第四節(jié)對面積的積分

1、第九章第九章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分 第四節(jié)第四節(jié) 對面積的曲面積分對面積的曲面積分 若若曲曲面面 是是光光滑滑的的, 它它的的面面密密度度為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)),(zyx , 求求它它的的質質量量.1. 實例實例 所謂曲面光滑所謂曲面光滑即曲面上各點處都即曲面上各點處都有切平面有切平面, ,且當點在且當點在曲面上連續(xù)移動時曲面上連續(xù)移動時, ,切平面也連續(xù)轉動切平面也連續(xù)轉動. .一、對面積的曲面積分的概念與性質 前面已經介紹了兩類曲線積分，對第一前面已經介紹了兩類曲線積分，對第一類曲線積分類曲線積分 niiiilsdsyx10),(lim),( 其物理背景是曲線型構件的質量，

2、在此質量問其物理背景是曲線型構件的質量，在此質量問題中若把曲線改為曲面，線密度改為面密度，小題中若把曲線改為曲面，線密度改為面密度，小段曲線的弧長改為小塊曲面的面積，相應地得和段曲線的弧長改為小塊曲面的面積，相應地得和式式 niiiiis10),(lim 抽象概括得到對面積的曲面積分的概念抽象概括得到對面積的曲面積分的概念2. 對面積的曲面積分的定義對面積的曲面積分的定義并作和并作和 niiiif1),( is , , 如果當各小塊曲面如果當各小塊曲面的直徑的最大值的直徑的最大值0 時時, , 這和式的極限存在這和式的極限存在, ,則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)),(zyxf在曲面在曲面 上

3、對面積上對面積的的曲面積分曲面積分或或第一類曲面積分第一類曲面積分. .1.1.定義定義即即 dszyxf),(iiiniisf ),(lim10 記為記為 dszyxf),(. dszyxf),( 21),(),(dszyxfdszyxf.3.3.對面積的曲面積分的性質對面積的曲面積分的性質則則及及可分為分片光滑的曲面可分為分片光滑的曲面若若,21 叫被積函數(shù)，叫被積函數(shù)，其中其中),(zyxf.叫積分曲面叫積分曲面 注注對面積的曲面積分的應用對面積的曲面積分的應用面積面積 dsa質量質量 dszyxm),(重心重心 dsdsxx dsdsyy dsdszz轉動慣量轉動慣量 dszyix)(

4、22 dszxiy)(22 dsyxiz)(22二、計算法;1),(,22dxdyzzyxzyxfxydyx dszyxf),(),(:. 1yxzz 若若曲曲面面則則按照曲面的不同情況分為以下三種：按照曲面的不同情況分為以下三種：;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzdzx dszyxf),(則則.1,),(22dydzxxzyzyxfyzdzy dszyxf),(),(. 3zyxx ：若曲面若曲面則則),(. 2zxyy ：若若曲曲面面這就是把對面積的曲面積分化為二重積分的計算公式這就是把對面積的曲面積分化為二重積分的計算公式簡述為：簡述為：一代、二換、三投影一代、二換、三投影代：

5、將曲面的方程代入被積函數(shù)代：將曲面的方程代入被積函數(shù)換：換面積元換：換面積元ds投影：將曲面投影到坐標面得投影區(qū)域投影：將曲面投影到坐標面得投影區(qū)域注：把曲面投影到哪一個坐標面，取決于曲面方程注：把曲面投影到哪一個坐標面，取決于曲面方程即方程的表達形式即方程的表達形式例例1 1 計計算算 dszyx)(, 其其中中 為為平平面面5 zy被被柱柱面面2522 yx所所截截得得的的部部分分.解解積積分分曲曲面面 ：yz 5 ,投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxdxydxdyzzdsyx221 dxdy2) 1(01 ,2dxdy dszyx)(故故 xyddxdyyyx)5(2 xydd

6、xdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 例例2 計算計算 dsyx)(2222yxz 是錐面是錐面其中其中 與平面與平面 z = 1 所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面解解分成兩部分分成兩部分將將 10:221 zyxz 11:222 yxz 21, 在在 xoy 內的投影區(qū)域內的投影區(qū)域1:22 yxdoxyz1:2 z 1 1)(22 dsyx故故 dyxdxdyzzyx22221)( ddxdyyx)(222 20102222rdrrd 2)(22 dsyx ddsyx)(22220102 rdrrd 21)()(2222 dsyxdsyx 221

