高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用階段復(fù)習(xí)課學(xué)案新人教A版選修1109122123

1、高中數(shù)學(xué)選修精品教學(xué)資料第三課導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用核心速填1在xx0處的導(dǎo)數(shù)(1)定義：函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時(shí)變化率 ,稱(chēng)為函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)(2)幾何意義：函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)圖象在點(diǎn)(x0,f(x0)處的切線(xiàn)斜率2導(dǎo)函數(shù)當(dāng)x變化時(shí),f(x)便是x的一個(gè)函數(shù),稱(chēng)為導(dǎo)函數(shù)f(x)y .3基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1)c0.(2)(x)x1.(3)(ax)axln_a(a>0)(4)(ex)ex.(5)(logax)(a>0,且a1)(6)(ln x).(7)(sin x)cos_x.(8)(cos x)sin_x.4導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)f(x)±

2、g(x)f(x)±g(x)(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)(g(x)0)5函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),如果f(x)>0,那么函數(shù)yf(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f(x)<0,那么函數(shù)yf(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減(2)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)極大值：在點(diǎn)xa附近,滿(mǎn)足f(a)>f(x),當(dāng)x<a時(shí),f(x)>0,當(dāng)x>a時(shí),f(x)<0,則點(diǎn)a叫做函數(shù)的極大值點(diǎn),f(a)叫做函數(shù)的極大值；極小值：在點(diǎn)xa附近,滿(mǎn)足f(a)<f(x),當(dāng)x<a時(shí),f(x

3、)<0,當(dāng)x>a時(shí),f(x)>0,則點(diǎn)a叫做函數(shù)的極小值點(diǎn),f(a)叫做函數(shù)的極小值6求函數(shù)yf(x)在a,b上的最大值與最小值的步驟(1)求函數(shù)yf(x)在(a,b)內(nèi)的極值(2)將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)為最小值體系構(gòu)建題型探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義已知函數(shù)f(x)ax33x26ax11,g(x)3x26x12,直線(xiàn)m：ykx9,且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在實(shí)數(shù)k,使直線(xiàn)m既是曲線(xiàn)yf(x)的切線(xiàn),又是yg(x)的切線(xiàn)？如果存在,求出k的值；如果不存在,說(shuō)明理由思路探究(1)(2)解(1)因?yàn)?/p>

4、f(x)3ax26x6a,且f(1)0,所以3a66a0,得a2.(2)因?yàn)橹本€(xiàn)m過(guò)定點(diǎn)(0,9),先求過(guò)點(diǎn)(0,9),且與曲線(xiàn)yg(x)相切的直線(xiàn)方程設(shè)切點(diǎn)為(x0,3x6x012),又因?yàn)間(x0)6x06.所以切線(xiàn)方程為y(3x6x012)(6x06)(xx0)將點(diǎn)(0,9)代入,得93x6x0126x6x0,所以3x30,得x0±1.當(dāng)x01時(shí),g(1)12,切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,21),所以切線(xiàn)方程為y12x9；當(dāng)x01時(shí),g(1)0,切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,9),所以切線(xiàn)方程為y9.下面求曲線(xiàn)yf(x)的斜率為12和0的切線(xiàn)方程：因?yàn)閒(x)2x33x212x11,所以f(x)6x26

5、x12.由f(x)12,得6x26x1212,解得x0或x1.當(dāng)x0時(shí),f(0)11,此時(shí)切線(xiàn)方程為y12x11；當(dāng)x1時(shí),f(1)2,此時(shí)切線(xiàn)方程為y12x10.所以y12x9不是公切線(xiàn)由f(x)0,得6x26x120,解得x1或x2.當(dāng)x1時(shí),f(1)18,此時(shí)切線(xiàn)方程為y18；當(dāng)x2時(shí),f(2)9,此時(shí)切線(xiàn)方程為y9,所以y9是公切線(xiàn)綜上所述,當(dāng)k0時(shí),y9是兩曲線(xiàn)的公切線(xiàn)規(guī)律方法此題直線(xiàn)m恒過(guò)點(diǎn)(0,9)是解題的突破口,即若m是f(x),g(x)的公切線(xiàn),則切線(xiàn)必過(guò)點(diǎn)(0,9).一般說(shuō)來(lái),求過(guò)定點(diǎn)的兩曲線(xiàn)公切線(xiàn)的一般思路是：先求出過(guò)定點(diǎn)的一曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程,再令斜率值與另一曲線(xiàn)的導(dǎo)數(shù)相等

6、,求出可能的切點(diǎn),得出對(duì)應(yīng)切線(xiàn)方程.若兩條直線(xiàn)方程相同,則為公切線(xiàn)；若不同,則不存在公切線(xiàn).當(dāng)然,也可能會(huì)存在切線(xiàn)斜率不存在的情況.跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)x3x16.(1)求曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(2,6)處的切線(xiàn)的方程；(2)直線(xiàn)l為曲線(xiàn)yf(x)的切線(xiàn),且經(jīng)過(guò)原點(diǎn),求直線(xiàn)l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)；(3)如果曲線(xiàn)yf(x)的某一切線(xiàn)與直線(xiàn)yx3垂直,求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線(xiàn)的方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792173】解(1)可判定點(diǎn)(2,6)在曲線(xiàn)yf(x)上f(x)(x3x16)3x21,f(x)在點(diǎn)(2,6)處的切線(xiàn)的斜率為kf(2)13.切線(xiàn)的方程為y(6)13(x2),即y13x32.(2)設(shè)切點(diǎn)為(x

