秒 由A向右運(yùn)動(dòng)了6.8x3=20.4個(gè)單位，可推出A與B相遇在-3.6的位置。按新的解法； 其解題思路是；若A與B相遇，那么A與B的坐標(biāo)就相同?？梢砸来肆蟹匠?。其解題過程如下；解；設(shè)x秒后A與B相遇，相遇時(shí)A運(yùn)動(dòng)了3x個(gè)單位，可知A點(diǎn)到達(dá)的坐標(biāo)位置是(-24+3x)。 相遇時(shí)B運(yùn)動(dòng)了2x個(gè)單位，可知B點(diǎn)到達(dá)的坐標(biāo)位置是(10-2x)。依據(jù)A與B相遇是的坐標(biāo)相同的原理列方程如下； -24+3x=10-2x 解得；x=6.8秒 再把x=6.8代入方程的左邊或者右邊，都可以得出相遇時(shí)的坐標(biāo)位置是-3.6。數(shù)軸上的追擊問題； 例題2；已知數(shù)軸上有C，兩點(diǎn)，

4、它們的坐標(biāo)分別是12和8. 它們同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)已每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)。D點(diǎn)則已每秒4個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)。問多少秒后在什么坐標(biāo)位置D點(diǎn)追上C點(diǎn)？按傳統(tǒng)解法是； 解；設(shè)x秒后D點(diǎn)追上點(diǎn)；根據(jù)D點(diǎn)運(yùn)行的路程=C點(diǎn)運(yùn)行的路程+D與C相距的路程?？闪蟹匠倘缦拢?4x=2x+(8+12) 解得；X=10秒。 再把X=10代入方程的左邊，可知D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了40個(gè)單位記著-40，由D點(diǎn)的起始坐標(biāo)是8，依據(jù)8+（-40）=-32.可以推出D點(diǎn)在-32的位置追上C點(diǎn)。按新的解法 ； 其解題思路是；D點(diǎn)追上C點(diǎn)時(shí)它們處在同一位置，而且坐標(biāo)相同，可以依據(jù)這一特點(diǎn)列出方程求解其解題過程如下；解；設(shè)x秒后D點(diǎn)追上C點(diǎn)，

5、則D點(diǎn)走的路程為4x. 由D點(diǎn)的起始坐標(biāo)8可以推出D點(diǎn)到達(dá)的位置坐標(biāo)是8-4x 則C點(diǎn)走的路程為2x, 由C點(diǎn)的起始坐標(biāo)-12可以推出點(diǎn)到達(dá)的位置坐標(biāo)是-12-2x依據(jù)D點(diǎn)追上C點(diǎn)時(shí)處在同一位置，坐標(biāo)相同的特點(diǎn)可列方程如下； 8-4x=-12-2x 解得；x=10秒 把x=10秒代入方程的左邊或者右邊便可以推出D的在坐標(biāo)為-32的地方追上C點(diǎn)。以上新的解題方法是傳統(tǒng)的行程問題解題中所不具有。它將行程問題和數(shù)軸有機(jī)地結(jié)合在一起，既體現(xiàn)了傳統(tǒng)行程問題的特點(diǎn)，又增加了數(shù)軸的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，賦予了題目新的靈性，給予學(xué)生更多的思考空間。例3如圖，已知A、B分別為數(shù)軸上兩點(diǎn)，A點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為20，B點(diǎn)對應(yīng)的

6、數(shù)為100。求AB中點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)；現(xiàn)有一只電子螞蟻P從B點(diǎn)出發(fā)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻Q恰好從A點(diǎn)出發(fā)，以4個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的C點(diǎn)相遇，求C點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)；若當(dāng)電子螞蟻P從B點(diǎn)出發(fā)時(shí)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻Q恰好從A點(diǎn)出發(fā)，以4個(gè)單位/秒的速度也向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的D點(diǎn)相遇，求D點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)。 分析：設(shè)AB中點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)為x，由BM=MA所以x（20）=100x，解得 x=40 即AB中點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)為40易知數(shù)軸上兩點(diǎn)AB距離，AB=140，設(shè)PQ相向而行t秒在C點(diǎn)相遇，依題意有，4t+6t=120，解