7、 例例3 計算計算 dsyx221是介于平面是介于平面其中其中 z = 0 與與 z = h 之間的圓柱面之間的圓柱面222ryx 解解)(:221在第一卦限的部分在第一卦限的部分令令 xry 面的投影區(qū)域為面的投影區(qū)域為在在zox1 rxhzdzx 00:由對稱性由對稱性 有有 12222141dsyxdsyx zxdzxdxdzyyr222114 hrdxxrrdzr002224rh 2 例例4 計計算算dsxyz |, 其其中中 為為拋拋物物面面 22yxz （10 z）. 解解xyz依對稱性知：依對稱性知：軸對稱，軸對稱，關于關于拋物面拋物面zyxz22 被被積積函函數(shù)數(shù)| xyz關關

8、于于xoz、yoz 坐標面對稱坐標面對稱有有 14成立成立，(1 為為第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)dxdyzzdsyx221 dxdyyx22)2()2(1 原式原式dsxyz |dsxyz 14 dxdyyxyxxyxyd2222)2()2(1)(4 其其中中1| ),(22 yxyxdxy, 0, 0 yx 利用極坐標利用極坐標 trxcos , trysin , rdrrrttrdt 102222041sincos4 drrrtdt21050412sin22 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 注注對面積的曲面積分有類似與三重積分的對稱性對面積的曲面積分

9、有類似與三重積分的對稱性 設設對稱于對稱于xoy （或（或yoz ，或，或 zox ）坐標面）坐標面若若 f（x , y , z ) 關于關于z（或（或 x ，或，或 y ）是奇函數(shù)）是奇函數(shù) 0),(dszyxf則則若若 f（x , y , z ) 關于關于z（或（或 x ，或，或 y ）是偶函數(shù)）是偶函數(shù) 1),(2),(dszyxfdszyxf部部分分位位于于對對稱稱坐坐標標面面一一側側的的是是其其中中 1完全類似于三重積分的對稱性完全類似于三重積分的對稱性例例5 計算計算 dszxyzxy)(為為其中其中 所所截截得得的的部部分分被被柱柱面面錐錐面面axyxyxz22222 解解面面的

10、的投投影影區(qū)區(qū)域域在在xoy axyxd2:22 22yxz 2222yxyzyxxzyx dszxyzxy)(故故 ddxdyyxyxxy)(222 22cos2022)cos(sincossin2 ardrrrd 2244cos1641cossincossin2 da 2054cos28 da415264a 例例6 6 計計算算 xds, 其其中中 是是圓圓柱柱面面 122 yx, 平平面面2 xz及及0 z所所圍圍成成的的空空間間立立體體的的表表面面. 解解 321 其其中中1 ：0 z,2 ：2 xz,3 ：122 yx.投投影影域域1d：122 yx顯顯然然 011 dxdxdyxd

11、s, , 01112 ddxdyxxds討討論論3 時時, 將將投投影影域域選選在在xoz上上.（注意：注意：21xy 分為左、右兩片分為左、右兩片）（左右兩片投影相同）（左右兩片投影相同）xoz 3xds 31xds 32xds xzdzxdxdzyyx2212 xzddxdzxxx22112 1120212xdzdxxx, xds 00.例例7 7 計計算算dszyx)(222 , 其其中中 為為內內接接于于球球面面2222azyx 的的八八面面體體azyx |表表面面. 解解被被積積函函數(shù)數(shù) ),(zyxf222zyx , 關關于于坐坐標標面面、原原點點均均對對稱稱 , 積積分分曲曲面面

12、 也也具具有有對對稱稱性性 , 故故原原積積分分 18, (其其中中1 表表示示第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面) 1 ：azyx , 即即yxaz dxdyzzdsyx221 dxdy3 dszyx)(222 1)(8222dszyxdxdyyxayxxyd 3)(8222.324a 例例8 求均勻曲面求均勻曲面222yxaz 的重心坐標的重心坐標解解由對稱性由對稱性0,0 yx dszdszdxdyzzdsdyx 221):(222ayxd dxdyyxaad 222rdrraada 2002222 a dxdyyxaayxazdsd222222 ddxdya3a 2az 故故 重心坐標為

13、重心坐標為)2, 0 , 0(a例例9 )0(22220 zazyx的均勻半球殼的均勻半球殼求密度為求密度為 軸的轉動慣量軸的轉動慣量對于對于z解解222:ayxd dsyxiz)(220 dyxdxdyzzyx222201)( dxdyyxaayxd 222220)( 20022201ardrrarda3440a 例例10 計算計算 dsczbyax)(的整個表面的整個表面rzzyx2:222 解解由奇偶對稱性由奇偶對稱性 0ydsxds分分成成須須將將為為計計算算 zds上半球面上半球面2221:yxrrz 下半球面下半球面2222:yxrrz dsczbyax)( 12 czdsczds ddrc 234 cr ):(222ryxd 四、小結2、對面積的曲面積分的解法是將其化為投影、對面積的曲面積分的解法是將其化為投影域上的二重積分計算域上的二重積分計算.1、 對面積的曲面積分的概念對面積的曲面積分的概念; dszyxf),(iiiniisf ),(l