非齊次線性微分方程通解的證明

1、精品資料歡迎下載非齊次線性微分方程通解的證明問(wèn)題重述如果 a1(t ), a2 (t),., an (t),f (t) 是區(qū)間 a tb 上的連續(xù)函數(shù)， x1 (t ), x2 (t ),., x n (t), 是區(qū)間 a t b 上齊次線性微分方程x( n)a1 (t )x(n-1 ）+.+ an (t)x=0 （5.21）的基本解組，那么，非齊次線性微分方程x( n)a1 (t )x(n-1 ）+.+ an (t )x= f (t ) (5.28)的滿足初值條件(t 0)0， (t 0) =0， .,(t 0) (n 1) =0, t 0 a, b的解由下面公式給出ntWk x 1( s)

2、, x 2( s),., xn (s)(t )= f ( s) dsx k (t )( s),., xn (s)k 1t0W x 1 (s), x 2（ 5.29）這 里 Wk x 1 (s), x 2 ( s),., x n ( s)是 x1 (s), x 2 ( s),., xn (s)的朗斯基行列式，Wk x 1( s), x 2 (s),., x n ( s)是在 W x 1 ( s), x 2 (s),., x n ( s) 中的第 k 行代以 (0,0,.,0,1) T后得到的行列式，而且（ 5.28）的任一解 u(t)都具有形式u(t )c1x1(t) c2 x2 (t ) .c

3、n xn (t )(t ) ，（5.30）這里 c1,c2 ,., cn 是適當(dāng)選取的常數(shù)。公式（ 5.29）稱為（ 5.28）的常數(shù)變易公式。我們指出，這時(shí)方程（ 5.28）的通解可以表示為xc1 x1 (t)c2x2 (t ).cn xn (t )(t)證明考慮 n 階線性微分方程的初值問(wèn)題精品資料歡迎下載x(n)a1(t ) xn 1.an 1 (t) xan (t) x f (t),x(to )1 , x (to )2 ,., xn 1(to )n ,（5.6）其中 a1(t), a2 (t),., an (t ), f (t) 是區(qū)間 at b上的已 知連續(xù)函 數(shù)， t 0 a, b

4、 ，1,2 ,.,n 是已知常數(shù)，我們指出，它可以化為下列線性微分方程組的初值問(wèn)題：0100x00an (t)an 1 (t )x(t0 ),其中x1x1xx2, xx2,xnxn事實(shí)上，令000100x,010an 2 (t)a1 (t )f (t)（5.7）12nx1x, x2x , x3x ,., xnx( n 1) ,這時(shí)x1xx2 , x2xx3 ,., xn 1x(n1)xn ,xnx( n)an (t ) x1an 1 (t)x2.a1 (t ) xn f (t)而且x1 (t0 )x(t0 )1 , x2 (t0 )x (t0 )2 ,.,xn (t0 )x(n 1) (t0

5、)n現(xiàn)在假設(shè)（ t）t0的區(qū)間at b上（ 5.6）的任一解，由此，我們得知是在包含（ t）,（ t）,.,nt b上存在、連續(xù)、滿足方程（5.6）且（ t ）在 a(t0 )1 ,(t0 )2 ,.,( n 1) (t0 )n , 令1(t )2 (t)(t ),n (t)精品資料歡迎下載其中1(t)(t ),2 (t )(t ),.,n (t)(n1) (t )(atb),那么，顯然有(t0 )，此外，我們還得到1(t )(t)(t )2 (t)(t)n (t )(n ) (t)2 (t)3 (t )n (t)a1 (t )( n1) (t).an (t )(t)f (t)2 (t)3 (

6、t)n (t )an (t)1 (t ) .a1(t) n (t )f (t)01001 (t )00102 (t )0001n (t)an (t)an 1(t)an 2 (t )a1 (t )00,0f (t )在此處鍵入公式。這就表示這個(gè)特定的向量（ t）是（ 5.7）的解，反之，假設(shè)向量u（ t）是在包含t0 的區(qū)間 atb 上（ 5.7）的解，令u1 (t )u2 (t )u（t）,un (t )并定義函數(shù)(t )u1 (t) ，由（ 5.7）的第一個(gè)方程，我們得到(t)u1 (t ) u2 (t) ，精品資料歡迎下載由第二個(gè)方程得到(t) u2 (t)u3 (t ),.,有 第 n-

7、1( n 1) (t) un 1 (t )un (t), 由第 n 個(gè)方程得到( n) (t)un (t)an (t)u1 (t ) an1(t)u2 (t) .a2 (t)un 1(t)a1 (t )un (t)a1 (t) （ n-1）(t )a2 (t ) （ n-2）(t). an (t )(t ) f (t )個(gè)方程得到f (t )由此即得(n ) (t)a1 (t ) （ n-1）(t )a2 (t ) （n-2）(t).an (t)(t )f (t )同時(shí)，我們也得到(to )u1(t0 )1,.,( n 1) (to )un (t0 )n這就是說(shuō)，(t ) 是（ 5.6）的一個(gè)