7、0,y0),則直線(xiàn)l的斜率為f(x0)3x1,直線(xiàn)l的方程為y(3x1)(xx0)xx016.又直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(0,0),0(3x1)(x0)xx016,整理得,x8,x02,y0(2)3(2)1626.k3×(2)2113,直線(xiàn)l的方程為y13x,切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,26)(3)切線(xiàn)與直線(xiàn)y3垂直,切線(xiàn)的斜率k4.設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0),則f(x0)3x14,x0±1,或即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,14)或(1,18)切線(xiàn)方程為y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性已知函數(shù)f(x)ax3x2(ar)在x處取得極值(1)確定a的值；(2)

8、若g(x)f(x)ex,討論g(x)的單調(diào)性思路探究(1)利用f0求解(2)先求g(x),再求g(x)0的根,最后確定g(x)的單調(diào)性解(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)得f(x)3ax22x.因?yàn)閒(x)在x處取得極值,所以f3a·2·0,解得a.經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足題意(2)由(1)知g(x)ex,所以g(x)exexexx(x1)(x4)ex.令g(x)0,解得x0,x1或x4.當(dāng)x<4時(shí),g(x)<0,故g(x)為減函數(shù)；當(dāng)4<x<1時(shí),g(x)>0,故g(x)為增函數(shù)；當(dāng)1<x<0時(shí),g(x)<0,故g(x)為減函數(shù)；當(dāng)x>0時(shí),g(

9、x)>0,故g(x)為增函數(shù)綜上知,g(x)在(,4)和(1,0)內(nèi)為減函數(shù),在(4,1)和(0,)內(nèi)為增函數(shù)規(guī)律方法函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)注點(diǎn)(1)關(guān)注函數(shù)的定義域,單調(diào)區(qū)間應(yīng)為定義域的子區(qū)間(2)已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性時(shí)轉(zhuǎn)化要等價(jià)(3)分類(lèi)討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間實(shí)質(zhì)是討論不等式的解集(4)求參數(shù)的范圍時(shí)常用到分離參數(shù)法跟蹤訓(xùn)練2已知ar,函數(shù)f(x)(x2ax)ex(xr)(1)當(dāng)a2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍解(1)當(dāng)a2時(shí),f(x)(x22x)ex,f(x)(x22)ex.當(dāng)f(x)0時(shí),(x22)ex0,注意到e

10、x0,所以x220,解得x.所以,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,)同理可得,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(,)和(,)(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增,所以f(x)0在(1,1)上恒成立又f(x)x2(a2)xaex,即x2(a2)xaex0,注意到ex0,因此x2(a2)xa0在(1,1)上恒成立,也就是ax1在(1,1)上恒成立設(shè)yx1,則y10,即yx1在(1,1)上單調(diào)遞增,則y11,故a.即a的取值范圍為.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值(最值)及恒成立問(wèn)題已知函數(shù)f(x)x33ax29a2xa3.(1)設(shè)a1,求函數(shù)f(x)的極值；(2)若a,且當(dāng)x1,4a時(shí),f(x)a312a恒成

11、立,試確定a的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792174】思路探究(1)先求f(x)0的根,再判斷極值點(diǎn),求極值(2)先求f(x)在x1,4a時(shí)的最小值f(x)min,再解不等式f(x)mina312a求a的范圍解(1)當(dāng)a1時(shí),f(x)x33x29x1且f(x)3x26x9,由f(x)0得x1或x3.當(dāng)x1時(shí),f(x)0,當(dāng)1x3時(shí),f(x)0,因此x1是函數(shù)的極大值點(diǎn),極大值為f(1)6；當(dāng)1x3時(shí),f(x)0,當(dāng)x3時(shí),f(x)0,因此x3是函數(shù)的極小值點(diǎn),極小值為f(3)26.(2)f(x)3x26ax9a23(xa)(x3a),a,當(dāng)1x3a時(shí),f(x)0；當(dāng)3ax4a時(shí),f(x)0.x

12、1,4a時(shí),f(x)的最小值為f(3a)26a3.由f(x)a312a在1,4a上恒成立得26a3a312a,解得a.又a,a.即a的取值范圍為.規(guī)律方法一般地,已知不等式在某區(qū)間上恒成立,求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題,都可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題,而導(dǎo)數(shù)是解讀函數(shù)最值問(wèn)題的有力工具.跟蹤訓(xùn)練3設(shè)函數(shù)f(x)x3x26xa.(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,f(x)m恒成立,求m的最大值；(2)若方程f(x)0有且僅有一個(gè)實(shí)根,求a的取值范圍解(1)f(x)3x29x63(x1)(x2),因?yàn)閤(,),f(x)m,即3x29x(6m)0恒成立,所以8112(6m)0,得m,即m的最大值為.(2)因?yàn)楫?dāng)x<1