7、得t=12（或由P、Q運(yùn)動(dòng)到C所表示的數(shù)相同，得20+4t=1006t，t=12）相遇C點(diǎn)表示的數(shù)為：20+4t=28（或1006t=28）設(shè)運(yùn)動(dòng)y秒，P、Q在D點(diǎn)相遇，則此時(shí)P表示的數(shù)為1006y，Q表示的數(shù)為204y。P、Q為同向而行的追及問題。依題意有，6y4y=120，解得y=60（或由P、Q運(yùn)動(dòng)到C所表示的數(shù)相同，得204y=1006y，y=60）D點(diǎn)表示的數(shù)為：204y=260 （或1006y=260） 點(diǎn)評(píng)：熟悉數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離以及數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的表示方法是解決本題的關(guān)鍵。是一個(gè)相向而行的相遇問題；是一個(gè)同向而行的追及問題。在、中求出相遇或追及的時(shí)間是基礎(chǔ)。 例3已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A

8、、B對應(yīng)的數(shù)分別為1，3，點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，其對應(yīng)的數(shù)為x。若點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，求點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)；數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和為5？若存在，請求出x的值。若不存在，請說明理由？當(dāng)點(diǎn)P以每分鐘一個(gè)單位長度的速度從O點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A以每分鐘5個(gè)單位長度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B一每分鐘20個(gè)單位長度向左運(yùn)動(dòng)，問它們同時(shí)出發(fā)，幾分鐘后P點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等？ 分析：如圖，若點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，P為AB的中點(diǎn)，BP=PA。依題意，3x=x（1），解得x=1由AB=4，若存在點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和為5，P不可能在線段AB上，只能在A點(diǎn)左側(cè)，或B點(diǎn)右側(cè)。P在點(diǎn)A左側(cè)，P

9、A=1x，PB=3x依題意，（1x）+（3x）=5，解得 x=1.5P在點(diǎn)B右側(cè)，PA=x（1）=x+1，PB=x3依題意，（x+1）+（x3）=5，解得 x=3.5點(diǎn)P、點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)速度最快，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度最慢。故P點(diǎn)總位于A點(diǎn)右側(cè)，B可能追上并超過A。P到A、B的距離相等，應(yīng)分兩種情況討論。設(shè)運(yùn)動(dòng)t分鐘，此時(shí)P對應(yīng)的數(shù)為t，B對應(yīng)的數(shù)為320t，A對應(yīng)的數(shù)為15t。B未追上A時(shí)，PA=PA，則P為AB中點(diǎn)。B在P的右側(cè)，A在P的左側(cè)。PA=t（15t）=1+4t，PB=320t（t）=319t依題意有，1+4t=319t，解得 t=B追上A時(shí)，A、B重合，此時(shí)PA=P

10、B。A、B表示同一個(gè)數(shù)。依題意有，15t=320t，解得 t=即運(yùn)動(dòng)或分鐘時(shí)，P到A、B的距離相等。 點(diǎn)評(píng)：中先找出運(yùn)動(dòng)過程中P、A、B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)，再根據(jù)其位置關(guān)系確定兩點(diǎn)間距離的關(guān)系式，這樣就理順了整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程 練習(xí)題：1已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)對應(yīng)數(shù)分別為2，4，P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，對應(yīng)數(shù)為x。若P為線段AB的三等分點(diǎn)，求P點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)。數(shù)軸上是否存在P點(diǎn)，使P點(diǎn)到A、B距離和為10？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由。若點(diǎn)A、點(diǎn)B和P點(diǎn)（P點(diǎn)在原點(diǎn)）同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)。它們的速度分別為1、2、1個(gè)單位長度/分鐘，則第幾分鐘時(shí)P為AB的中點(diǎn)？（參考答案：0或2；4或6；2）2電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn)K0，第一步從K0向左跳一