8、解總之，由上面的討論，我們已經(jīng)證明了初值問(wèn)題（ 5.6）與（ 5.7）在下面的意義是等價(jià)的：給定其中一個(gè)初值問(wèn)題的解，我們可以構(gòu)造另一個(gè)初值問(wèn)題的解。值得指出的是，每一個(gè) n 階線性微分方程可化為 n 個(gè)一階線性微分方程構(gòu)成的方程組，反之卻不成立。本段討論非齊次線性微分方程組xA(t )x f (t)（5.14）的解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，這里A(t) 是區(qū)間 a tb 上已知 nxn 連續(xù)矩陣， f (t) 是區(qū)間a t b 上的已知的 n 維連續(xù)列向量，向量 f (t) 通常稱為強(qiáng)迫項(xiàng)，因?yàn)槿绻?5.14）描述一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)，f (t) 就代表外力。我們?nèi)菀昨?yàn)證（ 5.14）的兩個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)性質(zhì) 1如果

9、 (t)是（ 5.14）的解，(t)是（ 5.14）對(duì)應(yīng)的其次線性微分方程組（ 5.15）的解，則(t )(t) 是（ 5.14）的解性質(zhì) 2如果 (t) 和 (t)是（ 5.14）的兩個(gè)解，則(t)(t ) 是（ 5.15）的解下面的定理 7 給出（ 5.14）的解的結(jié)構(gòu)定理 7設(shè)(t) 是（5.15）的基解矩陣，(t) 是（ 5.14）的某一解，則（ 5.14）的任一解(t) 都可表為(t)(t )c(t ) （ 5.23）精品資料歡迎下載這里 c 是確定的常數(shù)列向量證明 由性質(zhì) 2 我們知道(t )(t) 是（5.15）的解，再由 5.2.1 的定理 1* ，得到(t)(t)(t )c這

10、里 c 是確定的常數(shù)列向量，由此即得(t)(t )c(t )定理證畢定理 7 告訴我們，為了尋求（ 5.14）的任一解，只要知道（ 5.14）的一個(gè)解和它對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程組（ 5.15）的基解矩陣，現(xiàn)在，我們要進(jìn)一步指出，在已經(jīng)知道（ 5.15）的基解矩陣(t) 的情況下，有一個(gè)尋求（ 5.14）的解(t) 的簡(jiǎn)單方法，這個(gè)方法就是常數(shù)變易法。從上一節(jié)我們知道，如果 c 是常數(shù)列向量，則(t)(t)c 是（ 5.15）的解，它不可能是（ 5.14）的解，因此，我們將 c 變易為 t 的向量函數(shù)，而試圖尋求（5.14）的形如(t )(t )c （ 5.24）的解，這里 c(t) 是待定的向

11、量函數(shù)。假設(shè)（ 5.14）存在形如（ 5.24）的解，這時(shí)，將（ 5.24）代入（ 5.14）得到(t)c(t)(t )c (t )A(t)(t )c(t )f (t)因?yàn)?t ) 是（ 5.15 ）的 基解矩陣 ，所 以(t)A(t )(t) ，由此 上式中 含有A(t)(t )c(t ) 的項(xiàng)消去了，因而 c(t) 必須滿足關(guān)系式(t )c (t ) f (t ) （5.25）因?yàn)樵趨^(qū)間 a t b 上(t) 是非奇異的，所以1(t ) 存在，用1 (t ) 左乘（5.25）兩邊，然后積分之，得到c(t)t1( s) f (s)ds,t 0,ta,bt 0其中 c(t 0) =0，這樣，（

12、5.24）變?yōu)?t)(t) t01 (s) f ( s) dst0, t a,b（5.26）t因此，如果（ 5.14）有一個(gè)形如（ 5.24）的解(t )，則(t ) 由公式（ 5.26）決定。精品資料歡迎下載反之，用公式（ 5.26）決定的向量函數(shù)(t ) 必定是（ 5.14）的解，事實(shí)上，微分（ 5.26）得到(t )(t )t1 (s) f (s)ds(t)1 (t ) f (t)t 0A(t)(t ) t1 (s) f ( s) dsf (t ),t0再利用公式（ 5.26），即得(t )A(t)(t)f (t )顯然，還有(t 0) =0，這樣一來(lái)，我們就得到了下面的定理 8定理 8 如果(t ) 是（ 5.15）的基解矩陣，則向量函數(shù)(t)(t) t1(s) f ( s) dst 0是（ 5.14）的