13、時(shí),f(x)>0；當(dāng)1<x<2時(shí),f(x)<0；當(dāng)x>2時(shí),f(x)>0；所以當(dāng)x1時(shí),f(x)取極大值f(1)a；當(dāng)x2時(shí),f(x)取極小值f(2)2a；故當(dāng)f(2)>0或f(1)<0時(shí),方程f(x)0僅有一個(gè)實(shí)根,解得a<2或a>.導(dǎo)數(shù)與不等式問(wèn)題已知函數(shù)f(x)(k為常數(shù),e2.718 28是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線(xiàn)與x軸平行(1)求k的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)g(x)xf(x),其中f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)證明：對(duì)任意x0,g(x)1e2.思路探究(1)利用f(1)0求k.(

14、2)判斷f(x)的正負(fù)(3)借助(2)的結(jié)論,構(gòu)造函數(shù)解(1)f(x),由已知,f(1)0,k1.(2)由(1)知,f(x).設(shè)k(x)ln x1,則k(x)0,即k(x)在(0,)上是減函數(shù),由k(1)0知,當(dāng)0x1時(shí),k(x)0,從而f(x)0,當(dāng)x1時(shí),k(x)0,從而f(x)0.綜上可知,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,)(3)證明：由(2)可知,當(dāng)x1時(shí),g(x)xf(x)01e2,故只需證明g(x)1e2在0x1時(shí)成立當(dāng)0x1時(shí),ex1,且g(x)0,g(x)1xln xx.設(shè)f(x)1xln xx,x(0,1),則f(x)(ln x2),當(dāng)x(0,e2)時(shí)

15、,f(x)0,當(dāng)x(e2,1)時(shí),f(x)0,所以當(dāng)xe2時(shí),f(x)取得最大值f(e2)1e2.所以g(x)f(x)1e2.綜上,對(duì)任意x0,g(x)1e2.規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題(如：證明不等式,比較大小等),其實(shí)質(zhì)就是利用求導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性,而證明不等式(或比較大小)常與函數(shù)最值問(wèn)題有關(guān).因此,解決該類(lèi)問(wèn)題通常是構(gòu)造一個(gè)函數(shù),然后判斷這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合給定的區(qū)間和函數(shù)在該區(qū)間上的最值使問(wèn)題得以求解.跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)x2aln x(ar),(1)若f(x)在x2時(shí)取得極值,求a的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)求證：當(dāng)x1時(shí),x2ln xx3.解(1)

16、f(x)x,因?yàn)閤2是一個(gè)極值點(diǎn),所以20,則a4.此時(shí)f(x)x,因?yàn)閒(x)的定義域是(0,),所以當(dāng)x(0,2)時(shí),f(x)0；當(dāng)x(2,),f(x)0,所以當(dāng)a4時(shí),x2是一個(gè)極小值點(diǎn),則a4.(2)因?yàn)閒(x)x,所以當(dāng)a0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,)當(dāng)a0時(shí),f(x)x,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,)；遞減區(qū)間為(0,)(3)證明：設(shè)g(x)x3x2ln x,則g(x)2x2x,因?yàn)楫?dāng)x1時(shí),g(x)0,所以g(x)在x(1,)上為增函數(shù),所以g(x)g(1)0,所以當(dāng)x1時(shí),x2ln xx3.導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù),它由上下兩部分組成,上部的形狀是正四棱

17、錐p­a1b1c1d1,下部的形狀是正四棱柱abcd­a1b1c1d1(如圖3­1所示),并要求正四棱柱的高o1o是正四棱錐的高po1的4倍圖3­1(1)若ab6 m,po12 m,則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？(2)若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6 m,則當(dāng)po1為多少時(shí),倉(cāng)庫(kù)的容積最大？思路探究(1)利用錐體和柱體的體積公式求解；(2)利用錐體和柱體的體積公式建立目標(biāo)函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)法求解解(1)由po12知o1o4po18.因?yàn)閍1b1ab6,所以正四棱錐p­a1b1c1d1的體積v錐·a1b·po1×62×224(m3

18、)正四棱柱abcd­a1b1c1d1的體積v柱ab2·o1o62×8288(m3)所以倉(cāng)庫(kù)的容積vv錐v柱24288312(m3)(2)設(shè)a1b1a m,po1h m,則0<h<6,o1o4h.如圖,連接o1b1.因?yàn)樵趓tpo1b1中,o1bpopb,所以h236,即a22(36h2)于是倉(cāng)庫(kù)的容積vv柱v錐a2·4ha2·ha2h(36hh3),0<h<6,從而v(363h2)26(12h2)令v0,得h2或h2(舍去)當(dāng)0<h<2時(shí),v>0,v是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)2<h<6時(shí),v<0,v是單調(diào)遞減函數(shù)故當(dāng)h2時(shí),